TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Riešenie všeobecného trojuholníka Trigonometria Riešenie všeobecného trojuholníka B β a c γ C b α A Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria Sinusova veta

Trigonometria Treba vedieť: Vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom patriacim k tomu istému oblúku kružnice (stredový = 2x obvodový) Vyjadrenie sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku, ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony.

A α B r S α 2α a/2 P C a/2 Sin α = ––––––––––- r

Spájame goniometriu s geometriou SP je výška trojuholníka BSC BSP je pravouhlý trojuholník Uhol BAC je obvodový k oblúku BC Uhol BSC je stredový uhol k oblúku BC Z toho potom vyplývajú nasledovné vzťahy:

Sinusova veta sin α ––––- = 2r a

Sinusova veta sin β ––––- = 2r b

Sinusova veta sin γ ––––- = 2r c

Sinusova veta V každom trojuholníku ABC, so stranami a,b,c a uhlami α, β, γ a polomerom opísanej kružnice r platí: sin α sin γ sin β –––– = –––– = –––– = 2r a c b

Sinusova veta- príklad V trojuholníku ABC platí: a=5, b = 7, α = 30°. Vypočítaj c, r, β, γ.

Sinusova veta- príklad Riešenie: 1. sin α ½ 1 ––––- = 2r → –––– = –– → a 5 10 r =1/20

Sinusova veta- príklad 2. sin β sin β sin β ––––- = 2r →1/10 = ––––– = –––– → b b 7 sin β =7/10 → β = 44,4°

Sinusova veta- príklad 3. γ = 180° - 30° - 44,4° γ = 105,6°

Sinusova veta- príklad 4. sin γ sin γ 0,96 –––- = 2r→ c = ––––- = –––––– → c 2r 1/10 c = 9,6

Trigonometria Kosinusova veta

C[x;y] a b y B | x| P A c

Kosinusova veta | x | x cos α = – cos( π - α ) = - ––––––– = ––– b b

Kosínusová veta y2 = b2 - x2 y2 = a2 – ( c – x )2 Obrázok 2

Kosínusová veta b2 - x2 = a2 – ( c – x )2 a2 = b2 + c2 - 2cx

Kosínusová veta Ale (viď obrázok) x = b cos α a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Kosínusová veta a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β V každom trojuholníku ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ platí: a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β c2 = a2 + b2 - 2 ab cos γ

Kosínusová veta - príklad V trojuholníku ABC sú dané dĺžky všetkých jeho strán: a = 16,9 b = 26 c = 27,3 Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.

Kosínusová veta - príklad Najprv treba skontrolovať či to je trojuholník – či platia trojuholníkové nerovnosti. a + b > c a + c > b b + c > a

Kosínusová veta - príklad 2. Pre výpočet uhla α použijeme kosinusovú vetu a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Kosínusová veta - príklad 2 bc cos α = b2 + c2 - a2 b2 + c2 - a2 cos α = –––––––––––––––––– 2 bc α = 36°50'

Kosínusová veta - príklad 3. Ďalej pokračujeme ako pri sinusovej vete, pretože tá je ľahšia.

Obsah trouholníka A c b va B β a γ C

S = ½ a.va va = b.cos γ S = ½ a. b.cos γ Obsah trojuholníka S = ½ a.va va = b.cos γ S = ½ a. b.cos γ