سومین جشنواره تجربیات خلاقانه معلمین ریاضی به نام خدا سومین جشنواره تجربیات خلاقانه معلمین ریاضی بوشهر- اسفند85

THE INTERMEDIATE VALUE THEOREM استفاده از کاربردهای قضیه مقدار میانی در جهت آشنایی دانش آموزان با کاربردهای مباحث ریاضی محض و علاقه مندکردن آنان به این مباحث THE INTERMEDIATE VALUE THEOREM محمد رشیدپور دبیر ریاضی دبیرستانهای بوشهر

معرفی قضیه : قضیه مقدار میانی :اگر f تابعی پیوسته بر بازه [a,b] باشد و f(a)≤k≤f(b) آنگاه به ازای حداقل یک مقدار cدربازه [a,b]خواهیم داشت : f(c)=k

کاربردها: 1- یافتن مقدار تقریبی ریشه ها 2- قضیه نقطه ثابت 3- مساله مسافر 4- مساله تغییر دما بر یک دایره 5- مساله میز لق 6- ویژگی هایی از توابع متناوب 7- مساله تقسیم مساحت ها

1- قضیه : اگرf بر [a,b] پیوسته باشد و f(a).f(b)<0 آنگاهc در بازه(a,b) وجود دارد که : f(c)=0 مثال: f(1)=-1 f(0)=1 f(./5) =-0.4 f(0)=1 f(./25)= 0.3 f(0)=-0.4

2- قضیه نقطه ثابت: اگر f تابعی پیوسته از[0,1] به خودش باشد آنگاه به ازای حداقل یکxدربازه[0,1] خواهیم داشت: f(x)=x . y=x

اگر یا نقطه ای ثابت خواهیم داشت در غیر این صورت خواهیم داشت: و حال فرض کنید ، لذا: و ولذا طبق قضیه مقدار میانی وجود دارد که : یعنی :

اگر ورقه کاغذی را مچاله کنیم و آن را برسر جای اولش قرار دهیم، نقطه ای بر روی کاغذ می توان یافت که درست بالای جای اولش قرار گرفته است!

اگر لیوان آبی را «به طور پیوسته» به هم بزنیم، پس از ساکن شدن آب، می توان ادعا کرد که حداقل یک مولکول یافت می شود که به سر جای اولش باز گشته است!

مساله: مسافری ساعت 9 صبح دوشنبه پای پیاده مسیری را از نقطه A تا نقطه B طی می کند و شب را در همـان مکان می ماند و سه شنبـه ساعت 9 صبح از همان مسیر از B به A بر می گردد. ثابت کنید که او در نقطه ای از این مسیر در یک زمان از روز (دوشنبه و سه شنبه) عبور کرده است.

C B A

فرض کنید فاصله مسافر تا نقطه A در لحظه در روز دوشنبه باشد ( متناظر با 9 صبح دوشنبه و متناظر با 9 شب است.) وفرض کنید فاصله مسافر تا نقطه A در روز سه شنبه باشد. اگر آنگاه بر پیوسته است و و پس وجود دارد که یعنی یعنی در روز دوشنبه و سه شنبه مسافر در زمان در یک نقطه بوده است.

قضیه: اگر درجه حرارت بطور پیوسته بر روی یک حلقه دایره شکل در حال تغییر باشدآنگاه دو نقطه متقاطر با درجه حرارت یکسان روی این حلقه خواهیم یافت.

Θ Θ=0

فرض کنید دمادرنقطه ی به زاویه روی حلقه باشد.تعریف می کنیم: این تابع بر پیوسته است. اگر آنگاه و حکم برقرار است. فرض کنید: (حالت اثباتی مشابه دارد.) پس درحالیکه: و لذا وجود دارد که یعنی: وحکم برقرار است.

نتیجه: در هر لحظه بر استوای زمین (یا هر مدار یا نصف النهار دیگر) می توان دو نقطه هم دما پیدا کرد.

در هر لحظه، می توان دونقطه متقاطربر سطح زمین یافت که دارای دما وفشار یکسان باشند

مساله میزلق!: انتهای پایه های یک میزچهارگوش، واقع در یک صفحه وچهار راس یک مربع هستند. کف اتاق صاف نیست (بریدگی ندارد اما بطور پیوسته ای «تاب» دارد)و لذا میز لق می زند. با چرخاندن میز حول مرکزش با زاویه ای کمتر از ، میز به حالت پایداری خواهد رسید .

Θ=0 Θ A' B' A B

فرض کنید زاویه دوران حول مرکزباشد فرض کنید زاویه دوران حول مرکزباشد. را برابرمجموع فواصل دو راس و از کف اتاق و را برابر مجموع فواصل دو راس و از کف فرض کنید وقرار دهید بدون این که به کلیت مساله خللی وارد شود فرض می کنیم در ، ، (یعنی میز ناپایدار است) پس در جای پایه ها عوض خواهد شد یعنی پس وجود دارد که یعنی وچون میز همیشه روی سه پایه قرار می گیرد لذا بایدیا یا ودر نتیجه باید: پس در این حالت هر چهار پایه روی زمین قرار دارند

اگر انتهای پایه های یک میز در یک صفحه باشند وتشکیل یک n ضلعی منتظم بدهند و کف اتاق بطور پیوسته ای غیر مسطح (مواج) باشد آنگاه می توان با دورانی کمتراز حول مرکز میز، حداقل چهار پایه را بر زمین استوار کرد

قضیه: اگر f تابعی پیوسته و متناوب با دوره تناوب اصلی p باشد و L>0 طولی دلخواه ،آن گاه پاره خطی افقی با طول L وجود دارد که دو سر آن بر نمودار است.

A B

اگر fتابعی متناوب با دوره تناوب pباشد: 1- به ازای هر L>0 وجود دارد به طوری کهپاره خطی که نقاط ، را به هم وصل می کند. بوسیله نقطه نصف می شود 2- اگر هر عدد دلخواهی باشند، آن گاه نقطه به طول وجود دارد که عرض آن میانگین عرض نقاط به طول و....و است .

3-به ازای هرL>0 ،x وجود دارد که شیب منحنی در نقطه به طول x با شیب منحنی درنقطه به طول x+L برابرست. 4-به ازای هر L>0،xوجود دارد که شیب منحنی در نقطه به طولxمیانگین شیب منحنی در نقاط به طول x+L وx-L است. 5-بازای اعداد دلخواه نقطه به طولxوجودداردکه شیب درنقطه به طولxمیانگین شیب درنقاط به طولهای و....و است.

تقسیم مساحت ها: فرض کنید ناحیه ای بسته در صفحه داریم که مرز آن منحنی همواری باشد(مانند کیکی که روی یک میز است). به سادگی میتوان نشان داد که می توان خطی رسم کرد که این ناحیه را به دو قسمت هم مساحت تقسیم کند. زیرا مساحت بخشی از ناحیه که در یک طرف خطی با جهت داده شده قرار می گیرد، وقتی که خط به موازات خود حرکت داده شود، به طور پیوسته تغییر می کند. چون این مساحت می تواند صفر یا کل مساحت ناحیه باشد، باید در زمانی دقیقاً نصف کل مساحت باشد.

L

اگر دو ناحیه بسته ( با مرزهای هموار) در صفحه داشته باشیم می توان خطی یافت که هر دو ناحیه را به ناحیه های هم مساحت تقسیم کند.

L

هر سه شکل در فضا را می توان همزمان با یک صفحه نصف کرد هر سه شکل در فضا را می توان همزمان با یک صفحه نصف کرد. به بیانی خودمانی تر می توان با یک برش یک ساندویچ چیزبرگر شامل نان، گوشت و پنیر را به دو قسمت چنان تقسیم کرد که در هر دو قسمت مقدار نان ، گوشت و پنیر یکسان باشد.