روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II کریم عابدی

فصل اول: تحليل خطی عناصر محدود صفحات و پوسته ها

مثال : مطلوبست استخراج ماتريس βγ براي عنصر 2*2 ، 16 گرهي. توابع شکلی برای کرنشهای برشی برای 6 نقطه A B C G H I

توابع شکلی المان 16 گرهی

مقادیر به دست آمده برای کرنشهای برشی بر حسب مختصات تعمیم یافته

چند درایه از Bγ B (1,1)=.6132rs+.6132r+.7783r^2s+.7783r^2-s/32-1/32 B (1,3)=0, B(1,6)=0, B(1,9)=0 B (2,1)=0.7783rs^2-.7783s^2+.6132rs+.6132s-r/32-1/32 B (2,2)=0, B(2,5)=0, B(2,8)=0

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته ب- بردارهای پايه غير متعامد (پايه پادوردا – پايه هموردا) ب-1- در مبحث تبديلات مختصات در سيستم های متعامد از بردارهای پايه متعامد استفاده مي کنيم به عنوان مثال برای تانسورهای از مرتبه اول داريم: چنانچه بردار يكساني را در 2 پايه مختلف در نظر بگيريم، خواهيم داشت: ضرب نقطه اي در e’i

Pik = cos (e’i , ek) Pjl =cos (e’j , el) به عنوان مثال براي تانسورهاي مرتبه دوم داريم: تانسور يكسان در دو پايه مختلف حاصل ضرب نقطه اي، ابتدا با e’j و سپس با e’i Pik = cos (e’i , ek) Pjl =cos (e’j , el) با اين وجود مي توان تانسور را به صورت مولفه های يک پايه از بردارهای پايه غير متعامد نيز بيان نمود.

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته ب- بردارهای پايه غير متعامد (پايه پادوردا – پايه هموردا) ب-2- در مکانيک محيط های پيوسته معمول است که از پايه هموردا با بردارهای پايه هموردای gi و پايه پادوردا با بردارهای پايه پادوردای gj استفاده شود. اين بردارهای پايه دو ويژگی دارند: 1- در حالت کلی دارای طول واحد نيستند 2- بردارهای پايه پادوردا متعامد بر بردارهای پايه هموردا مي باشند. به عبارت ديگر: شکل زير مثالی از بردارهای پايه غير متعامد در دستگاه دکارتی را نشان مي دهد:

مثال: فرض کنید که مولفه های و را داریم، مولفه های را بدست آورید. فرض می کنیم که: با استفاده از خاصیت تعامد پایه های پادوردا و هموردا داریم:

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته ب- بردارهای پايه غير متعامد (پايه پادوردا – پايه هموردا) ب-3- خاصيت ديگر بردارهای پايه هموردا و پادوردا: مولفه همورداي تانسور متريك مولفه پادورداي تانسور متريك

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته ب- بردارهای پايه غير متعامد (پايه پادوردا – پايه هموردا) ب-4- فرض کنيد که استفاده از يک پايه با بردارهای پايه غير متعامد ضروری باشد. در اين صورت ظرافت استفاده از بردارهای پايه هموردا و پادوردا هنگامی مشخص مي شود که کار انجام يافته به وسيله يک نيروی R را که موجب تغييرمکان u شده و به وسيله R.u مشخص مي شود، در نظر مي گيريم. اگر هر دو بردار را در پايه هموردا بيان کنيم: اما اگر نيرو را در پايه هموردا و تغييرمکان را در پايه پادوردا بيان کنيم: که عبارت ساده تری مي باشد. شکل روبرو، نمايش هندسی محاسبات مزبور را در حالت دو بعدی نشان مي دهد:

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته ب- بردارهای پايه غير متعامد (پايه پادوردا – پايه هموردا) ب-5- استفاده از پايه هموردا برای تنش و پايه پادوردا برای کرنش: تانسور تنش در پايه هموردا با مولفه هاي پادوردا تانسور كرنش در پايه پادوردا با مولفه هاي هموردا كار داخلي انجام يافته

مثال: نشان دهید که کار داخلی انجام یافته در یک ماده الاستیک از رابطه زیر قابل محاسبه است. اگر تانسورهای تنش و کرنش به ترتیب به صورت و نوشته شوند خواهیم داشت:

ویژگی دلتای کرونیکر این است که جابجا کننده اندیس ها است بنابراین خواهیم داشت:

مثال 27-2: مولفه هاي دكارتي τij تانسور تنش τijeiej عبارتند از، τ11=100 و τ12=60 و τ22=200 و مولفه هاي تانسور كرنش εij تانسور كرنش εijeiej عبارتند از: ε11=0.001/1000 و ε12=0.002/1000 و ε22=0.003/1000. فرض كنيد كه تانسورهاي تنش و كرنش بر حسب مولفه هاي كرنش هموردا و مولفه هاي تنش پادوردا با استفاده از روابط زير بيان خواهند شد. مولفه هاي مذكور را تعيين نموده و با استفاده از آنها حاصلضرب ½ τijεij را تعيين نمائيد.

مثال 28-2: تانسور كرنش Green-lagrange را مي توان به صورت زير تعريف نمود. مولفه هاي خطي و غير خطي تانسور كرنش را ايجاد نمائيد. x بردار مختصات دكارتي و u بردار تغيير مكان در جهت هاي دكارتي مي باشد. مولفه هاي خطي تانسور كرنش

مولفه هاي غير خطي تانسور كرنش اگر مختصات دكارتي x با مختصات ايزوپارامتريك ri يكسان باشند، در اين صورت خواهيم داشت: مولفه هاي خطي تانسور كرنش مولفه هاي غير خطي تانسور كرنش K=1,2,3

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته پ- عنصر چهار گرهی چهار ضلعی عمومی MITC4 برای اين عنصر همان درون يابی های مورد استفاده برای عنصر MITC4 با هندسه 2*2 را بکار مي بريم: اما برای تعيين کرنش های برشی جانبی در نقاط D, C, B, A از مولفه های تانسور کرنش هموردا با بردارهای پايه پادوردا استفاده مي کنيم. در دستگاه مختصات طبيعی عنصر خمش صفحه ای (rوs) بردارهای پايه هموردا به صورت زير تعريف مي شوند: تانسور کرنش را نيز مي توان با استفاده از مولفه های تانسور هموردا به صورت زير بیان نمود: اکنون بايد روابط بالا را بر حسب مولفه های تانسور هموردا بنويسيم:

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته پ- عنصر چهار گرهی چهار ضلعی عمومی MITC4 برای تعيين مولفه های تانسور هموردا در نقاط D, C, B, A از عبارت خطی رابطه عمومی زير استفاده مي کنيم: بافتار تغيير شکل يافته مساوی يک و بافتار اوليه مساوی صفر مي باشد. با داشتن مختصات نقاط D, C, B, A و جايگذاری روابط زير خواهيم داشت:

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته پ- عنصر چهار گرهی چهار ضلعی عمومی MITC4 اکنون برای بدست آوردن مولفه های تانسور کرنش در مختصات دکارتی از رابطه زير استفاده مي کنيم: به عبارت ديگر داريم: با توجه به تعريف پايه های هموردا و پادوردا، روابط زير را به طريقه ای استاندارد بدست مي آوريم: زوايای بين محورهای sوx زوايای بين محورهای rوx

7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته پ- عنصر چهار گرهی چهار ضلعی عمومی MITC4 بنابراين خواهيم داشت:

مثال : ماتريس βγ عنصر مربعي 2 مثال : ماتريس βγ عنصر مربعي 2*2 خاص را با استفاده از روش عنصر عمومي MITC4 بدست آوريد و با حالت قبلي مقايسه كنيد.

ملاحظه می شود که ماتریس βγ محاسبه شده با این روش با ماتریسی که با استفاده از حالت خاص برای عنصر مورد نظر محاسبه شده است، یکی است .

مثال: تابع درون یابی کرنش های جانبی را برای عنصر MITC4 با ابعاد 3 مثال: تابع درون یابی کرنش های جانبی را برای عنصر MITC4 با ابعاد 3*4 را با روش عنصر عمومی MITC4 بدست آورید. مختصات دکارتی نقاط گرهی: α=0 β=90 β= زاویه مابین محور x وs α= زاویه مابین محور x وr

ملاحظه می شود که ماتریس βγ محاسبه شده با این روش با ماتریسی که با استفاده از حالت خاص برای عنصر مورد نظر محاسبه شده است، یکی است .

مثال : مطلوبست استخراج ماتريس βγ براي عنصر 4 گرهي عمومي رو به رو.