سیگنال ها و سیستم ها درس هفدهم حمیدرضا پوررضا

موضوعات این جلسه جاذبه‌ها و تعریف تبدیل لاپلاس مثال‌هایی از تبدیل لاپلاس و ناحیه همگرایی (ROC) خصوصیات ROC H.R. POURREZA

جاذبه های تبدیل لاپلاس تبدیل فوریه پیوسته در زمان (CT) امکانات زیادی را به ما می‌داد آنالیز پاسخ فرکانسی سیستم‌های LTI نمونه‌گیری مدولاسیون اما با این وجود چرا ما باز هم به تبدیل احتیاج داریم نگاهی به تبدیل لاپلاس به عنوان نسخه توسعه یافته تبدیل فوریه نشان می‌دهد که این تبدیل امکان آنالیز کلاس وسیع‌تری از سیگنال‌ها و سیستم‌ها را فراهم می‌کند بصورت خاص، تبدیل فوریه قادر به کار بر روی کلاس‌های بزرگی از سیگنالها و سیستم‌های ناپایدار نیست ، وقتی H.R. POURREZA

جاذبه های تبدیل لاپلاس در خیلی از کاربردها لازم است که با سیستم‌های ناپایدار سروکار داشته باشیم: پایدارسازی پاندول معکوس پایدارسازی یک هواپیما و یا فضا‌پیما ... ناپایداری در برخی کاربرها مفید است، مثل اسیلاتورها و لیزر H.R. POURREZA

جاذبه های تبدیل لاپلاس چگونه می‌توان چنین سیگنال/سیستمی را آنالیز کرد؟ با توجه به مطالب جلسه پنجم، خصوصیت توابع ویژه سیستم‌های LTI: est تابع ویژه هر سیستم LTI است s=σ+jω در حالت عام می‌تواند مختلط باشد H.R. POURREZA

تبدیل لاپلاس دو طرفه ایده های اصلی H.R. POURREZA

تبدیل لاپلاس دو طرفه مثال 1: H.R. POURREZA

تبدیل لاپلاس دو طرفه مثال 2: H.R. POURREZA

نمایش گرافیکی ROC مثال 2 مثال 1 H.R. POURREZA

تبدیلات گویا خیلی از تبدیلات لاپلاس (نه همه) مهم توابع گویایی از s هستند (مثال های 1 و 2، پاسخ ضربه سیستم‌های LTI که با LCCDE بیان می‌شوند) که در آن به ریشه های N(s) صفر‌های X(s) می‌گوییم به ریشه های D(s) قطب‌های X(s) می‌گوییم هر x(t) شامل ترکیب خطی نمایی‌های مختلط برای t>0 و t<0، تبدیل لاپلاس گویا دارد H.R. POURREZA

تبدیل لاپلاس دو طرفه مثال 3: H.R. POURREZA

تبدیل لاپلاس و ROC برخی سیگنال‌ها تبدیل لاپلاس ندارند (ROC ندارند) X(s) فقط برای ROC تعریف شده، در LT ما ایمپالس نداریم H.R. POURREZA

خصوصیات ROC ROC تنها حالات محدودی را شامل می‌شود 1- ROC شامل مجموعه ای از خطوط موازی با محور jω در صفحه s است (یعنی ROC تنها وابسته به σ است). چرا؟ 2- اگر X(s) گویا باشد، در این صورت ROC شامل هیچ قطبی نیست. چرا؟ قطب‌ها در جایی قرار می‌گیرند که D(s)=0 H.R. POURREZA

خصوصیات ROC 3- اگر x(t) در بازه ای محدود مقدار داشته باشد و اکیدا انتگرال پذیر باشد، آنگاه ROC شامل کل صفحه s است. H.R. POURREZA

ROC نیم صفحه راست است (RHP) 4- اگر x(t) یک طرفه راست باشد (یعنی برای تمام زمان‌های قبل از یک زمان خاص مقدار صفر داشته باشد)، و اگر Re(s)=σ0 در ROC باشد، آنگاه همه مقادیر s که در آن Re(s)>σ0 است نیز در ROC قرار دارند H.R. POURREZA ROC نیم صفحه راست است (RHP)

ROC نیم صفحه چپ است (LHP) 5- اگر x(t) یک طرفه چپ باشد (یعنی برای تمام زمان‌های بعد از یک زمان خاص مقدار صفر داشته باشد)، و اگر Re(s)=σ0 در ROC باشد، آنگاه همه مقادیر s که در آن Re(s)<σ0 است نیز در ROC قرار دارند H.R. POURREZA ROC نیم صفحه چپ است (LHP)

خصوصیات ROC 6- اگر x(t) دو طرفه باشد و اگر خط Re(s)=σ0 در ROC باشد، آنگاه ROC شامل نواری در صفحه s است که شامل خط Re(s)=σ0 است H.R. POURREZA

خصوصیات ROC مثال H.R. POURREZA

خصوصیات ROC مثال (ادامه) اگر b<0 باشد چه می‌شود؟ بخش همپوشانی وجود ندارد و لذا تبدیل لاپلاس نداریم H.R. POURREZA

خصوصیات ROC 7- اگر X(s) گویا باشد، آنگاه ROC محدود به قطب ها است و یا بسط داده شده به بی‌نهایت. علاوه بر این، هیچ قطبی از X(s) در ROC نیست 8- فرض کنید که X(s) گویا است، آنگاه الف) اگر x(t) یک طرفه راست باشد، ROC سمت راست، راست‌ترین قطب است ب) اگر x(t) یک طرفه چپ باشد، ROC سمت چپ، چپ‌ترین قطب است H.R. POURREZA

خصوصیات ROC 9- اگر ROC شامل محور jω باشد، در این صورت x(t) تبدیل فوریه دارد. مثال