Materiál spracovali študenti 3.I triedy v rámci ročníkového projektu Gymnázium Sečovce Materiál spracovali študenti 3.I triedy v rámci ročníkového projektu Autori: Igor Parnahaj, Anna Vojtková, Katarína Kolesárová Trieda: 3.I Školský rok: 2004/2005 Konzultant: Mgr. Róbert Janok

Obsah 2.9. Vzájomná poloha dvoch priamok 2.10. Vzájomná poloha priamky a roviny 2.11. Vzájomná poloha dvoch rovín 2.12. Úlohy o rovnobežnosti a kolmosti 2.13. Uhol dvoch priamok 2.14. Uhol dvoch rovín 2.15. Uhol priamky a roviny 2.16. Vzdialenosť bodu od priamky 2.17. Vzdialenosť bodu od roviny 3. Úlohy zo štandardov 4. Výsledky úloh 5. Záver - súhrn použitých vzorcov 1.1. Analytická geometria lineárnych útvarov 1.2. René Descartes 2.1. Parametrické vyjadrenie priamky v rovine a v priestore 2.2. Všeobecná rovnica priamky v rovine 2.3. Všeobecná rovnica priamky v priestore 2.4. Smernicový tvar priamky 2.5. Úsekový tvar priamky v rovine 2.6. Parametrické vyjadrenie roviny 2.7. Všeobecná rovnica roviny 2.8. Popriamka, polrovina, polpriestor

1.1 Analytická geometria lineárnych útvarov Analytická geometria je časť geometrie, ktorá pomocou analytických vyjadrení útvarov študuje vlastnosti útvarov a vzťahy medzi nimi. Zakladateľmi analytickej geometrie boli francúzski matematici Pierre de Fermat a René Descartes, ktorý v roku 1635 zaviedol súradnice bodov. Karteziánska súradnicová sústava je pomenovaná podľa latinského prepisu mena Descartes, t. j. Cartesius. Lineárne útvary sú napríklad priamka, polpriamka, úsečka, rovina, polrovina a pod. Analytické vyjadrenie lineárnych útvarov je vyjadrenie lineárnych útvarov rovnicami, nerovnicami alebo ich sústavami. Obsah

1.2. René Descartes Vytvoril analytickú geometriu, 1.zakon zachovania impulzu, popísal optické javy, navrhol reflexný oblúk. Vystupoval proti dogmatizmu a autorite. Zakladateľ racionalizmu. Známy je jeho výrok COGITO ERGO SUM. Myslím, teda som. Tento novoveký filozof sa narodil 31.3.1596 v La Haye, pochádzal z rodiny nižšej šľachty z kraja Touraine, v súčasnosti sa toto mesto volá podľa svojho rodáka Descartes. V prvom roku svojho života stratil matku. Spočiatku mal chabé zdravie. Po matkinej smrti sa jeho otec Joachim znovu oženil a uzatvorený, samotársky René trávil väčšinu času sám, dokonca sa nekamarátil i so svojimi súrodencami. Vstúpil do uznávaného jezuitského kolégia v La Flèche, kde získal rozsiahle vzdelanie v duchu vtedajšej doby a obľúbil si matematiku. Descartes ostro vystupoval proti alchýmii, astrológii a mágii. Neskôr študoval v Poitiers právo. V roku 1618 vstúpil ako dobrovoľník do vojska počas tridsaťročnej vojny. Viedla ho k tomu túžba po bohatších skúsenostiach a zámer poznať cudziu zem. Roku 1628, opustil rodné Francúzsko a presťahoval sa do Holandska, kde sa stretol s Isaakom Beeckmanom, ktorý ho významne ovplyvnil v otázkach matematickej fyziky. Napísal tu väčšinu svojich kníh. A keďže písal latinsky, používal i latinský prepisu svojho mena - Renatus Cartesius, podľa neho sa dodnes nazýva jeho sústava pravouhlých súradníc tiež sústavou karteziánskych súradníc. Obsah

Roku 1649 ho pozvala švédska kráľovná Kristína do Švédska Roku 1649 ho pozvala švédska kráľovná Kristína do Švédska. Chodil do štokholmského kráľovského paláce a vyučoval ju filozofiu. Nie na dlho, pretože raz skoro ráno, keď sa za krutého mrazu ponáhľal za vznešenou žiačkou, nachladil sa, dostal zápal pľúc a 11.2.1650 zomrel. Ako svoje prvé dielo publikoval anonymne v roku 1637 Rozpravu o metóde. Toho roku vydal spis Geometrie, v ňom stvárnil svoje matematické a vedecké úsilie. Vďaka procesu s G. Galileom zničil svoje už skoro napísané dielo Svet. Jeho hlavné dielo je Meditácia o prvej filozofii a Princípy filozofie. Zaoberal sa tiež matematikou a optikou, je mu pripisovaný objav zákona lomu svetelných lúčov pri vstupu do prostredia s odlišnou optickou hustotou. Niekedy v roku 1637 si francúzsky vzdelanec Pierre de Fermat listoval v knižke o aritmetike. U Pytagorovej vety a2 + b2 = c2 si na okraj stránky knižky poznamenal : "Vyššie mocniny ale do takéhoto súčtu rozložiť nemôžeme". Matematicky povedané : Ak a, b a c sú celé kladné čísla a n je celé číslo väčšie ako 2, potom rovnosť an + bn = cn neplatí. Toto tvrdenie dostalo neskoršie názov veľká Fermatova veta. No ale to nie je všetko. Fermat dodal: "Pre toto svoje tvrdenie som našiel skutočne obdivuhodný dôkaz. Na tomto okraji papiera ale preň nemám dosť miesta". A tak bol odštartovaný boj o dôkaz. Obsah

Dokázať znamená v matematike overiť platnosť tvrdenia Dokázať znamená v matematike overiť platnosť tvrdenia. Po Fermatovi zostal len dôkaz pre n = 4. Ďalší a ďalší matematici sa pokúšali dokázať tvrdenie pre ďalšie hodnoty n. Neskôr, keď už dokonca vzniklo celé odvetvie matematiky kvôli tomu dôkazu, sa veta dokazovala pre skupiny exponentov určitého typu naraz. Nie jedna Akadémia vied vypísala na dôkaz vety odmenu. Pre ľudí, ktorí sa ju pokúšali dokázať vzniklo aj špeciálne označenie FERMATISTI. 23. júna 1993, 356 rokov po svojom položení na konferencii v britskej Cambridgi podal obecný dôkaz platnosti Fermatovej vety britský matematik Andrew Wiles pôsobiaci v USA. Obsah

2.1. Parametické vyjadrenie priamky v rovine. Parametrické vyjadrenie priamky p = AB: X = A + tu; tR, kde X je ľubovoľný bod priamky p (A, u) Veta 1: Ak u = AB, tak platí: 1. Pre každé t, ktoré patrí do oboru reálnych čísel, je bod X = A + tu, bodom priamky AB 2. Ku každému bodu X priamky AB, existuje práve jedno t z oboru reálnych čísel, pre ktoré platí X = A + tu Veta 2: Nech A[a1; a2]; X [x; y]; u (u1; u2); potom úsečku možno rozpísať do súradníc v rovine následne: X = A + tu; t R x = a1 + t u1 y = a2 + t u2 To je parametrické vyjadrenie priamky v súradniciach (v rovine) Iný zápis priamky p je: p (A, u) = { [a1 + t.u1; a2 + tu2] } Z parametrického vyjadrenia priamky vieme hneď určiť: 1. súradnice bodu, ktorý leží na priamke, napr. A [a1; a2] 2. súradnice smerového vektora u (u1; u2) Ďalšie body dostaneme, ak za t dosadíme ďalšie hodnoty Úlohy Obsah

Množiny bodov X v závislosti od parametra t: a)      X = A + tu; tR ……………….priamka AB b)      X = A + tu; t  0 ……………....polpriamka AB Obsah

c)      X = A + tu; t  0 ……………….polpriamka opačná k polpriamke AB d)      X = A + tu; t  0, 1  ………...úsečka AB Obsah

Parametrické vyjadrenie priamky v priestore Parametrické vyjadrenie priamky p = AB, kde je X [x; y; z] a u (u1; u2; u3): p: X = A + tu, kde t R x = a1 + tu1 y = a2 + tu2 z = a3 + tu3 Obsah

2.2. Všeobecná rovnica priamky v rovine Všeobecná rovnica priamky je lineárna rovnica s 2 neznámymi, kde a, b, c  R, a ≠ 0 alebo b ≠ 0 Všeobecná rovnica priamky: ax + by + c = 0 Ak a = 0 a zároveň b = 0, tak platí c = 0 Poznámka: 3x + 5y - 19 = 0 /.2 /.3 /.10 6x + 10y - 38 = 0 9x + 15y – 57 = 0 30x+ 50y – 19 = 0 je všeobecná rovnica tej istej priamky. Ak máme možnosť tak si vyberieme najjednoduchšiu z nich. Def.: Rovnica typu ax + by + c = 0, kde a, b, c patria oboru reálnych čísel ( a ≠ 0 v b ≠ 0), sa nazýva všeobecná rovnica priamky v rovine. Vo všeobecnej rovnici priamky sú koeficienty a, b súradnicami tzv. normálového vektora n priamky p. Normálový vektor n (a, b) je vektor kolmý na smerový vektor priamky p. [a, b] = [u2, - u1] Obsah

Normálový vektor priamky p je kolmý na priamku p, a teda aj na smerový vektor u; lebo n . u = 0 Poznámka: Súradnice normálového vektora priamky dostaneme zo súradníc smerového vektora tak, že vymeníme poradie súradníc a zmeníme znamienko pri jednej z nich. Iný spôsob nájdenia rovnice priamky np ┴ AX; kde X je ľubovoľný bod priamky p, a platí np . AX = 0 np . (X – A) = 0 (x – a1; y – x2) . (n1; n2) = 0 (x – a1) . n1 + (y – a2) . n2 = 0, tak po rozpísaní do súradníc dostaneme všeobecnú rovnicu priamky. Obsah

2.3. Všeobecné vyjadrenie priamky v priestore: Priamka v priestore môže byť vyjadrená parametricky X = A + tu, tR. Parametrické vyjadrenie priamky sa dá prepísať na sústavy dvoch rovníc s tromi neznámymi x, y, z, ktoré budú vyjadrovať tú istú priamku. Nájdeme dva kolmé vektory na smerový vektor priamky p =>ak u(x, y, z), tak za ľubovoľnú súradnicu zvolíme nulu, zvyšné dve súradnice vymeníme a zmeníme znamienko pri jednej z nich. Pri hľadaní druhého normálového vektora postupujeme rovnakým spôsobom. Priamka p je daná rovnicami ax + by + c = 0 a dx + ey + f = 0 => všeobecné rovnice priamky v priestore. Priamka môže byť daná v priestore dvoma všeobecnými rovnicami, z ktorých môžeme odvodiť parametrické vyjadrenie a to tak, že nájdeme dva body, ktoré vyhovujú obidvom rovniciam. Rovnice najprv sčítame, vylúčime jednu premennú a vyriešime jednu rovnicu s dvoma neznámymi tak, že za jednu premennú budeme voliť ľubovoľné hodnoty. Obsah

2.4. Smernicový tvar rovnice priamky Nech ax + by + c = 0, čo je všeobecná rovnica priamky, tak potom: by = - ax – c /:b a c y = - x - b b a c Nech k = - , q = - , tak p: y = kx + q a to je smernicový tvar priamky, b b kde k sa nazýva smernica priamky. k = tg  , k  0 , 180  , k  90  Smerový uhol  je definovaný ako kladný orientovaný uhol, ktorého začiatočným ramenom je kladný smer osi x a koncovým časť priamky p. Úlohy Obsah

2.5. Úsekový a normálový tvar rovnice priamky Nech ax + by + c = 0 je všeobecná rovnica priamky, tak: x y + = 1 je úsekový tvar rovnice priamky. p q Normálový tvar rovnice priamky: x . cos α + y . sin α = n Úsekový tvar rovnice priamky: Obsah

2.6. Parametrické vyjadrenie roviny Veta: Každú rovinu ABC môžeme pomocou u = AB; v = AC analyticky vyjadriť parametrickou rovnicou X = A + tu + sv, kde [t, s] R x R a X je ľubovoľný bod roviny. AX = tu + sv; t, s R X –A = tu + sv X = A + tu + sv.......parametrické vyjadrenie roviny Nech X [x, y, z]; A [a1, a2, a3]; u (u1, u2, u3), v (v1, v2, v3), tak potom parametrickú rovnicu roviny X = A + tu + sv; t, s  R, vieme potom rozpísať do súradníc následne: X = A + tu + sv x = a1 + tu1 + sv1 y = a2 + tu2 + sv2 z = a3 + tu3 + sv3; t, s  R, čo je parametrické vyjadrenie roviny v súradniciach. Úlohy1 Úlohy2 Obsah

2.7. Všeobecná rovnica roviny Def.: Rovnicu typu ax + by + cz + d = 0, kde [a, b, c] ≠ [0, 0, 0], ktorá je analytickým vyjadrením roviny nazývame všeobecná rovnica roviny. Veta: Každá rovina ρ, ktorá je určená jedným bodom a dvoma vektormi u, v, má jednu takú všeobecnú rovnicu roviny ax + by + cz + d = 0, v ktorej usporiadanú trojicu [a, b, c] ≠ [0, 0, 0] tvoria súradnice vektora u x v. ax + by + cz + d = 0 n (a, b, c) = u x v Každá rovina ρ (A, u, v) má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú reálnymi nenulovými násobkami jednej z nich. Úlohy1 Úlohy2 Obsah

2.8. Polpriamka,  polrovina a polpriestor Polpriamka: AB: X= A + tu, t  <0,∞) Polrovina: pC : X= C + tu + sv, t  R, s ≥ 0 Opačná polrovina:pC ´: X= C´ + tu + sv, t R, s ≤ 0 Obsah

Opačný polpriestor: ρD´: X= D´ + tu + sv + rw, t,s R, r ≤ 0 Obsah

2.9. Vzájomná poloha 2 priamok Pre každé dve priamky p (A;u); q (B;v) v priestore platí: 1. Priamky p a q sú rovnobežné: - priamky p a q sú totožné (p = q): – v = k . u; u, v sú lineárne závislé – majú spoločný bod (nie jeden, ale všetky) - priamky p a q sú rovnobežné (p // q): – v = k . u; u, v sú lineárne závislé – nemajú spoločný ani jeden bod Úlohy Úlohy Obsah

2. Priamky p a q sú rôznobežné (p ╫ q): – v ≠ k 2. Priamky p a q sú rôznobežné (p ╫ q): – v ≠ k . u; sú lineárne nezávislé – majú spoločný jeden bod 3. Priamky p a q sú mimobežné: – v ≠ k . u; u, v sú lineárne nezávislé – nemajú spoločný žiadny bod Poznámka: Vzájomnú polohu priamok môžeme zistiť aj využitím normálových vektorov priamok, ak sú priamky dané všeobecnou rovnicou priamok, s tým, že uvažujeme podobne ako pri parametrickom vyjadrení priamok, avšak namiesto smerových vektorov používame normálové vektory. Obsah

2.10. Vzájomná poloha priamky a roviny Veta 1: Pre každú rovinu ρ (A, u, u´) a pre každu priamku p (B,v) platí: Priamka p leží v rovine ρ<=> každý z vektorov v, B – A je lineárnou kombináciou vektorov u, u´, priamka p je rovnobežná s ρ, ale neleží v ρ <=> vektor v je lineárnou kombináciou vektorov u, u´, priamka p je rovnobežná s rovinou ρ<=> vektor v nie je lineárnou kombináciou vektorov u, u´. Veta 2: Všeobecnou rovnicou ax + by + cz + d =0 majme danú rovinu a na ňu kolmý vektor n=[a,b,c] ≠ 0. Potom pre každú priamku p(B, v) platí: 1. Priamka p leží v rovine ρ <=> n . v = 0 ^ majú veľa spoločných bobov Úlohy Obsah

2. Priamka p je rovnobežná s rovinou ρ<=>n 2. Priamka p je rovnobežná s rovinou ρ<=>n . v = 0 ^ nemajú spoločný bod 3. Priamka p je rôznobežná s rovinou ρ<=>n . v ≠ 0 ^ 1 spoločný bod Prienik každých dvoch útvarov, ktoré sú analyticky vyjadrené rovnicami s tými istými premennými, hľadáme tak, že riešime sústavu utvorenú z ich rovníc. V prípade rovín a priamok sa výpočty vzájomne líšia poďla toho, akými rovnicami tieto útvary zadáme. Úlohy Obsah

2.11. Vzájomná poloha dvoch rovín: Veta 1.: ρ,σ sú splývajúce, ρ=σ <=> každý z vektorov v, v´, B – A je lineárnou kombináciou vektorov u, u´; σ,ρ sú rovnobežné, ρ≠σ<=> každý z vektorov v, v´ je lineárnou kombináciou vektorov u, u´, ale B – A nie; σ,ρ sú rôznobežné<=> aspoň jeden z vektorov v, v´ nie je lineárnou kombináciou vektorov u, u´. Veta 2.: Pre každé dve roviny ρ,σ, ktoré majú všeobecné rovnice ax + by + cz + d =0, ex + fy + gz + h=0, platí: a) Roviny ρ,σ sú splývajúce <=> vektor [a,b,c] je reálnym násobkom vektora [e,f,g] a majú nekonečne veľa spoločných bodov Úlohy Obsah

b) Roviny ρ,σ sú rovnobežné<=> vektor [a,b,c] je reálnym násobkom vektora [e,f,g] a nemajú spoločný bod c) Roviny ρ,σ sú rôznobežné <=> vektor [a,b,c] nie je reálnym násobkom vektora [e,f,g] Ak zistíme, že dve roviny sú rôznobežné, vieme zo stereometrie, že ich prienikom je priamka. Obsah

2.12. Úlohy o kolmosti a rovnobežnosti Roviny, ktoré sú dané rovnicami α: ax + by + cz + d = 0 a β: ex + fy + gz + h = 0, kde [a, b, c] ≠ [0, 0, 0] a [e, f, g] ≠ [0, 0, 0], sú navzájom kolmé práve vtedy, keď sú ich normálové vektory nα a nβ navzájom lineárne nezávislé, teda nα ≠ k . nβ a platí: nα . nβ = 0. Ich spoločné body ležia na jednej priamke, ktorá sa nazýva priesečnica. Roviny α a β sú navzájom rovnobežné, ak ich normálové vektory nα a nβ sú lineárne závislé (nα = k . nβ) a platí: nα . nβ ≠ 0. Ak sú roviny rovnobežné rôzne, tak nemajú spoločný ani jeden bod. A naopak, ak sú roviny rovnobežné splývajúce, majú nekonečne veľa spoločných bodov. Priamky p a q sú rovnobežné práve vtedy, keď sú smerové vektory priamok navzájom lineárne závislé, teda v = k . u. Priamky môžu byť rovnobežné rôzne, ak nemajú spoločný bod, alebo rovnobežné splývajúce, ak majú spoločne nekonečne veľa bodov. Priamky p a q sú na seba navzájom kolmé, ak sú ich smerové vektory u, v lineárne nezávislé a platí: u . v = 0. Vtedy je uhol medzi oboma priamkami pravouhlý. Úloha1 Úloha2 Úloha3 Úloha4 Úloha5 Obsah

2.13. Uhol dvoch priamok: Uhol priamok p (A, u), q (B, v) určujeme touto konštrukciou: Zvolíme ľubovoľný bod C a zostrojíme orientované úsečky CU, CV, CV´ ako umiestnenie vektorov u, v, -v. Konvexné uhly UCV, UCV´ majú veľkosti φ, 180° - φ. Uhlom priamok p, q nazveme tú z dvoch veľkosti, ktorá patrí do intervalu<0°,90°>; označíme ho α. Veta: Pre uhol α priamok p (A, u) a q (B, v) platí: u . v Cos α = –––––– |u|.|v| Úlohy Obsah

2.14 Uhol dvoch rovín Veta: Pre každé dve roviny ρ,σ platí: uhol α rovín ρ,σ sa rovná uhlu ľubovoľných priamok m, n, ktoré majú tú vlastnosť, že m je kolmá na ρ, n je kolmá na σ. nρ . nσ Cos α = ––––––– |nρ|.|nσ| Úlohy Obsah

2.15. Uhol priamky a roviny: Veta: Pre každú priamku p a rovinu ρ platí: Uhol α priamky p a roviny ρ sa rovná 90°-β, kde β je uhol priamky p a ľubovoľnej priamky kolmej na rovinu ρ. u . nρ Cos β = ––––––– |u|.|nρ| α = 90° - β Úlohy Obsah

2.16. Vzdialenosť bodu od priamky Veta: Pre každý bod M a priamku p v rovine platí: Ak je M[m1,m2] a ak má priamka p všeobecnú rovnicu ax + by + c = 0, [a,b] ≠ [0,0], tak vzialenosť bodu M od priamky p: Iam1 + bm2 + cI IMpI = –––––––––––––– √ a2 + b2 Úlohy Obsah

2.17. Vzdialenosť bodu od roviny Veta: Pre každý bod M v priestore a pre každú rovinu ρ platí: Ak M[m1, m2, m3] a ak má rovina ρ všeobecnú rovnicu ax + by + cz +d = 0, [a,b,c] ≠ [0,0,0], tak I am1 + bm2 +cm3 + d I IMpI = ––––––––––––––––––– √ a2 + b2 + + c2 Úlohy Obsah

3. Úlohy zo štandardov 10.2. Lineárne útvary 10.2. 1 Vypočítať súradnice stredu úsečky 10.2. 2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov 10.2. 3 Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny 10.2. 4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi 10.2. 5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou 10.2. 6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi 10.2. 7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine 10.2. 8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik 10.2. 9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich prienik 10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín Obsah

10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná 10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá 10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná 10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechá­dza daným bodom a na danú rovinu je kolmá 10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechá­dza daným bodom a s danou rovinu je rovnobežná 10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine) 10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok 10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín 10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny 10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny Obsah

10.2.1. Vypočítať súradnice stredu úsečky 1) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak a)   A4, 3, B0, 1 b) A2, 4, B3, 9 c)   A1/2, 3/2, B3/10, 6/10  d) A√2, √3, B √2, 5 √3  2) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak platí : a)   A3, 4, 1, B3, 8, 5 b) A1/2, 1/4, 3/2, B3/2, 3/4, 1/6 c)   A0,4 0,25 0,5, B1/5, 5/4, 1/2 d) A √2, √2 + √3, 6, B √2, √2 - √3 , √3 /3 3) V stredovej súmernosti je obrazom bodu A1/2, 3/5, 17/10 bod A1,3 1,6 1,8. Určte súradnice stredu súmernosti.  4) Dané sú body A, S. Určte súradnice bodu B tak, aby bod S bol stredom úsečky AB. a) A4, 5, S3, 2 b) A1, 1/2, S1/2, 3/4 c) A3, 2, 7, S1, 2, 3 d) A0,7 0,8 0,05, S1/4, 2/5, 7/8  5) Trojuholník T2 má vrcholy v stredoch strán trojuholníka T1. Určte súradnice vrcholov trojuholníka T2, ak trojuholník T1 má vrcholy [1; 6], [5; 0], [7; 4]. Výsledky

10.2.2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov  1) Vypočítajte vzdialenosť bodov A, B, ak je dané: a)   A4, 2, B3, 5 b) A1/2, 2, B0,1 1,2 c)   A1/2, 1, 3, B2, 1, 3 d) A1/2, 3/2, 7/2, B0,4 0,3 0,1  2) Na osi x určte bod tak, aby jeho vzdialenosť od bodu A2, 8 bola 10.  3) Na osi x nájdite bod tak, aby mal od bodov A3, 2, 2, B2, 1, 2 rovnakú vzdialenosť.  4) Vypočítajte obsah trojuholníka K[1; 1], L[2; 3], M[5; 1] pomocou tzv. Herónovho vzorca S =√s.(s – a).(s – b).(s – c), kde a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka a s = a + b + c 2 Výsledky

10.2.3 Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny   1) Určte, či vektory sú smerové vektory priamky AB (A2, 3, B1, 6).  2) Určte číslo p tak, aby vektor  bol smerovým (normálovým) vektorom priamky AB. a)   A1, 1, B2, 3, b) A2/3, 1, B1, 1/3, . 3) Určte smernicu k (smerový uhol α) priamky AB, ak a) A8, 1, B6, 5 b)   A1, 3, B2, 1  4) Určte normálový vektor roviny a)         α : x + 2y + 3z  4 = 0 b)        β : 3x + y  z  74 = 0 c)         γ : x 3z + 10 = 0 d)         δ: { [1 – t + s, 2 + 2t, -1 - s]; t,s R }     e)         ε = ABC (A[-1, 2, 0], B[2, 1, 3], C[0, 3, -2]        Výsledky

10.2.4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi   1) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu, smernicový tvar) priamky, ktorá je určená bodmi A, B. a)   A1, 1, B2, 3 b) A2, 3, B0, 2  2) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodmi A, B. a)    A1, 2, 5, B3, 2, 4 b)   A3, 0, 2, B3, 5, 3 c)    A1, 0, 0, B4, 3, 3 d)   A7, 6, 4, B7, 6, 4  3) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu) osi úsečky AB, ak a)    A3, 3, B1, 2 b)   A4, 2, B5, 2 c)    A3, 7, B1, 5 d)   A2, 5, B3, 9  4) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá je daná smernicou k a q je úsek, ktorý priamka vytína na osi y. a)    k = 3, q = 2 b)   k = 2, q = 5 c)    k = 1/2, q = 4 d)   k = 0, q = 7 5) Určte smernicu priamky p : y = kx  1, ak viete, že prechádza bodom A. A1, 3 b) A2, 1 Späť Výsledky

10.2.5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou   1) Zistite rovnicu lineárnej funkcie, ak jej graf obsahuje body a)    A4, 1, B1, 4 b)   C2, 5, D2, 5 c)    G4, 5, H7, 5 2) Zistite, či všetky 3 body môžu patriť grafu tej istej lineárnej funkcie: a)    A2, 5, B0, 0, C3, 1 b)   D2, 5, E4, 3, F1, 4 c)    G4, 9, H4, 1, I6, 11 d)   J6, 6, K4, 1, L3, 1  3) Dané sú body A5, 2, B1, 6. a)    Napíšte parametrické vyjadrenie priamky AB. b)   Určte c2 tak, aby bod C3, c2 ležal na priamke AB. c)    Určte súradnice bodu S, ktorý je stredom úsečky AB. d)   Určte súradnice takého bodu D ležiaceho na polpriamke AB, ktorého vzdialenosť od bodu A je trikrát väčšia, ako vzdialenosť bodu B od bodu A. Späť Výsledky

10.2.6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi   1) Napíšte parametrické vyjadrenie roviny určenej bodmi a)   A1, 3, 1, B2, 3, 3, C2, 5, 7 b) A1, 1, 0, B1, 1, 2, C2, 2, 3 c)   A2, 3, 5, B1, 0, 4, C0, 2, 7 d) A1, 1, 0, B2, 2, 1, C0, 0, 0  2) Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je určená bodom A2, 3, 1 a priamkou, ktorá má parametrické vyjadrenie: x = t y = 2 + 3t z = 1  t, t  R  3) Zistite, či body A, B, C ležia na jednej priamke, ak nie, napíšte všeobecnú rovnicu roviny ABC. a)   A1, 2, 1, B1, 0, 1, C2,1, 3 b) A1, 1, 2, B2, 1, 1, C4, 1, 7 c)   A1, 0, 3, B0, 1, 2, C2, 2, 13 d) A1, 1 3, B0, 2, 2, C1, 1, 0 Späť-PRR Späť-VRR Výsledky

10.2.7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine   1) Určte druhú súradnicu bodu C tak, aby ležal na priamke AB, pričom A3, 1, B1, 3. a)   C1, y b) C0, y c) C2,5 y  2) Zistite, či body A4, 7, B7, 8, C11, 8 ležia na priamke MN, ak M2, 5, N1, 6.  3) Rozhodnite, či body A1, 2, B3, 1, C1, 2, D17, 22 ležia na priamke, ktorá je určená rovnicou 5x  3y  6 = 0.  4) Určte zvyšné súradnice bodov A6, y, B3, y, Cx, 0, Dx, 1/3 tak, ležali na priamke určenej všeobecnou rovnicou 5x  3y  6 = 0.  5) Zistite, či priamka určená parametrickým vyjadrením a)   x = 10  5t, y =  3 +1,5t; z =  1 + 2t; t  R b) x =  4 + t, y = 10  2,5t; z =  6 + 1,5t; t  R prechádza začiatkom sústavy súradníc. Späť-PRR Späť-VRR Výsledky

10.2.8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik   1) Zistite vzájomnú polohu priamok p, q, a ak sú rôznobežné, určte aj ich priesečník: a)   p : x = 2  3t, y = 6 + t, z =  t, t  R q : x = 1  2s, y = 3s, z = 2 + s, s  R b) p : x = 4  2t, y = 1 + 3t, z =  5  3t, t  R q : x = 7  7s, y = 2 + 5s, z =  8  3s, s  R  2) Určte, ak existuje, priesečník priamky p a úsečky AB. a)   p : x = 5  3t, y =  6 + 2t, t  R A3, 8, B9, 10 b) p : x = 3 + 4t, y = 6  6t, t  R A5, 7, B3, 4 c)   p : x = 7 + 4t, y = 8  5t, t  R A4, 5, B3, 3  3) Zistite, či priamka daná parametrickým vyjadrením x = 6 + 2t, y = 11  5t, z = 9 + 3t, t  R, pretína niektorú súradnicovú os.  4) Napíšte parametrické vyjadrenie všetkých ťažníc trojuholníka s vrcholmi A2, 1, B3, 0, C2, 4. Určte jeho ťažisko T ako priesečník dvoch ťažníc a overte, že ním prechádza aj tretia ťažnica.  5) Určte hodnotu parametra c  R tak, aby priamky p a q boli totožné. p : x = 3  2t, y = 2  5t, t  R q : 5x  2y + c = 0 Späť Výsledky

10.2.9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich priesečník   1) Rozhodnite akú vzájomnú polohu má priamka b a rovina , ak a)    : x  5y + 4z  6 = 0, b : x = 2  t, z = 3t, z = 3 + 4t, t  R b)  : 3x + y  3z  13 = 0, b : x = 3  2t, y = 1 + 3t, z =  1 t, t  R  2) Dokážte, že priamka AB je rôznobežná s rovinou . Vyjadrite aj ich priesečník. a)    A3, 2, 1, B4, 1, 3,  : 2x  3y + z  2 = 0 b)   A3, 1, 4, B4, 1, 2,  : 2x  y + 3z  7 = 0  3) Určte súradnice priesečníkov roviny x + 3y  2z + 6 = 0 s osami sústavy súradníc.  4) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu má rovina  a priamka p, ak poznáme ich parametrické vyjadrenie. a)  : x = 1  2r + 5s, y = 2 + 3r, z = 4s, r, s  R p : x = 4  3t, y = 5  3t, z = 4  4t, t  R b)  : 2x + y  z + 1 = 0, p : x = t, y = t, z = 1 + 3t, t  R c)  : 2x  y + z  2 = 0, p : x = 1  t, y = 2 + 3t, z = 1, t  R  5) Rovina má parametrické vyjadrenie: a)   x = 3  3t  3s, y = 7t, z = 5s, t, s R b) x = 2t + 2s, y = 6 + 6t, z = 9s, t, s  R Určte jej priesečníky s osami sústavy súradníc a graficky ju znázornite. Späť Výsledky

10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín   1) Ukážte, že roviny dané všeobecnými rovnicami 5x  3y + 2z  5 = 0, 2x  y  z  1 = 0 sú navzájom rôznobežné a zapíšte parametrické vyjadrenie priesečnice týchto rovín.  2) Určte vzájomnú polohu rovín  a s. V prípade, že sú rôznobežné určte ich priesečnicu. a)   r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: 4x  10y + 8z  10 = 0 b) r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: x  y  z  2 = 0 c)   r: 2x  5y + 4z  10 = 0, s: 4x  10y  2z  10 = 0  3) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu majú roviny  a : a) : x = 2 + 3u  v, y = 1  9u + v, z = 3  12u  2v; u, v  R : x = 1  2s + t, y = 2s  3t, z = 2  4s  4 t; s, t  R b)   : x = 2 + u  v, y = 1  3u + v, z = 3  4u  2v; u, v  R : x = 4  s + t, y = 7 + s  3t, z = 17  2s  4t; s, t  R 4) Pre ktoré hodnoty parametrov m, n  R sú roviny : mx  4y + 3z  1 = 0 : 2x + ny  2z + 9 = 0 rovnobežné?  5) Určte vzájomnú polohu rovín  a . : x = 1 + t + s, y = t  s, z = s; t, s  R : x  y  2z  1 = 0 Späť Výsledky

10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná   1) K danej priamke p a bodu A určte všeobecnú rovnicu priamky r, ktorá je rovnobežná s priamkou p a prechádza bodom A. a)    p : 3x  y + 1 = 0, A3,  b)   p : y = 2x + 3, A1, 2 c)   p : x = 1 + 2t, y = 2  t, t  R, A3, 4 d)   p = MN, M3, , N4, , A1, 5  2) Rozhodnite, či priamka daná všeobecnou rovnicou 7x + 14y + 8 = 0 je rovnobežná s priamkou AB: a)   A2, 2, B8, 1 b) A2, 6, B4, 9  3) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodom C rovnobežne s priamkou AB: a)   A1, 1, B2, 3, C1, 5 b) A1, 1, B2, 3, C1, 5  4) Určte parametrické rovnice priamky p, ktorá prechádza bodom M2, , 3 a je rovnobežná s priamkou q : x = 1  2s, y = 3 + s, z = 3s, s R.  5) Napíšte smernicový tvar priamky q, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná s priamkou p: a)   A3, 1, p : y = 3x  1 b) A4, 1, p : y = 0,5x + 3 Výsledky Späť

10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá   1) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na vektor : a)   A5, 4, n(3, 2) b) A4, 3, n(2, 5)  2) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na priamku BC, ak je: a)   A1, 4, B3, 7, C3, 2 b) A0, 6, B0, 2, C3, 5  3) Napíšte rovnice priamok, na ktorých ležia výšky trojuholníka ABC: a)   A5, 2, B1, 5, C2, 1 b) A7, 8, B5, 2, C3, 6  4) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je kolmá na úsečku AB a prechádza jej stredom: A1, 2, 3, B3, 2, 5  5) Napíšte smernicový tvar rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na priamku p a)   A4,3, p : y = 2x + 1 b) A6, 1, p : y = - 3/2x + 1/3 c)   A2, √2 , p : y = x√2 - 3 d) A[1; 2], p : 4x  3y + 15 = 0 Späť Výsledky

10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná   1) Určte rovnice všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom P a sú rovnobežné s rovinou . a)    P2, 2, 1,  : 4x  2y  2z + 1 = 0 b)   P3, 1, 12,  =2 + t, t + 2s, 3  5t  10s t, s  R   2) Určte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom P a je rovnobežná s rovinou . a)    P2, 1, 3,  : 2x + y  z + 1 = 0 b)   P8, 6, 0,  : 3x  5y  z  2 = 0  3) Daná je priamka p : x = 1 + t, y = 2 + at, z = 4, t  R. Určte a R tak, aby bola priamka p rovnobežná s rovinou  : x + ay + 5z  1 = 0. Späť Výsledky

10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú rovinu je kolmá   1) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 na rovinu r : x  3y + 5z + 18 = 0.  2) Bodom A2, 1, 2  veďte priamku kolmú na rovinu  a určte jej priesečník s touto rovinou. a)    : x  y + z + 13 = 0 b)  : x  y = 0 c)    : 6x + 17y  23z + 51 = 0 3) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 na rovinu  : x  3y + 5z + 18 = 0.  4) Daná je priamka p = t, 1  t, 2t t  R a bod M1, 0, 5. Určte spoločný bod priamky p a roviny , ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p. Späť Výsledky

10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná   1) Overte, že roviny r a s sú rovnobežné : r : x = 2s, y = 2r, z = 2  r  s, r, s  R  : x = 1  u  2v, y = u, z = v, u, v  R.  2) Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou a a prechádza bodom A: a)   A3, 1, 2, a : 2x  y + z  1 = 0 b) A6, 9, 12, a : x  7y + 3z  19 = 0 c)   A4, 1, 1, a : 2x  y  z + 4 = 0  3) Určte rovinu, v ktorej leží bod N[1; 2; 3] a ktorá je rovnobežná s rovinou určenou súradnicovými osami x a z. 4) Rovina, ktorá prechádza bodom A[1; 2; 3] a je rovnobežná s rovinou 3x  2y + z  15 = 0 má rovnicu: A 3x  2y + z  2 = 0 B x  2y + 3z  14 = 0 C 2x  y  8z + 18 = 0 D 3x  2y + z  10 = 0  5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou s : 2x  y + z  1 = 0 a prechádza bodom A3, 1, 2. Späť Výsledky

10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)   1) Vypočítajte vzdialenosť bodu B3, 7 od priamky danej rovnicou 4x  3y + 7 = 0. 2) Daný je trojuholník ABC, A1, 1, B3, 2, C2, 3. Napíšte rovnicu ťažnice ta a vypočítajte vzdialenosť bodov B a C od ta. 3) Určte najkratšiu vzdialenosť priamok 3x  4y  8 = 0 a 3x  4y + 7 = 0.  4) Určte polomer kružnice so stredom S[1; 2], ktorá sa dotýka priamky 6y  8x  30 = 0. Späť Výsledky

10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok   1) Zistite odchýlku priamok p : x  3 = 0, q :  y + 5 = 0. 2) Určte odchýlku priamok a, b : a)   a : x =  2 + 3t, y = 1, z = 3  t, t  R b : x =  1 + 2s, y = 0, z =  3 + s, s  R b) a : x = 2 + 3t, y =  4t, z = 12t, t  R b = AB, A0, 3, 1, B1, 6, 0 c)   a : x = 1  t, y = 2 + 2t, z = t, t  R b je totožná s osou z. 3) Bodom M 1, 3 veďte priamku, ktorá zviera s priamkou p : 4y  5 = 0 uhol veľkosti 45.  4) Vypočítajte odchýlku priamok m a n. m: 3x + 5y + 1 = 0 n: 2x  8y + 3 = 0 Späť Výsledky

10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín   1) Vypočítajte odchýlku rovín a, b. a)   a : x + y  2z  5 = 0, b : x  2y  z + 3 = 0 b) a : 3x  4y + z - 6 = 0, b : 2x + y  2z + 1 = 0 c)   a : 3x + 4y  5z = 0, b : 4x  5z + 3z + 2 = 0  2) Vypočítajte odchýlku dvoch rovín , , ak : 3x + 5 = 0,  : x = 3 + r  2s, y = 2  r + 2s , z =  1  4r, r, s  R 3) Daný je kváder ABCDEFGH, D0, 0, 0, A4, 0, 0, C0, 3, 0, H0, 0, 5. Určte odchýlku: a)   priamky DF od roviny BEG, b) rovín BEG a ABC. Späť Výsledky

10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny   1) Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny , ak a)   A3, 5, 6, r : 2x  2y + z  8 = 0 b) A1, 3, 2, r : 3x  4y + 5z + 15 = 0 c)   A7, 0, 1, r : 4x + 12y  3z  1 = 0. 2) Určte vzdialenosť bodu M od roviny r, ak M7, 3, 1 a rovina r je určená bodmi A1, 0, 1, B2, 2, 1, C0, 0, 2. 3) Dané sú body A1, 2, 2, B2, 1, 1, C1, 1, 2, D0, 2, 2. a)   Vypočítajte vzdialenosť bodu D od roviny ABC. b) Nájdite obraz bodu D v osovej súmernosti podľa osi AB. 4) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A2, 0, 3 kolmo na rovinu r : x  3y + 5z + 18 = 0. Vypočítajte vzdialenosť PA. 5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou x + y + z  6 = 0 a od začiatku súradnicovej sústavy má vzdialenosť d = √3. Späť Výsledky

10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny 1) Aký uhol zviera priamka p : x = 1  3t, y = 2  4t, z = 3 + t, t  R a rovina  : 2x  y + 2z  6 = 0?   2) Aký uhol zviera priamka p : x = 4 + t, y = 7  8t, z =  11 + 3t, t  R a rovina ABC A2, 2, 1, B0, 1, 1, C1, 3, 4? 3) Určte odchýlku priamky p a roviny . a)      p : x = t, y = t, z = 1 + 3t, t  R,  : 2x + y  z + 1 = 0 b)      p : x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3  t, t  R,  : 3x  y + z + 1 = 0 c)      p : x = 2  t, y = 2 + 3t, z = 1, t  R,  : 2x  y  z  2 = 0 d)      p = AB, kde A8, 6, 2, B12, 9, 1,  : 3x  5y  z  2 = 0 Späť Výsledky

4.Výsledky úloh 10.2.1. Vypočítať súradnice stredu úsečky 1) a) S[-2, 1] b) S[-5/2, -5/2] c) S[1/10, 9/20] d) S[2, -23] 2) a) S[0, 2, -3] b) S[-1/2, 1/2, -5/6] c) S[3/10, -1/2, -1/2] d) S[0, 2, 3/4] 3) S[9/10, -1/2, -7/4] 4) a) B[-10, 9] b) B[0, -1] c) B[-5, 6, -1] d) B[6/5, 0, -9/5] 5) S1[-2, 3] S2[1, -2] S3[4, 1] Späť Obsah

10.2.2. Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov 1) a) 10 b) 1 c) 13/2 d) 39/10 2) X1[-8, 0] X2[4, 0] 3) X[-4/5, 0, 0] 4) S = 5 Späť

10.2.3. Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny 1) Ani jeden z vektorov nie je smerovým vektorom priamky AB 2) a) smerový: p = 4/5 normálový: p = -7 b) smerový: p = 14/3 normálový: p = -3/14 3) a) k = -2  = 116 34 b) k = 2/3  = 33 41 4) a) n (1, 2, 3) b) n (3, 1, -1) c) n (1, 0, -3) d) n (-2, -1, -2) e) n (-1, 9, 4) Späť

10.2.4. Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi 1) a) všeob. rovnica p: 4x - y – 5 = 0 smernicový tvar p: y = 4x – 5 b) všeob. rovnica p: 5x + 2y – 4 = 0 smernicový tvar p: y = -5/2x + 2 2) a) p: x = -1 + 4t, y = 2 – 4t, z = -5 + t, tR b) p: x = 3, y = 5t, z = 2 – 5t, tR c) p: x = 1 + 3t, y = -3t, z = 3t, tR d) p: x = -7, y = -6 + 12t, z = 4 – 8t, tR 3) a) o: 8x – 2y – 13 = 0 b) o: 2x – 1 = 0 c) o: x – 3y – 4 = 0 d) o: 10x – 8y + 61 = 0 4) a) p: 3x – y – 2 = 0 b) p: 2x + y + 5 = 0 c) p: x + 2y – 8 =0 d) p: y – 7 = 0 5) a) k = 4 b) k = -1 Späť

10.2.5. Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou 1) a) p: y = -x + 5 b) p: y = -5/2x c) p: y = 5 d) p: y = 11/7x + 12/7 2) a) nie b) áno c) áno d) nie 3) a) p: x = 5 – 4t, y = -2 + 8t, tR b) c2 = 14 c) S[3, 2] d) D[-7, 22] Späť

10.2.6. Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi 1) a) : x = 1 + t – 3s, y = 3 – 8s, z = -1 + 4t – 6s, t,sR b) : x = -1 + 2t + 3s, y = -1 + 2t + 3s, z = 2t + 3s, t,sR c) : x = 2 – t – 2s, y = -3 + 3t + 5s, z = 5 – 9t + 2s, t,sR d) : x = 1 + t – s, y = 1 + t – s, z = t, t,sR 2) : 5x + 2y + 11z – 15 = 0 3) a) neležia na jednej priamke  : 3x – y – z – 2 = 0 b) ležia na jednej priamke c) neležia na jednej priamke  : 5y + z – 3 = 0 d) neležia na jednej priamke  : x + y – z = 0 Späť

10.2.7. Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine 1) a) y = 3 b) y = 5 c) y = 0 2) Body A, B ležia na priamke MN; bod C neleží na priamke 3) Body A, B, C, D neležia na danej priamke 4) yA = 8, yB = -7, xC = 6/5, xD = 7/5 5) a) priamka neprechádza začiatkom sústavy súradníc b) priamka prechádza začiatkom sústavy súradníc Späť

10.2.8. Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik 1) a) priamky sú mimobežné b) priamky sú rôznobežné, P[0, 7, -11] 2) a) P[-1, -2] b) priesečník neexistuje c) priesečník neexistuje 3) Priamka p pretína iba os y v bode [0, 4, 0] 4) ta: x = -2 + 9/2t tb: x = 3 – 3s tc: x = 2 – 3/2r t, s, r0, 1 y = -1 + 3t y = 3/2s y = 4 – 9/2r , T[1, 1] 5) c = -11 Späť

10.2.9.Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich priesečník 1) a) priamka a rovina sú rovnobežné b) priamka leží v rovine (b a  sú totožné) 2) a) P[6, 7, 11] b) P[6, -1, -2] 3) Px[-6, 0, 0] , Py[0, -2, 0] , Pz[0, 0, 3] 4) a) priamka a rovina sú totožné b) priamka a rovina sú totožné c) priamka a rovina sú rôznobežné 5) a) Px[3, 0, 0] , Py [0, -7, 0] , Pz [0, 0, 5] b) Px [-2, 0, 0], Py [0, 6, 0], Pz [0, 0, 9] Späť

10.2.10. Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín 1) p: x = -2 + 5t, y = -5 + 9t, z = t, tR 2) a) roviny sú rovnobežné b) p: x = 3t, y = -2 + 2t, z = t, tR c) p: x = 3 + 5t, y = 2t, z = 1, tR 3) a) rovnobežné b) totožné 4) m = 3, n = 8/3 5) totožné Späť

10.2.11. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná 1) a) r: 3x – y – 10 = 0 b) r: 2x – y – 4 = 0 c) r: x + 2y – 11 = 0 d) r: 2x + 7y – 37 = 0 2) a) áno b) áno 3) a) p: x = 1 + t, y = 5 – 4t, tR b) p: x = 1 + 3t, y = 5 – 4t, tR 4) x = 2 – 2t, y = -1 + t, z = 3 + 3t, tR 5) a) y = 3x – 8 b) y = -0,5x + 1 Späť

10.2.12. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá 1) a) x = 5 + 2t, y = 4 – 3t, tR b) x = 4 + 5t, y = -3 + 2t, tR 2) a) p: x + 4 = 0 b) p: x + y – 6 = 0 3) a) va: 3x + 4y – 23 = 0, vb: 7x + y – 12 = 0, vc: 4x – 3y + 11 = 0 b) va: 2x + y – 22 = 0, vb: 5x + 7y – 11 = 0, vc: x + 5y + 33 = 0 4) : x – 2y – 4z – 6 = 0 5) a) q: y = - 1/2x + 5 b) q: y = 2/3x – 3 c) q: y = - 2/2x d) q: y = - 3/4x – 5/4 Späť

10.2.13. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná 1) a) x = 2 + t, y = 2 + at, z = 1 + (2 – a)t, tR b) x = 3 + t, y = 1 + at, z = -12 – 5(a + 2)t, tR 2) a) p: x = 2 + t, y = 1 + t, z = 3 + 3t, tR b) p: x = 8 + t, y = - 6 + t, z = -2t, tR 3) neexistuje Späť

10.2.14. Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú rovinu je kolmá 2) a) P[-4, 5, -4] b) P[1/2, 1/2, 2] c) P[2, -1, 2] 3) P[1, 3, -2] 4) : x – y + 2z – 11 = 0, P[2, -1, 4] Späť

10.2.15. Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná 1) Normálové vektory sú lineárne závislé, k = -2 2) a) 2x – y + z + 5 = 0 b) x – 7y + 3z – 105 = 0 c) 2x – y – z – 6 = 0 3) y – 2 = 0 4) D) 3x – 2y + z – 10 = 0 5) 2x – y + z + 5 = 0 Späť

10.2.16. Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine) 1) 8 2) Bta=Cta = 2 /2 3) 3 4) 5 Späť

10.2.17. Vypočítať odchýlku dvoch priamok 1) 30 2) a) 45 b) 51 13´ c)65 54´ 3) q: x – y + 2 = 0 4) 45 Späť

10.2.18. Vypočítať odchýlku dvoch rovín 1) a) 80 24´ b) 90 c) 62 36´ 2) 45 3) a) 66 38´ b) 64 21´ Späť

10.2.19. Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny 1) a) 6 b) 2 c) 132 /5 2) 19/3 3) a) 2 / 2 b) D´[4, -4, 0] 4) P[1, 3, -2], PA = 35 5) x + y + z + 3 = 0 Späť

10.2.20. Vypočítať odchýlku priamky od roviny 1) 0 2) 90 3) a) 0 b) 0 c) 40 13´ d) 68 10´ Späť

5.Záver - prehľad použitých vzorcov Parametrická rovnica priamky: X = A + tu; t R Parametrická rovnica priamky: p (A, u) = { [a1 + t.u1; a2 + tu2] } Všeobecná rovnica priamky: ax + by + c = 0 Smernicový tvar rovnice priamky: p: y = kx + q Úsekový tvar rovnice priamky: x/p + y/q = 1 Normálový tvar rovnice priamky: x . cos α + y . sin α = n Parametrické vyjadrenie roviny: X = A + tu + sv, t, s  R Všeobecná rovnica roviny: ax + by + cz + d = 0 Polpriamka: AB: X= A + tu, t  <0,∞) Polrovina: pC : X= C + tu + sv, t  R, s ≥ 0 Opačná polrovina:pC ´: X= C´ + tu + sv, t R, s ≤ 0 Polpriestor: ρD: X= D + tu + sv + rw, t,s R, r ≥ 0 Opačný polpriestor: ρD´: X= D´ + tu + sv + rw, t,s R, r ≤ 0 Obsah

u . nρ Iam1 + bm2 + cI I am1 + bm2 +cm3 + d I u . v Uhol dvoch priamok: cos α = ––––––- |u| . |v| nρ . nσ Uhol dvoch rovín: cos α = –––––––––– |nρ|.|nσ| u . nρ Uhol priamky a roviny: cos β = ––––––– α = 90° - β |u|.|nρ| Iam1 + bm2 + cI Vzdialenosť bodu od priamky IMpI = –––––––––––––– √ a2 + b2 I am1 + bm2 +cm3 + d I Vzdialenosť bodu od roviny IMpI = ––––––––––––––––––––––– √ a2 + b2 + + c2 Obsah