تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي

فصل اول: تحلیل تنش و کرنش

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش 1 - مقدمه تحليل هاي تنش و كرنش،‌ مباني مورد نياز را براي تحليل رفتار سیستم سازه اي (Structural system) كه تحت اثر بارگذاري قرار دارد، فراهم مي نمايد. تحلیل کرنش مفاهيم بنيادي كرنش تانسور كرنش تبديلات در تانسور كرنش كرنش هاي اصلي كرنش هاي برشي معادلات سازگاري تحلیل تنش مفاهيم بنيادي تنش تانسور تنش تبديلات در تانسور تنش تنش هاي اصلي تنش هاي برشي ماكزيمم يا مينيمم معادلات تعادل

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش 2 – تحليل تنش الف) تعريف تنش یک جسم عمومی دلخواه را در نظر بگیرید که تحت اثر نیرو های عمل کننده در سطح آن قرار دارد ( نیرو های گسترده p1 و p2 و نیرو های متمرکز P1 و P2 و P3 ). یک صفحه دلخواه موهومی Q را از میان جسم عبور دهید. این صفحه جسم را در امتداد سطح A برش می دهد. یک سوی صفحه Q را با علامت (+) و سوی دیگر را با علامت منفی (-) نمایش می دهیم.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش قسمتی از جسم در سمت مثبت Q نیروهایی را به قسمت دیگر از جسم در سمت منفی Q اعمال می نماید. این نیروها از طریق صفحه Q به وسیله تماس مستقیم دو قسمت جسم در دو سمت Q منتقل می شوند. نیرویی را که از طریق سطح جزیی ΔA از A به وسیله سمت راست Q منتقل می شود با ΔF نمایش می دهیم. نيروي را مي توان به دو مؤلفه ( نيروي نرمال يا عمودي ) و ( نيروي برشي يا مماسي ) در امتداد بردار واحد نرمال N و بردار مماسي S نسبت به صفحه Q تجزيه نمود:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش مقدار متوسط نيرو در واحد سطح عبارتند از: ( تنش متوسط ) ( تنش نرمال متوسط ) ( تنش برشي متوسط )

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش مفهوم تنش در يك نقطه با فرض بي نهايت كوچك شدن حاصل مي شود. بنابراين بردار تنش به صورت زير مشخص مي شود: و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماسي به صورت زير تعريف مي شوند: ( تنش نرمال ) ( تنش برشي يا مماسي )

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم، مي توان چهار مشخصه زير را براي آن بيان كرد : بردار تنش از جنس نيرو در واحد سطح است. 2) بردار تنش در هر نقطه، نمايانگر عمل نيروهاي يك طرف مقطع خاص برش گذرنده از آن نقطه به طرف ديگر است. 3) بردار تنش در هر نقطه، روي سطحي عمل مي كند كه راستاي آن سطح از ابتدا در ارزيابي بردار تنش مؤثر بوده است. 4) بردار تنش در يك نقطه محدود به يك راستا و جهت خاص نمي باشد ( يعني در يك نقطه بي نهايت تنش مي توان تعريف كرد). از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی، بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص داد، در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند، می توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ب) تانسور تنش برای مشخص نمودن حالت تنش (State of Stress) در یک نقطه از دیاگرام چسم آزاد استفاده می کنیم. این جسم آزاد به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بی نهایت کوچک dx و dy و dz در نظر گرفته می شود، به عبارت دیگر نقطه مورد نظر به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بینهایت کوچک فرض می شود که وجوه آن موازی با محورهای x و y و z می باشند (توضیحی در مورد صفحاتی که از نقطه مورد نظر عبور می کنند). بارهايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسيم مي شوند: 1- نيروهاي سطحي (Surface Forces)كه در سطح جسم آزاد عمل مي كنند، نظير نيروهاي تماسي كه شامل بارهاي متمركز و واكنش ها در يك نقطه مي باشند و بارهاي گسترده. 2- نيروهاي حجمي (Body Forces)كه در حجم جسم آزاد عمل مي كنند، نظير نيروهاي ثقلي و نيروهاي اينرسي.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش برای سادگی و سهولت ارائه مطالب، عنصر بینهایت کوچک را با یک گوشه در مبدا O نشان می دهیم و فرض می کنیم که مولفه های تنش در سرتاسر عنصر حجمی یکنواخت (ثابت) می باشند. (توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برشی نیرو به دو مولفه) برای صفحات یا وجوه عمود بر محور x تنش های σxx و σxy و σxz را داریم. برای صفحات یا وجوه عمود بر محور y تنش های σyx و σyy و σyz را داریم. برای صفحات یا وجوه عمود بر محور z تنش های σzx و σzy و σzz را داریم.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش در ارتباط با مفهوم حالت تنش در يك نقطه، نه مؤلفه تنش به صورت زير وجود دارند: برای صفحات یا وجوه عمود بر محور x : برای صفحات یا وجوه عمود بر محور y : برای صفحات یا وجوه عمود بر محور z : توجه شود که در σab ، a نمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود است و b نمایش دهنده امتداد مربوط به مولفه تنش است.

بطور اختصار تانسور تنش را بصورت نشان مي دهند. ( نمايش تانسوري ) فصل اول : تحلیل تنش و کرنش تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد: بطور اختصار تانسور تنش را بصورت نشان مي دهند. ( نمايش تانسوري ) 1 بیانگر محور x ها 2 بیانگر محور y ها 3 بیانگر محور z ها

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش انواع كميت ها: يك كميت اسكالر، كميتي است كه تنها داراي يك مؤلفه در يك دستگاه مختصات اختياري است. مؤلفه مذكور هنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شود، ‌تغييري نمي كند ( تانسور از مرتبه صفر). يك كميت برداري، كميتي است كه داراي سه مؤلفه در يك دستگاه مختصات اختياري است. مؤلفه هاي مذكور هنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند، به صورت قانونمند تغيير مي كنند (تانسور از مرتبه اول). يك كميت تانسوري، از مرتبه دوم كميتي است كه داراي 9 مؤلفه در يك دستگاه مختصات اختياري است. مؤلفه هاي مذكور هنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند به صورت قانونمند تغيير مي كنند ( تانسور از مرتبه دوم) .

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش خواص تانسور تنش عبارتند از: 1- تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گيرد ، 2- عناصر قطر اصلي تانسور، مؤلفه هاي قائم تنش هستند، 3- عناصر واقع در غير قطر اصلي، ‌مؤلفه هاي برشي ( مماسي ) هستند، 4- تانسور تنش يك اصطلاح رياضي است كه به موجوديتي فيزيكي به نام تنش اطلاق مي شود، 5- تانسور تنش متقارن است.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است. به عبارت دیگر داریم: برای اثبات خاصیت تقارن، معادله تعادل مکعب تنش را می نویسیم. مطابق معادلات تعادل، باید لنگر نیروهای وارد بر مکعب حول هر یک از محورها و نسبت به هر نقطه، معادل صفر گردد. به عبارت دیگر داریم: در معادلات بالا از نیروهای ناشی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است، ولی می توان نشان داد که نتیجه به دست آمده در حالت کلی نیز صحیح است. معادلات تعادل بالا نشان می دهند که کمیت های تنش های برشی واقع در دو سطح عمود مجاور هم، همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است که یا به طرف همدیگر بوده یا این که از همدیگر دور می شوند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش پ) مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياري بردار تنش و و در صفحاتي كه به ترتيب عمود بر محورهاي x و y و z مي باشند، عبارتند از: اينك بردار تنش در يك صفحه مايل دلخواه P را كه از مكعب تنش بريده شده است، مورد ملاحظه قرار مي دهيم.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش بردار نرمال واحد عمود بر صفحه P عبارت است از: كوسينوس هاي هادي بردار واحد مي باشند. n و m و l كه در آن

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش مولفه های بردار تنش در یک صفحه مایل دلخواه P را می توان از تعادل ایستایی یک چهاروجهی بی نهایت کوچک که از این صفحه مایل و صفحات مختصات تشکیل شده است، به دست آورد. در شکل مذکور، تنش ها را در سه صفحه مختصات نشان داده ایم. مساحت مثلث بی نهایت کوچک ABC را با ΔA نشان می دهیم. در این صورت مساحت وجوه AOB و COB و AOC به ترتیب برابر هستند با mΔA و lΔA و nΔA. بردار عمل کننده در وجه ABC را با S نمایش می دهیم و مولفه های x و y و z آن را با Sx و Sy و Sz نشان داده شده اند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از تعادل نيروها در راستاي x داريم: بطور مشابه از تعادل نيروها در راستاي y و z نتايج زير حاصل خواهند شد: با استفاده از نمادگذاری تانسوری، مولفه های تنش در صفحه مایل را به صورت زیر نمایش می دهیم:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش سه معادله مذكور، محاسبه مؤلفه هاي تنش در هر صفحه مايل را كه به وسيله بردار نرمال واحدN تعريف مي شوند ميسر مي سازد، به شرط اين كه شش مؤلفه تنش معلوم باشند. بنابراين خواهيم داشت: براي به دست آوردن تنش نرمال كه در اين صفحه عمل مي كند از حاصل ضرب داخلي استفاده مي كنيم به عبارت ديگر داريم:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش با استفاده از نماد گذاري تانسوري مي توان را بصورت زير نوشت: براي به دست آوردن تنش برشي برآيند عمل كننده در اين صفحه خواهيم داشت:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ت) تنش هاي اصلي و صفحات اصلي ( Principal Stresses & Principal Planes ) فرض كنيد كه راستای صفحه ABC به گونه اي است كه برایند تنش S در این صفحه عمود بر صفحه است، به عبارت دیگر داریم: در اين صورت صفحه مذکور، صفحه اصلی (Principal Plane) در آن نقطه است و راستای نرمال آن، راستای اصلی (Principal Direction) و تنش S = Sn ، تنش اصلی (Principal Stress) نامیده می شود. فرض کنید که صفحه ABC يك صفحه اصلي در نقطهO باشد بگونه اي كه در این صورت S دارای همان كوسينوس هاي هادي l و m و n مشابه بردار نرمال واحد مي باشد. در اين صورت مؤلفه هاي S در راستاي x و y و z عبارتند از:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش در اين صورت معادلات مربوط به مؤلفه هاي تنش در يك صفحه مايل به صورت زير در خواهد آمد: به صورت نماد گذاري تانسوري نيز داريم: در نماد گذاري تانسوري، دلتاي كرونكر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش براي اينكه معادلات مذكور داراي جواب غير صفر به ازاي l و m و n باشند، بايد دترمينان ضرايب آن مساوي صفر باشد. به عبارت ديگر داريم: از بسط دترمينان مذكور، يك معادله درجه سومي ( Cubic Equation‌ ) به ازاي S خواهيم داشت:

(مجموع كوفاكتور هاي قطر تانسور تنش( فصل اول : تحلیل تنش و کرنش كه در آنها داريم: مجموع قطر تانسور تنش) ) (مجموع كوفاكتور هاي قطر تانسور تنش( (دترمينان تانسور تنش)

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش می توان ثابت کرد که معادله بالا دارای سه ریشه حقیقی (Real Root) است و در نتیجه حداقل سه تنش اصلی وجود دارند که به صورت σ1 و σ2 و σ3 نشان داده می شوند. از جایگذاری پسرفتی این جواب ها در معادلات مربوط به مولفه های تنش در یک صفحه مایل، کوسینوس های هادی متناظر l و m و n به دست می آیند، البته با شرط: اگرسه ریشه σ1 و σ2 و σ3 متمایز باشند، در این صورت سه راستای اصلی متناظر، منحصر بفرد خواهند بود و بر یکدیگر متعامد (Orthogonal) خواهند بود. اگر دو ریشه از این سه ریشه مساوی باشند، در این صورت یک راستا منحصر بفرد خواهد بود و دو راستای دیگر می تواند هر دو راستای دلخواهی باشند که بر نخستین راستا متعامد می باشند. اگر هر سه ریشه مساوی باشند، در این صورت هیچ راستای منحصر بفردی وجود نخواهند داشت و هر سه راستای متعامد دلخواهی می توانند انتخاب شوند. این وضعیت تنش به عنوان حالت تنش هیدرواستاتیک معروف است.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش فرض کنید که به جای سه محور x و y و z، یک مجموعه متفاوت محورهای x´ و y´ و z´ را در نقطه O در نظر بگیریم. در این صورت معادله تعیین تنش های اصلی مانند معادله درجه سومی ذکر شده خواهد بود، به جز این که I1 و I2 و I3 بر حسب تنش های σ´x و σ´y و σ´y نسبت به محورهای جدید تعریف خواهند شد. به عنوان مثال داریم: اما تنش های اصلی، کمیت های فیزیکی می باشند و واضح است که بستگی به محورهای مختصات انتخاب شده ندارند. بنابراین مقادیر I1 و I2 و I3 باید در هر دستگاه مختصاتی یکسان باشند تا این که مقادیر مشابهی را برای σ1 و σ2 و σ3 به دست دهند. بنابراین به عنوان مثال خواهیم داشت:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش I1 و I2 و I3 به ترتیب ناورداهای (Invariants) اول و دوم و سوم تانسور تنش نامیده می شوند. اگر راستاهای اصلی را به عنوان محورهای مختصات در نظر بگیریم، در این صورت ناورداهای تنش، فرم ساده زیر را به خود خواهند گرفت: باید یادآور شد که ناورداهای I1 و I2 و I3 که در معادلات بالا ظاهر می شوند، سه کمیت مستقل هستند که حالت تنش و نیز σ1 و σ2 و σ3 را مشخص می نمایند. به عبارت دیگر با معلوم بودن σ1 و σ2 و σ3 می توان کمیت های I1 و I2 و I3 را محاسبه نمود و با داشتن I1 و I2 و I3 نیز می توان σ1 و σ2 و σ3 را به دست آورد.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ث) تبديل تنش ( Transformation of Stress ) فرض كنيد (x , y , z) و (X ,Y , Z) نمايشگر دو دستگاه مختصات دكارتي با مبدأ مشترك باشند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش كوسينوس هاي زواياي بين محورهاي مختصات (x , y , z) و ( (X ,Y , Z در جدول زير درج شده اند. هر درايه اين جدول عبارت است از زاويه بين محورهاي مختصات كه در بالاي ستون و سمت چپ سطر مربوطه. زواياي مذكور از محورهاي (x , y , z) به محورهاي(X , Y , Z) اندازه گرفته مي شوند. به عنوان مثال داريم:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از آنجاكه محورهاي x , y , z) ) و (X ,Y , Z) متعامدند، از اين رو كوسينوس هاي هادي جدول مذكور بايد روابط زير را ارضا نمايد: براي عناصر سطري داريم: براي عناصر ستوني نيز داريم: مولفه های تنش σXX و σYY و σZZ نسبت به محورهای (X ,Y , Z) تعریف می شوند، همان گونه که تنش های σxx و σyy و σzz نسبت به محورهای x , y , z) ) تعریف می شوند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از نتايج روابط مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي دلخواه مي توان نوشت: سه بردار واحد و و كه به صورت زير تعريف مي شوند، در راستاهاي X و Y و Z قرار دارند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش بنابراين و و را مي توان به صورت زير بدست آورد:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش در حالت كلي اگر تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي x و y و z را با و تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي X و Y و Z را با نشان دهيم و نيز اگر كوسينوس هاي هادي را در يك آرايه به نام ماتريس دوران گرد آوريم، در اين صورت خواهيم داشت: به صورت نماد تانسوري نيز مي توان نوشت:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ج) تنش هاي برشي ماكزيمم فرض كنيد كه محورهاي مختصات مورد نظر خود را همان محورهاي اصلي اختيار كرده ايم. در اين صورت تنش هاي برشي مربوط به اين محورهاي مختصات صفر مي باشند. تنش هاي نرمال و برشي در صفحه اي مايل با كوسينوس هاي هادي نسبت به اين محورها ( l و m و n) عبارتند از:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از قبل مي دانيم كه در صفحات اصلي، تنش برشي مينيمم (يعني صفر) است. اينك مي خواهيم صفحاتي را پيدا كنيم كه در آن تنش برشي ماكزيمم است. به عبارت ديگر به دنبال l و m و n هستيم به گونه اي كه در معادله ذكر شده يك ماكزيمم باشد. علاوه بر معادله مذكور، محدوديتي در كوسينوس هاي هادي وجود دارد، به عبارت ديگر: يعني تنها دو تا از سه كوسينوس هاي هادي مذكور مي توانند مستقل باشند. از جايگذاري در معادله مربوط به و مشتق گيري از معادله حاصل نسبت به l و m و مساوي صفر قرار دادن اين مشتقات،‌ معادلات زير به ازاي l و m بدست مي آيند:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش روشن است که یک جواب عبارت است از: m =0 و l =0 و n =±1. جواب دیگر از طریق مساوی صفر قرار دادن l ، به صورت زیر به دست می آید: همچنین با m =0 جواب زیر به دست می آید: با حل معادلات فوق مي توان جدول زير را بدست آورد: سه ستون اول اين جدول، ‌كوسينوس هاي هادي صفحات مختصات كه همان صفحات اصلي هستند و بنابراين تنش هاي برشي در اين صفحات صفر مي باشند، به عبارت ديگر آنها مينيمم مي باشند. سه ستون آخر در واقع كوسينوس هاي هادي زواياي 45 درجه هستند. بنابراين، اين صفحات زواياي بين محورهاي مختصات را نصف مي نمايند. در اين صفحات تنشهاي برشي ماكزيمم مي باشند. با نشان دادن اين تنشها با و جايگذاري كوسينوس هاي هادي مذكور در معادله مربوط به مقادير تنش هاي برشي به صورت زير بدست مي آيند:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش اگر تنش هاي نرمال در اين صفحات را محاسبه نماييم و آنها را با نشان دهيم، در اين صورت از معادله مربوط به خواهيم داشت:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش خ ) معادلات دیفرانسیل تعادل (Equilibrium differential equations) در این بحث، معادلات دیفرانسیل تعادل را در یک جسم تغییر شکل پذیر (Deformable body) استخراج می کنیم .این معادلات در هنگام کاربرد تئوری الاستیسیته در استخراج روابط بار- تنش و بار – خیز ضروری می باشند. بدین منظور، یک جسم عمومی تغییر شکل پذیر را در نظر می گیریم ویک عنصر حجمی دیفرانسیلی (Differential volume element ) در نقطه O درجسم را به صورتی که در زیر نشان داده شده است، انتخاب می کنیم :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش فرم معادلات دیفرانسیل بستگی به نوع محورهای مختصات انتخابی دارد. در این مرحله، محورهای دکارتی (x, y, z) را که راستاهای آن موازی با لبه های عنصر حجمی است انتخاب می نماییم. شش صفحه ی بریده شده، مرز عنصر حجمی را تشکیل می دهند. در شکل زیر دیاگرام جسم آزاد نشان داده شده است. در حالت کلی ،مؤلفه های تنش از یک وجه به وجه دیگر تغییر می کنند. در ضمن نیروهای حجمی دردیاگرام جسم آزاد وارد شده اند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش برای نوشتن معادلات تعادل، هر مولفه تنش باید در سطحی که در آن عمل می کند ضرب شود و هر نیروی حجمی باید در حجم عنصر ضرب گردد. بنابر این معادلات تعادل برای این عنصر حجمی از طریق روابط زیر به دست آیند: پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادلات تعادل لنگر برای نمایش تقارن تانسور تنش استفاده نمودیم. به عبارت دیگر داشتیم:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از رابطه زیر: معادله دیفرانسیل تعادل در راستای x به صورت زیر به دست می آید :

و به طور کلی به صورت نمایش تانسوری داریم : فصل اول : تحلیل تنش و کرنش از رابطه: معادله دیفرانسیل تعادل در راستای y به صورت زیر به دست می آید : از رابطه: معادله دیفرانسیل تعادل در راستای z به صورت زیر به دست می آید : و به طور کلی به صورت نمایش تانسوری داریم :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش معادلات تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای : در دستگاه مختصات استوانه ای محور های Ox و Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θ و Oz می شوند . تانسور تنش در این دستگاه مختصات عبارت است از : که در آن ، تنش حلقوی- محیطی تنش شعاعی تنش عمودی - محوری

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش معادلات دیفرانسیل تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای از معادلات تعادل زیر بدست می آیند : به عنوان مثال داریم: درنتیجه :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش وبه طور مشابه اگر معادلات تعادل زیر را تشکیل دهیم: در این صورت در نهایت معادلات دیفرانسیل تعادل عنصر حجمی بی نهایت کوچک به صورت زیر خواهد بود :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش معادلات تعادل در دستگاه مختصات کروی : در دستگاه مختصات کروی محور های Ox و Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θ و Φ می شوند . تانسور تنش در دستگاه مختصات کروی : که در آن ، تنش حلقوی- محیطی تنش شعاعی تنش حلقوی- محیطی می باشند .

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش معادلات دیفرانسیل تعادل در دستگاه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش 3- تحلیل کرنش (Strain Analysis) الف) مقدمه تمامی اجسام شکل پذیر تحت بارهای مختلف، تغییر مکان (Displacement) و تغییر شکل (Deformation) می دهند. بدین معنی که هر نقطه ی P از جسم از موقعیت ابتدایی خود که به وسیله مختصات در فضا مشخص می شود، به موقعیت جدید خود که به وسیله مختصات مشخص می شود، انتقال می یابد.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش بردار PP´ را بردار تغییرمکان نقطه ی P از جسم می نامند. واضح است که اگر جسم مورد نظر شکل پذیر باشد، در این صورت تغییرمکان نقاط مختلف آن باهم مساوی نیستند. عدم تساوی تغییرمکان های نقاط یک جسم، باعث تغییرشکل (Deformation) آن می شود. تغییر شکل یک جسم، توسط کمیت مؤلفه های مختلف کرنش در هر نقطه از جسم بیان می گردد. مؤلفه های کرنش مانند مؤلفه های تنش عبارتند از : کرنش محوری (Axial Strain) کرنش برشی (Shear Strain)

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ب) کرنش محوری (Axial Strain) - هنگامی که یک جسم تغییرشکل می یابد، یک ذره در نقطه P به مختصات (x , y , z) به نقطه P´ به مختصات (x+u , y+v , z+w) انتقال می یابد. همچنین ذره ای در نقطه Q به مختصات (x+dx , y+dy , z+dz) به نقطه Q´ به مختصات (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw) انتقال می یابد و عنصر خطی بینهایت کوچک PQ=ds به صورت عنصر خطی P´Q´ به طول ds´ در می آید.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش -کرنش محوری مهندسی (Engineering axial strain) در نقطه P به صورت زیر تعریف می شود: این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های تغییرشکل کوچک کاربرد دارد. - کرنش محوری لاگرانژی (Lagrangian axial strain) در نقطه P به صورت زیر تعریف می شود که در تغییر شکل های بزرگ کاربرد دارد:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش کرنش محوری را می توان به وسیله تغییرات تغییر مکان نقطه Pبیان نمود. فرض می کنیم که کرنش لاگرانژی محوری نقطه Pدر امتداد محور xها مورد توجه باشد، در این صورت به موازات محور Ox بردار PQ را در نظر می گیریم.

طول PQو P'Q' به صورت زیر محاسبه می شود : فصل اول : تحلیل تنش و کرنش طول PQو P'Q' به صورت زیر محاسبه می شود : در این صورت کرنش محوری لاگرانژی در نقطه ی P درجهت محور Ox عبارت است از: به همین ترتیب کرنش محوری لاگرانژی در نقطه Pدر جهت محورهای Oy و Ozعبارتند از:

کرنش محوری مهندسی در نقطه ی Pدرجهت محورهای Oz , Oy , Oxعبارت است از: فصل اول : تحلیل تنش و کرنش کرنش محوری مهندسی در نقطه ی Pدرجهت محورهای Oz , Oy , Oxعبارت است از: در واقع اگر از جملات درجه دومی موجود در کرنش محوری لاگرانژی صرف نظر کنیم، به کرنش محوری مهندسی می رسیم و این امر در واقع در تغییرشکل های بسیار کوچک امکان پذیر است و اساسا کرنش های محوری مهندسی و لاگرانژی هنگامی مساوی فرض می شوند که تغییر شکل ها و یا کمیت کرنش ها کوچک باشند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش پ) کرنش زاویه ای یا برشی کرنش برشی در واقع تغییر شکل زاویه ای جسم را نشان می دهد. در نقطه ی Pیک زاویه ی قائم در نظر می گیریم. پس از تغییر شکل جسم، زاویه ی قائم تغییر خواهد کرد. مقدار زاویه ی جدید توسط کوسینوس آن مشخص می گردد.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش همانند کرنش محوری، دو تعریف برای کرنش برشی وجود دارد: کرنش برشی مهندسی: کرنش برشی لاگرانژی:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش کرنش برشی را می توان در صفحات مختلف معین نمود. به عنوان مثال، کرنش برشی لاگرانژی نقطه P در صفحه ای به موازی صفحه Oxy تابعی است از تغییرمکان های مختلف نسبت به متغیرهای x و y. برای این کار زاویه ی قائمه ی QPSرا موازی صفحه Oxy درنظر می گیریم، به گونه ای که اضلاع آن نیز موازی محورهای مختصات باشند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش مختصات نقاط Pو Q و S عبارتند از: P(x , y , z) Q(x+dx , y , z) S(x , y+dy , z) مختصات نقاط P'و Q'و S' عبارت اند از:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش در این صورت مؤلفه های P'Q'و PQعبارتند از :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از : در نتیجه مقدار کرنش برشی لاگرانژی در نقطه ی Pموازی محور Oxyبه صورت زیر در می آید: نکته جالب این است که اگر اندیس های x و y جابجا شوند، در مقدار کرنش برشی لاگرانژی تغییری حاصل نمی گردد، به عبارت دیگر داریم:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش به همین ترتیب می توان کرنش برشی لاگرانژی نقطه ی P را در صفحه ای به موازی Oxz و Oyz نیز به دست می آورد: کرنش برشی مهندسی در نقطه ی P در صفحات Oxy , Oxz , Oyz عبارت اند از : در واقع اگر از جملات درجه دومی موجود در کرنش برشی لاگرانژی صرف نظر نماییم، به کرنش برشی مهندسی می رسیم و این در تغییرشکل های کوچک امکان پذیر است. اساسا کرنش های برشی مهندسی و لاگرانژی هنگامی مساوی فرض می شوند که تغییر شکل ها و یا کمیت کرنش ها کوچک باشند .

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و برشی مهندسی : i , j =1,2,3 رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و برشی لاگرانژی : i , j , k =1,2,3

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ت) تانسور کرنش و خواص آن: تغییرشکل در نقطه ی P را می توان از طریق مؤلفه های کرنش در آن نقطه در یک تانسور به نمایش گذاشت. تانسور کرنش لاگرانژی عبارت است از: تانسور کرنش مهندسی عبارت اند از: طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی داشته باشند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که متقابلا متعامدند وجود دارند که در آن تنش برشی صفر است(صفحات اصلی). این سئوال مطرح می شود که آیا صفحاتی وجود دارند که در آنها کرنش برشی صفر باشد؟ یعنی صفحه ای که جهت نرمال های آنها بعد از تغییرشکل جسم تغییری نمی کند. بنابراین برداری مانند A که در ابتدا عمود بر آن صفحه است، یا کوتاه می شود یا بلند، ولی راستای ان تغییری نمی کند. جواب مثبت است. چنان صفحاتی، صفحات اصلی نامیده می شوند که راستاهای نرمال بر آنها راستاهای اصلی هستند و کرنش های متناظر با این صفحات نیز، کرنش های اصلی نامیده می شوند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم، در نهایت به معادله درجه سومی مشابه زیر می رسیم: کرنش های اصلی ناورداهای تانسور کرنش:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند از : روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند. به عنوان مثال: باز هم به طور مشابه با حالت تنش، می توان کرنش های برشی ماکزیمم را به صورت زیر به دست آورد:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ث) کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای : (کرنش های کوچک ) مولفه های تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش مولفه های کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای عبارتند از (تئوری تغییرشکل های کوچک): 1- کرنش محوری موازی محور z ها (ezz) : 2- کرنش محوری موازی محور r ها (err) :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ab یا AB به ضلع a´I (تصویر a´b´) تغییر می یابد. 3- کرنش حلقوی - محیطی (eθθ) :

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش 4- کرنش برشی موازی صفحه rθ :

جمع بندی: روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای فصل اول : تحلیل تنش و کرنش 5- کرنش برشی موازی صفحه zθ : 6- کرنش برشی موازی صفحه rz : جمع بندی: روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش تانسور کرنش مهندسی در دستگاه مختصات استوانه ای : ج) کرنش در دستگاه مختصات کروی: (کرنش های کوچک ) مولفه های تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی:

تانسور کرنش مهندسی در دستگاه مختصات کروی: فصل اول : تحلیل تنش و کرنش روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی: تانسور کرنش مهندسی در دستگاه مختصات کروی:

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش ج) معادلات دیفرانسیل سازگاری (Compatibility differential equations) تانسور کرنش مهندسی eij شش مولفه کرنش را بر حسب u و v و w بیان می کند، مثلا داریم: روشن است که اگر تغییر مکان های u و v و w به عنوان توابع پیوسته از x و y و z مشخص باشند، در این صورت می توان از روابط شش گانه eij، مولفه های کرنش را به صورت منحصر بفردی به دست آورد. اکنون عکس این حالت را در نظر می گیریم: به عبارت دیگر فرض بر این است که مولفه های کرنش eij در دست هستند و می خواهیم تغییرمکان های u و v و w را به دست آوریم. روشن است که در این حالت با دشواری مواجه خواهیم شد. شش معادله نمایشگر eij ، دارای سه مجهول u و v و w می باشند. بنابر این روشن است که این معادلات به ازای یک مجموعه کرنش های شش گانه اختیاری، جوابی منحصر بفرد نخواهند داست، به عبارت دیگر نمی توان سه مولفه تغییرمکانی u و v و w را به طور منحصر بفرد از انتگرال گیری معادلات eij به دست آورد. بنابر این باید از طریق روابطی، محدودیت هایی در کرنش ها اعمال شوند تا این که معادلات نمایشگر eij به طور منحصر بفرد دارای جواب باشند. روابط مذکور، روابط یا معادلات دیفرانسیل سازگاری نامیده می شوند.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش برای استخراج معادلات سازگاری، به جهت سادگی، حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم: در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مؤلفه های تغییرمکان uو vصرفا توابعی از xو y می باشند و wثابت است. شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مؤلفه تغییر مکان uو vاز سه رابطه کرنش – تغییرمکان حالت کرنش مسطح به دست آورد.

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش

فصل اول : تحلیل تنش و کرنش درحالت کلی اگر از شش معادله eij، سه مؤلفه ی تغییرمکان uو vو wرا حذف کنیم، به معادلات سازگاری زیر در حالت کلی می رسیم:

معادلات سازگاری در دستگاه مختصات استوانه ای: فصل اول : تحلیل تنش و کرنش معادلات شش گانه سازگاری که در بالا ارائه گردیدند، معادلات سازگاری کرنش برای تئوری تغییرمکان های کوچک نامیده می شوند. می توان نشان داد که اگر مولفه های کرنش exx و eyy و ezz و exy و exz و eyz در معادلات سازگاری صدق کنند، در این صورت مولفه های تغییرمکان های u و v و w به طور منحصر بفرد وجود دارند که جواب معادلات شش گانه کرنش می باشند. معادلات سازگاری در دستگاه مختصات استوانه ای: