ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 11ο Βελτιστοποίηση οικονομικών συναρτήσεων – Η εκθετική συνάρτηση ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: υπολογίζετε τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης η οποία εκφράζει ένα οικονομικό πρόβλημα, αποφασίζετε αν και πότε βελτιστοποιείται μια οικονομική συνάρτηση, υπολογίζετε την παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Αν η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού είναι P + Q= 30 και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = 1 2 Q2 + 6Q + 7 (α) Να υπολογιστεί η ποσότητα για την οποία μεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα (β) να υπολογιστεί η ποσότητα για την οποία μεγιστοποιείται το κέρδος και (γ) να υπολογιστούν επίσης το MR και το MC για την τιμή αυτή του Q. Τι παρατηρείτε;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (α) Για να μεγιστοποιήσουμε τα συνολικά έσοδα, πρώτα βρίσκουμε τη συνάρτηση που τα εκφράζει: Τα συνολικά έσοδα δίνονται από τη σχέση TR(Q)=PQ=(30-Q)Q = 30Q – Q2 Ακρότατα υπάρχουν στα κρίσιμα σημεία. Επομένως για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο TR’(Q)= (30Q – Q2)’=30 -2Q και θέτουμε TR’(Q)=0 οπότε 30 – 2Q = 0 άρα Q=15 Πρέπει να εφαρμόσουμε κριτήριο δεύτερης παραγώγου, επομένως υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για Q=15. TR’’(Q)= (30- 2Q)’ =-2 <0 επομένως για Q=15 υπάρχει μέγιστο το TR(15) = 30(15) – (15)2= 450 -225 = 225

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (συνέχεια) (β) Για τον υπολογισμό του κέρδους από τα συνολικά έσοδα TR πρέπει να αφαιρέσουμε το συνολικό κόστος TC Αν συμβολίσουμε π(Q) το συνολικό κέρδος, γνωρίζουμε ότι: π(Q)=TR –TC =(30Q – Q2) – ( 1 2 Q2 + 6Q + 7) δηλαδή, π(Q) = − 3 2 Q2 +24Q -7 Εντοπίζουμε τα κρίσιμα σημεία. Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο π’(Q) =( − 3 2 Q2 +24Q -7)’ = -3Q +24 και θέτουμε π’(Q)=0 οπότε – 3Q +24 = 0 άρα Q=8 π’’(Q) =(-3Q +24)’=-3<0 επομένως θα υπάρχει μέγιστο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 επίλυση (συνέχεια) (γ) Ζητάμε να δούμε τις τιμές που λαμβάνουν το οριακό έσοδο MR και το οριακό κόστος MC, στο σημείο που μεγιστοποιείται το κέρδος 𝑀𝑅= 𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄 MR=30 -2Q άρα για Q =8 έχουμε MR = 30-16 = 14 𝑀𝐶= 𝑑𝑇𝐶 𝑑𝑄 MC= ( 1 2 Q2 + 6Q + 7)’ =Q + 6 άρα για Q =8 έχουμε MC= 8 + 6 =14 Επομένως MR=MC για Q=8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Το κόστος για την κατασκευή ενός κτηρίου γραφείων με x ορόφους εξαρτάται από τρεις παράγοντες: (α) απαιτούνται 10.000.000 € για την αγορά γης (β) η κατασκευή κάθε ορόφου κοστίζει 250.000€ και (γ) ανάλογα με τον αριθμό των ορόφων (έστω x) απαιτούνται εξειδικευμένες δαπάνες που δίνονται από τη σχέση 10.000x € για τον κάθε όροφο. Πόσους ορόφους θα πρέπει να κατασκευάσουμε έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το μέσο κόστος ανά όροφο;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση Η συνάρτηση που δίνει το συνολικό κόστος της κατασκευής με x ορόφους θα είναι TC (x) = 10.000.000 +(250.000)x +(10.000x)x =10.000x2 +250.000x + 10.000.000, επομένως το μέσο κόστος θα είναι AC(x)=TC(x)/x = 10.000x + 250.000 + 10.000.000/x Για τον υπολογισμό του ελαχίστου κόστους, υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο AC’(x) = (10.000x +250.000 + 10.000.000/x)’ = 10.000 – (10.000.000)/x2 και θέτουμε AC’(x)=0 οπότε θα είναι 10.000 – (10.000.000)/x2 = 0 δηλαδή x2 = 1000 άρα x = ± √1000 δηλαδή x=± 31.6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση (συνέχεια) Αποδεχόμαστε μόνο τη θετική λύση η οποία έχει και φυσικό νόημα δηλαδή x=31.6 Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για x=31.6 AC’’(x) =[10.000 – (10.000.000)/x2]’ = 20.000.000/x3 AC’’(31.6) =633.8 >0 επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για x=31.6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 επίλυση (συνέχεια) Η απάντηση που δώσαμε έχει νόημα για τα μαθηματικά, όχι όμως και για την κατασκευή. Θα πρέπει να ελέγξουμε τις τιμές AC(31) και AC(32) για να δώσουμε την τελική απάντηση. AC(31)= 10.000(31) + 250.000 + 10.000.000/31 =310.000 + 250.000 + 322.581 =882.581 € AC(32)= 10.000(32) + 250.000 + 10.000.000/32 =320.000 + 250.000 + 312.500 =882.500 € Επομένως θα πρέπει να κατασκευαστούν 32 όροφοι.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω η συνάρτηση f(x) =2x, x -3 -2 -1 1 2 3 2x 0.125 0.25 0.5 4 8

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια επίσης ενδιαφέρουσα οικογένεια εκθετικών συναρτήσεων είναι εκείνη στην οποία ως βάση έχουμε τον αριθμό 2.718 281 828 459…. Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός ως e και αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων. Η συνάρτηση γράφεται f(x)=ex και αναφέρεται ως η εκθετική συνάρτηση. Γενικότερα στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι ισχύει: 𝑒= lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για μια οικονομία υπάρχει η πρόβλεψη συνεχούς ανάπτυξης με ετήσιο ρυθμό της τάξης του 2%, έτσι ώστε το ακαθάριστο εθνικό προϊόν (GNP gross national product) υπολογιζόμενο σε δισεκατομμύρια € μετά από t έτη να είναι: GNP=80e0.02t (α) Να υπολογιστεί η παρούσα αξία του ΑΕΠ καθώς και η μελλοντική αξία του μετά από 3 έτη, (β) Μετά από πόσα έτη το ΑΕΠ θα είναι της τάξης των 88 δις €;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 επίλυση (α) Για τη σημερινή αξία του ΑΕΠ αρκεί στην εξίσωση να θέσουμε t=0, οπότε GNP=80e0.02(0) = 80e0 =80(1)= 80 δις € Για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας μετά από 3 έτη θέτουμε t=3, οπότε GNP=80e0.02(3) = 80e006 =80(1.062)≈ 85 δις €

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 επίλυση (συνέχεια) (β) Στην περίπτωση αυτή θέλουμε να γνωρίζουμε το t για το οποίο θα ισχύει: 80e0.02t = 88 e0.02t = 88/80 e0.02t = 1.1 ln 𝑒 0.02𝑡 = ln 1.1 0.02t =0.09531 t=4.76 Επομένως, το ΑΕΠ θα γίνει ίσο με 88 δις € σε 5 έτη.

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 ex 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 Για να υπολογίσουμε την f’(-1.5) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -2 σε -1 Δx=(-1)-(-2)=-1+2 =1 και Δy=(0.37)-(0.14)=.23 και Δy/Δx=.23/1 = 0.23≈ f’(-1.5) Για να υπολογίσουμε την f’(-1) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -1.5 σε -0.5 Δx=(-0.5)-(-1.5)=-0.5+1.5 =1 και Δy=(0.61)-(0.22)=.39 και Δy/Δx=.39/1 = 0.39≈ f’(-1)

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex Δx=(0)-(-1)= 0+1 =1 και Δy=(1.00)-(0.37)=.63 και Δy/Δx=.63/1 = 0.63≈ f’(-0.5) Για να υπολογίσουμε την f’(0) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από -0.5 σε 0.5 Δx=(0.5)-(-0.5)=-0.5+0.5 =1 και Δy=(1.65)-(0.61)=1.04 και Δy/Δx=1.04/1 = 1.04≈ f’(0) Για να υπολογίσουμε την f’(0.5) εξετάζουμε όταν το x μεταβάλλεται από 0 σε 1 Δx=(1)-(0)=1+0 =1 και Δy=(2.72)-(1.00)=1.72 και Δy/Δx=1.72/1 = 1.72≈ f’(0.5)

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ f(x)=ex Από τη μελέτη του ρυθμού μεταβολής στα διάφορα σημεία προκύπτει ότι αν f(x)=ex τότε f’(x)=ex. Επίσης, ισχύει ότι αν f(x)=emx τότε f’(x)=memx και αν f(x)=ln(mx) τότε f’(x)=1/x

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων: (α) f(x)=e2x (β) f(x)=e-7x (γ) f(x)=ln(5x) με x>0 (δ) f(x)=ln(559x) με x>0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Σε μια επιχείρηση η συνάρτηση παραγωγής δίνεται από τη σχέση Q=L2e-0.01L Να βρεθεί η τιμή της εργασίας L για την οποία μεγιστοποιείται η μέση παραγωγή από την εργασία.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 επίλυση Ως μέση παραγωγή θεωρούμε το πηλίκο της παραγόμενης ποσότητας προς τον αριθμό των εργαζομένων, δηλαδή: APL = Q/L = Le-0.01L Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο (APL )’= (Le-0.01L)’=(L)’e-0.01L + L(e-0.01L)’ = e-0.01L + (-0.01L)’ L(e-0.01L) = e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L) Θέτουμε (APL )’=0, δηλαδή e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L)=0 άρα 1- 0.01L=0, επομένως L=100

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 επίλυση (συνέχεια) Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο και την τιμή της για L=100 (APL )’’= [e-0.01L - (0.01)L(e-0.01L)]’ (APL )’’= [e-0.01L]’- (0.01)[L(e-0.01L)]’ (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)[(L)’(e-0.01L) + L(e-0.01L)’] (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)[e-0.01L – 0.01Le-0.01L] (APL )’’= -0.01e-0.01L- (0.01)e-0.01L + 0.0001Le-0.01L (APL )’’= -0.02e-0.01L + 0.0001Le-0.01L (APL )’’= [-0.02 + 0.0001L] e-0.01L Οπότε για L=100 θα είναι (APL)’’ = [-0.02 +0.01]e-1=-0.01 (0.37)=-0.0037 <0 επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο.