1η ενότητα: Πεποιθήσεις Διδασκαλία και Μάθηση των Μαθηματικών με διαδικασίες επίλυσης προβλημάτων 1η ενότητα: Πεποιθήσεις ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις Ερευνητικά ευρήματα στις πεποιθήσεις (γενικά)

Το συναισθηματικό φάσμα (McLeod, 1992) οι πεποιθήσεις, οι στάσεις/αντιλήψεις και τα συναισθήματα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ένα ευρύ συναισθηματικό φάσμα. Ρευστότητα και ‘ένταση’ Σταθερότητα και ‘δροσερό’

Αυτοί οι τρεις όροι δεν είναι εύκολο να διακριθούν αλλά δείχνουν διαφορές στη σταθερότητα των συναισθημάτων που τις χαρακτηρίζουν οι πεποιθήσεις και οι στάσεις είναι γενικά σχετικά σταθερές με την πάροδο του χρόνου, αλλά τα συναισθήματα μπορεί να αλλάξουν γρήγορα. Διαφέρουν επίσης σε επίπεδα έντασης της επίδρασης που έχουν περιγράφουν, αυξάνοντας την ένταση από τις "κρύες" πεποιθήσεις για τα μαθηματικά, τις "ψυχρές" στάσεις που σχετίζονται με την αρεσκεία ή την ανυπαρξία των μαθηματικών, τις «καυτές» συναισθηματικές αντιδράσεις στις χαρές ή τις απογοητεύσεις για την επίλυση μη συνηθισμένων προβλημάτων. Σταθερότητα και δροσερό Ρευστότητα και ένταση Ο McLeod διακρίνει επίσης τις πεποιθήσεις, τις στάσεις και τα συναισθήματα σε σχέση με το βαθμό στον οποίο διαδραματίζει ρόλο η νοημοσύνη και τον χρόνο που χρειάζεται για να αναπτυχθεί. Έχουν τοποθετηθεί κατά μήκος ενός φάσματος που τρέχει από τη σταθερότητα και "δροσερό" στα αριστερά, στο ρευστότητα και ένταση στα δεξιά .

Πεποιθήσεις & στάσεις κατά τον Schoenfeld (1985) οι στάσεις ορίζονται ως τα θετικά ή αρνητικά συναισθήματα, που αναπτύσσονται σε εξειδικευμένο θεματικό πλαίσιο. «Μου αρέσει να μαθαίνω μαθηματικά» ή «τα μαθηματικά είναι ανιαρά» Οι πεποιθήσεις ορίζονται από τον ως οι προσωπικές αντιλήψεις του ατόμου, οι οποίες διαμορφώνουν τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβάνεται και εμπλέκεται στη μαθηματική διαδικασία. Π.χ. «Μολονότι βάζω τα δυνατά μου, τα μαθηματικά είναι πολύ δυσκολότερα για μένα από ότι για πολλούς από τους συμμαθητές μου»

Κατηγορίες επιστημολογικών πεποιθήσεων* κατά τον Ernest Τρεις κατηγορίες επιστημολογικών πεποιθήσεων για τα μαθηματικά Ως ένα δυναμικό πεδίο ανθρώπινης δραστηριότητας όπου η επίλυση προβλήματος παίζει κεντρικό ρόλο Ως ένα δομημένο, αμετάβλητο σώμα γνώσης (πλατωνική αντίληψη). ως μια συλλογή διαδικασιών, γεγονότων και δεξιοτήτων (εργαλειακή αντίληψη). *επιστημολογικές πεποιθήσεις ορίζονται ως οι θεμελιώδεις παραδοχές σχετικά με τη φύση της γνώσης και της μάθησης ενώ ταυτόχρονα περιέχουν πληροφορίες για τα όρια, τη βεβαιότητα και τα κριτήρια της μάθησης’

Ερευνητική μεθοδολογία Οι πεποιθήσεις για την επίλυση των προβλημάτων (μαθητών ή εκπαιδευτικών) συχνά μετριούνται μέσω ερωτηματολογίων (ποσοτική ανάλυση) ή/και συνεντεύξεων (ποιοτική ανάλυση). Ποσοτική ανάλυση/ερωτηματολόγια Τα ερωτηματολόγια έχουν γενικά τη μορφή κλίμακας Likert με στοιχεία τα οποία συνήθως χαρακτηρίζονται από "έντονα συμφωνώ" έως "έντονα διαφωνώ". Υπέρ & κατά Μεγάλο δείγμα Δεν είναι επαρκή για να κατανοηθεί η ακρίβεια σε κάποιας μορφής πληροφοριών (αλλαγές πεποιθήσεων, συναισθημάτων, συμπεριφοράς, συναισθήματα κ.λπ.). Δεν δίνει στους συμμετέχοντες την ευκαιρία να δικαιολογήσουν τιες θέσεις τους. Ποιοτική ανάλυση/ συνεντεύξεις μικρό δείγμα περισσότερες λεπτομέρειες, Εμβάθυνση

Ερευνητικά ευρήματα οι πεποιθήσεις των μαθητών επηρεάζονται από το κοινωνικό τους περιβάλλον . το εκπαιδευτικό σύστημα της χώρας τους το μορφωτικό επίπεδο των γονιών Τον τρόπο διδασκαλίας Π.χ. όταν οι εκπαιδευτικοί σχεδιάζουν δραστηριότητες που είναι προσιτές στους μαθητές, τότε οι στάσεις των μαθητών μπορούν να βελτιωθούν.

η επικοινωνία και ο διάλογος αποτελούν τις αιτίες για ανάπτυξη θετικών στάσεων Ο τρόπος με τον οποίο ο εκπαιδευτικός διαχειρίζεται την τάξη παίζει καθοριστικό ρόλο για τις σχέσεις που καλλιεργούνται μεταξύ των μαθητών και του γνωστικού αντικειμένου. Π.χ. Όταν μέσα στην τάξη επικρατεί ζεστό και φιλικό κλίμα, που συνοδεύεται από αισθήματα θετικής ενίσχυσης από το δάσκαλο, τότε αναπτύσσονται θετικές στάσεις και από τους μαθητές για το μάθημα. όταν καλλιεργείται η συνεργατική μάθηση δίνεται η ευκαιρία επικοινωνίας μεταξύ των μαθητών, γεγονός που βοηθάει τους πιο αδύνατους μαθητές να συμμετέχουν στις διαδικασίες επίλυσης ενός προβλήματος, δίνοντάς τους έτσι την ευκαιρία να νιώσουν αισθήματα ικανοποίησης και να αποκτήσουν θετικότερη εικόνα για τον εαυτό τους.

Οι επιστημολογικές αντιλήψεις των μαθητών ένας μαθητής που έχει μια εργαλειακή η πλατωνική αντίληψη των μαθηματικών είναι πιθανό να δει τα μαθηματικά ως μια διαδικασία απόκτησης γνωστών και καθιερωμένων μαθηματικών αληθειών. ένας μαθητής ο οποίος αντιλαμβάνεται τα μαθηματικά ως μια ανθρώπινη δραστηριότητα πιθανόν να συμμετάσχει ευκολότερα σε πιο ανοικτές μαθηματικές δραστηριότητες. Grootenboer, Lomas, & Ingram (2008).

Συζήτηση Μύθοι για τα μαθηματικά Οι Kogelman and Warren (1978) περιέγραψαν 12 μύθους σχετικά με τα μαθηματικά που αφορούν λανθασμένες (κατά τους ερευνητές) αντιλήψεις. Πολλοί άλλοι ερευνητές υποστήριξαν πολλούς από αυτούς τους μύθους στις εργασίες τους (π.χ. Frank (1990)). Παρουσιάζεται μια σύντομη περιγραφή των 12 μύθων καθώς και τα επιχειρήματα των Kogelman and Warren. Μελετήστε τους μύθους που σας δόθηκαν. Συμφωνείτε ή όχι με τα επιχειρήματα των συγγραφέων; Αιτιολογείστε την άποψη σας. Kogelman, S., & Warren, J. (1978). Mind over math: Put yourself on the road to success by freeing yourself from math anxiety. New York: McGraw-Hill.  Frank, M. L. (1990). What myths about mathematics are held and conveyed by teachers? Arithmetic Teacher, 37 (5), 10-12.

Ερευνητικά ευρήματα σχετικά με τις Στάσεις & Πεποιθήσεις των μαθητών σε σχέση με την Επίλυση προβλημάτων

Παράγοντες που επηρεάζουν τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος γνωστικοί (π.χ. συλλογιστική, ανάγνωση και διαδικαστική δεξιότητα, μεταγνώση). συναισθηματικοί (π.χ. αυτοπεποίθηση, άγχος, άγχος, κίνητρο, ενδιαφέρον). προσωπικοί (π.χ. ηλικία μαθητή, προηγούμενη γνώση του, στρατηγικές και εξοικείωση με το περιεχόμενο του προβλήματος). Charles & Lester (1982)

Ο ρόλος των πεποιθήσεων στην διαδικασία επίλυσης προβλήματος Σύμφωνα με τον Schoenfeld (1985, 1992) οι πεποιθήσεις των μαθητών για τα μαθηματικά μπορεί να επηρεάσουν τον τρόπο που θα εμπλακούν στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων διότι μπορούν να καθορίσουν πώς κάποιος επιλέγει να προσεγγίσει ένα πρόβλημα ποιες τεχνικές θα χρησιμοποιήσει ή θα αποφύγει, πόσο πολύ ή πόση λίγη προσπάθεια θα καταβάλει κλπ.

Θετικές στάσεις Οι μαθητές που έχουν θετικές στάσεις είναι πιο πιθανό να επιμείνουν στις προσπάθειές τους να λύσουν πιο δύσκολα προβλήματα. η αυτοπεποίθηση που αναπτύσσεται από προηγούμενες μαθηματικές επιτυχίες παρέχει στους μαθητές την υποστήριξη που χρειάζονται προκειμένου να αντιμετωπίσουν άγνωστες γι’ αυτούς καταστάσεις μαθηματικού προβλήματος.

Αρνητικές στάσεις Ο Schoenfeld προσδιόρισε τις αρνητικές αντιλήψεις των μαθητών που δεν υποστηρίζουν την προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων στην τάξη. Αυτές περιλαμβάνουν: Τα μαθηματικά προβλήματα έχουν μία και μόνο μία σωστή απάντηση. Υπάρχει μόνο ένας σωστός τρόπος για την επίλυση οποιουδήποτε μαθηματικού προβλήματος. Τα μαθηματικά είναι μια μοναχική δραστηριότητα, που γίνεται από μεμονωμένα άτομα. οι μαθητές που καταλαβαίνουν τα μαθηματικά θα είναι σε θέση να λύσουν οποιοδήποτε πρόβλημα σε πέντε λεπτά ή λιγότερο.

Vidic (2014) Ερευνητικός στόχος: εξετάζει τις διαφορές μεταξύ των πεποιθήσεων που σχετίζονται με τα μαθηματικά και των πεποιθήσεων σχετικά με την επίλυση προβλημάτων σε πρωτοετείς φοιτητές. Μεθοδολογία: Ποσοτική έρευνα σε 261 πρωτοετείς φοιτητές (ερωτηματολόγιο) Η μελέτη διεξήχθη με δύο διαφορετικές ομάδες φοιτητών δηλ. 99 που συμμετείχαν σε λιγότερο απαιτητικό πρόγραμμα σπουδών και 162 που συμμετείχαν σε πιο απαιτητικό πρόγραμμα σπουδών (ΠΣ). Αποτελέσματα οι φοιτητές με το πιο απαιτητικό ΠΣ είχαν πιο αρνητικές πεποιθήσεις στην επίλυση προβλημάτων από τους φοιτητές με το λιγότερα απαιτητικό ΠΣ. Σε αντίθεση με αυτό, οι φοιτητές με το πιο απαιτητικό ΠΣ Κατέχουν πιο θετικές πεποιθήσεις για τα μαθηματικά.

Lerch (2004): αποφάσεις ελέγχου & πεποιθήσεις Ερευνητικός στόχος: να ανακαλύψει πώς οι αποφάσεις ελέγχου (π.χ. αναζήτηση εναλλακτικής λύσης, αποφάσεις στο τι στρατηγική θα ακολουθήσουν) παίζουν ρόλο στην επίλυση προβλημάτων ρουτίνας και πρωτότυπων προβλημάτων καθώς και πώς οι πεποιθήσεις των συμμετεχόντων στην έρευνα επηρέασαν αυτές τις αποφάσεις ελέγχου. Μεθοδολογία: Ποιοτική ανάλυση, συνεντεύξεις, με προπτυχιακούς φοιτητές στο μάθημα της Άλγεβρας Συμμετέχοντες: 4 φοιτητές Αποτελέσματα: οι αποφάσεις που έλαβαν οι φοιτητές (π.χ. ποια διαδικασία θα επιλέξουν να ακολουθήσουν) κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος εξαρτιόνταν από τη γνώση του περιεχομένου και τις πεποιθήσεις τους. Η έλλειψη εμπιστοσύνης στην ικανότητά τους να λύσουν ένα πρόβλημα λόγω των αποτυχημένες προσπαθειών τους είχαν σαν συνέπεια να σταματήσουν γρήγορα τις προσπάθειές τους. Οι αποφάσεις που έλαβαν ήταν πιο σωστές αν έλυναν ένα πρόβλημα ρουτίνας.

Ερευνητικά ευρήματα σχετικά με τις Στάσεις & Πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών σε σχέση με την Επίλυση προβλημάτων

Ο ρόλος των διδακτικών επιλογών Ο Cai (1995) υπογράμμισε τις σημαντικές διαφορές μεταξύ των επιδόσεων των μαθητών της Κίνας και των ΗΠΑ στις εργασίες επίλυσης προβλημάτων. Αυτές οι διαφορές αποδείχθηκαν αργότερα ως επακόλουθο των διδακτικών επιλογών των εκπαιδευτικών σε σχέση με τα προβλήματα προς λύση που επέλεγαν (Cai & Lester 2007).

Ο ρόλος των επιστημολογικών πεποιθήσεων Οι εκπαιδευτικοί γενικά προσπαθούν να ευθυγραμμίσουν τη διδασκαλία τους σύμφωνα με τα σύγχρονα ΑΠΣ που ενθαρρύνουν την κατανόηση και την επίλυση προβλήματος. Δεν είναι όμως εύκολο αυτό, γιατί οι επιστημολογικές πεποιθήσεις τους για τη φύση της γνώσης, της διδασκαλίας και της μάθησης στα Μαθηματικά, υπάρχει περίπτωση να συμβάλλουν αρνητικά στην αλλαγή των πρακτικών διδασκαλίας τους (Gill et al., 2004)

Αρνητικές πεποιθήσεις εκπ. Τα μαθηματικά είναι υπολογισμοί. Τα μαθηματικά προβλήματα θα πρέπει να λυθούν σε λιγότερο από 5’ ή αλλιώς κάτι συμβαίνει (είτε με το πρόβλημα είτε με τον μαθητή). Ο στόχος σε ένα μαθηματικό πρόβλημα είναι να λάβετε τη σωστή απάντηση. Στη διαδικασία διδασκαλίας-μάθησης, ο μαθητής είναι παθητικός δέκτης (Frank, 1988)

Grootenboer, P. , Lomas, G. , & Ingram, N. (2008) Grootenboer, P., Lomas, G., & Ingram, N. (2008). The affective domain and mathematics education. In H. Forgasz, A. Barkatsas, A. Bishop, B. Clarke, S. Keast, W. T. Seah, P. Sullivan (Eds.), Research in mathematics education in Australasia 2004–2007 (pp. 255–269). Rotterdam, the Netherlands: Sense. Garofalo, J. (1989). Beliefs and their influence on mathematical performance. Mathematics Teacher, 82(7), 502-505. Gill, M. G., Ashton, P. T., & Algina, J. (2004). Changing preservice teachers’ epistemological beliefs about teaching and learning in mathematics: An intervention study. Contemporary Educational Psychology, 29, 164 – 185. Goldin, G., Rösken, B., & Törner, G. (2009). Beliefs - no longer a hidden variable in mathematical teaching and learning processes. In J. Maaß & W. Schlöglmann (Eds.), Beliefs and attitudes in mathematics education: New research results (pp. 9-28). Rotterdam: Sense. Lerch, C. M. (2004). Control decisions and personal beliefs: Their effect on solving mathematical problems. Journal of Mathematical Behavior, 23, 21-36. Nespor, J. (1987). The role of beliefs in the practice of teaching. Journal of Curriculum Studies, 19, 317-328. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando, FL: Academic Press. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching (pp. 334–370). New York: MacMillan Publishing. Stylianides, A. J., & Stylianides, G. J. (2014). Impacting positively on students’ mathematical problem solving beliefs: An instructional intervention of short duration. The Journal of Mathematical Behavior, 23, 8-29. Cobb, P., & Yackel, E. (1998). A constructivist perspective on the culture of the mathematics classroom. In F. Seeger, J. Voigt, & U. Waschescio (Eds.), The culture of the thematics classroom (pp. 158-190). Cambridge: Cambridge University Pres. Vidic, A. D. (2014). First-year students’ beliefs about context problems in mathematics in university science programmes. International Journal of Science and Mathematics Education, 1-27.

Εβδομαδιαία εργασία Μελετήστε ένα από τα παρακάτω άρθρα και διαμορφώστε μια σύντομη παρουσίασή τους στην τάξη (ερευνητικά ερωτήματα, μεθοδολογία/συμμετέχοντες, σύντομη παρουσίαση των αποτελεσμάτων) Xenofontos, C & Andrews, P. (2012). Prospective teachers’ beliefs about problem-solving: Cypriot and English cultural constructions. Journal Research in Mathematics Education 14 (1). Stylianides, A. J., & Stylianides, G. J. (2014). Impacting positively on students’ mathematical problem solving beliefs: An instructional intervention of short duration. The Journal of Mathematical Behavior, 23, 8-29. Kapetanas Ε. & Zachariadis Τ. (2007). Students’ beliefs and attitudes about studying and learning mathematics.