Το Παράδοξο: ‘’Ο Αχιλλέας και η Χελώνα’’ Ζήνων ο Ελεάτης Μαθήτρια: Δήμητρα Δεληβοριά Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Σ.Πατσιομίτου Β3’ 2013-2014 Το Παράδοξο: ‘’Ο Αχιλλέας και η Χελώνα’’ 1ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

Ζήνων ο Ελεάτης Ο Ζήνων ο Ελεάτης ήταν φιλόσοφος και μαθηματικός της Αρχαίας Ελλάδας και αγαπημένος μαθητής του φιλόσοφου Παρμενίδη. Γεννήθηκε το 488 π.Χ. στην Ελέα της Ιταλίας. Έζησε για μερικά χρόνια στην Αθήνα και ήταν αυτός ο οποίος έδινε εξηγήσεις στον Περικλή και στον Καλλία για τα διάφορα δόγματα.

Έργο του Ζήνωνα Ελάχιστα από τα γραπτά του Ζήνωνα έχουν σωθεί και τα περισσότερα που γνωρίζουμε γι’ αυτόν προέρχονται από τον Αριστοτέλη. Λέγεται ότι βοήθησε τον Παρμενίδη να γράψει τους νόμους της Ελέας. Ήταν υπέρμαχος της ελευθερίας και δεν δίστασε να ρισκάρει την ζωή του για να γλιτώσει την πατρίδα του από έναν τύραννο. Ο Ζήνων απέδειξε πως η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας οδηγεί σε ‘’ παράδοξα’’ και ‘’ οξύμωρα ‘’.

Τα Παράδοξα του Ζήνωνα Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας. Το Παράδοξο της Διχοτομίας. Το Παράδοξο του Βέλους. Το Παράδοξο του Σταδίου.

Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας Ο Αχιλλέας όπως λέει ο Όμηρος ήταν πολύ γρήγορος δρομέας και όμως ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να φτάσει μια χελώνα που προπορεύεται. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει το παράδειγμα αυτό είναι το εξής: ‘’ Ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’

Αν έχουμε έναν αγώνα δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα και μιας χελώνας, και η χελώνα ξεκινήσει με προβάδισμα, για παράδειγμα ενός σταδίου, ο Αχιλλέας ο οποίος ήταν ο καλύτερος δρομέας της μυθολογίας, δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει την χελώνα. Αν υποθέσουμε ότι ο Αχιλλέας είναι 100 φορές πιο γρήγορος από την χελώνα τότε όταν αυτός θα έχει διανύσει 1 στάδιο, η χελώνα θα έχει διανύσει 1 στάδιο και 1 εκ. του σταδίου. Όταν ο Αχιλλέας έχει διανύσει 1 στάδιο και 1εκ. του σταδίου η χελώνα θα έχει διανύσει 1 στάδιο και 1εκ. και 1 εκ. του εκατοστού του σταδίου κ.ο.κ. Επομένως η χελώνα πάντα θα προπορεύεται.

Αν η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι υΑ = 10m. /sec και της χελώνας υΧ= 1m Αν η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι υΑ = 10m./sec και της χελώνας υΧ= 1m./sec τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1= 10 sec θα διανύσει απόσταση Αx1 την οποία τον προσπερνά η χελώνα. Κατά την διάρκεια του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει διάστημα x1 x2= 10m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2=1 sec. Κατά τον χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει απόσταση x2 x3. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

Σύγχρονες αναλύσεις του παράδοξου του ‘’Αχιλλέα και της Χελώνας’’ Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση του Άγγλου μαθηματικού Bertrand Russell στις αρχές του 20ου αιώνα. Το κύριο σημείο του επιχειρήματος του Russell είναι η ένα προς ένα αντιστοίχιση θέσεων Αχιλλέα-χελώνας. Σε κάθε στιγμή της κίνησής τους ο Αχιλλέας βρίσκεται κάπου, το ίδιο και η χελώνα. Δεν είναι δυνατό ποτέ κανείς κατά την διάρκεια του αγώνα να βρίσκεται στο ίδιο μέρος. Έτσι ο αριθμός των σημείων που πηγαίνει ο Αχιλλέας είναι ίδιος με αυτόν των σημείων που πηγαίνει η χελώνα. Αν ο Αχιλλέας φτάσει την χελώνα τότε ο αριθμός των σημείων της διαδρομής που έκανε θα είναι μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο της χελώνας. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση. Ωστόσο τα δύο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη.

ΠΗΓΕΣ: Βικιπαίδεια http://www.atopo.gr/genika/1854/ http://antikleidi.com/2012/09/22/zinonachileas/