Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙΙ)

Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων Hybrid

Ανάθεση συχνοτήτων: σχετική βιβλιογραφία Off-line αλγόριθμοι 4/3-προσέγγιση [NS97, MR97, JKNS98] Ακόμα κι αν γνωρίζουμε εξ’ αρχής τους χρήστες, το πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων δε μπορεί να λυθεί βέλτιστα σε πολυωνυμικό χρόνο [MR97] Απλοί 3/2- και 17/12-προσεγγιστικοί αλγόριθμοι [JKNS98] On-line αλγόριθμοι Αλγόριθμος FA: συγκριτικός λόγος απόδοσης 3 [JKNS98] Κανένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος δεν έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης καλύτερο από 2 [JKNS98]

το γράφημα παρεμβολών που αντιστοιχεί σε κυψελικό ασύρματο δίκτυο… Σύμφωνα με τον αλγόριθμο FA: χρησιμοποιούνται 3 χρώματα για να χρωματιστεί σωστά το γράφημα παρεμβολών που αντιστοιχεί σε κυψελικό ασύρματο δίκτυο…

κορυφής στην οποία εμφανίστηκαν… Όταν εμφανίζονται κλήσεις σε κορυφές του γραφήματος, τους ανατίθεται το χρώμα της κορυφής στην οποία εμφανίστηκαν…

Ο αλγόριθμος FA μπορεί να χρησιμοποιήσει – άσκοπα – 3πλάσια χρώματα (δηλ., συχνότητες) σε σύγκριση με αυτά που θα χρησιμοποιούσε ο βέλτιστος offline αλγόριθμος…

Ο άπληστος αλγόριθμος για ανάθεση συχνοτήτων Συχνότητες: θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3, ... Όταν εμφανίζεται μια νέα κλήση, τής ανατίθεται η ελάχιστη διαθέσιμη συχνότητα, έτσι ώστε Να μην υπάρχουν παρεμβολές μεταξύ της κλήσης και κλήσεων στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες (με βάση την απόσταση επαναχρησιμοποίησης του δικτύου) Ο άπληστος αλγόριθμος για ανάθεση συχνοτήτων έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης 2.5 απέναντι σε offline αντιπάλους [CKP02, NT04]

Απόδειξη – Άνω φράγμα

Απόδειξη – Άνω φράγμα D

Απόδειξη – Άνω φράγμα D ...α1 ...α2 ...α3 ...α4 ...α5 ...α6 ...α0

Απόδειξη – Άνω φράγμα ...α1 ...α2 ...α3 ...α4 ...α5 ...α6 ...α0 D a0  2.5D

Απόδειξη – Κάτω φράγμα

Απόδειξη – Κάτω φράγμα

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 3 1,2 3 1,2,3 1,2,3 1,2 3 1,2 1,2 1,2 3 3 3 1,2 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 3,4 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4 4 3 1,2 1,2 1,2 3,4 3,4 3 1,2 4 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5 3,4 5 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5 4,5 3 5 1,2 1,2 1,2 3,4 3,4 5 3 5 1,2 4 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 1,2 1,2 3,4 3,4 5,6 3 5,6 1,2 4 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7 1,2 7 1,2 3,4 3,4 5,6 3 5,6 1,2 4,7 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7,8 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 8 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8 1,2 7,8 1,2 3,4 3,4 5,6 3 5,6 1,2 4,7 8 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 8,9 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4,10 8,9 1,2 4,5,6 10 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 12 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 16 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 16,17 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 3,4 5,6 3,10,11 5,6 1,2 4,7 8,9 1,2

Απόδειξη – Κάτω φράγμα

Απόδειξη – Κάτω φράγμα

Ανάθεση συχνοτήτων [2002] Ο άπληστος αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά δίκτυα ποτέ δε χρησιμοποιεί παραπάνω από 2,5 (βελτιώθηκε σε 17/7 το 2007) φορές τον αριθμό συχνοτήτων που θα χρησιμοποιούσε ο βέλτιστος offline αλγόριθμος δε μπορεί να χρησιμοποιήσει λιγότερο από 17/7=2,43 φορές τον αριθμό συχνοτήτων που θα χρησιμοποιούσε ο βέλτιστος offline αλγόριθμος Ioannis Caragiannis, Christos Kaklamanis, Evi Papaioannou: Efficient On-Line Frequency Allocation and Call Control in Cellular Networks. Theory Comput. Syst. 35(5): 521-543 (2002) [2007] Υπάρχει online αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά, ο HYBRID, που πετυχαίνει απόδοση 2 φορές χειρότερη από τον αντίστοιχο offline αλγόριθμο – ο αλγόριθμος αυτός είναι βέλτιστος στην κατηγορία του Για μεγάλο αριθμό κλήσεων, ο αλγόριθμος HYBRID πετυχαίνει απόδοση 1,5 φορές χειρότερη από τον αντίστοιχο offline αλγόριθμο Joseph Wun-Tat Chan, Francis Y. L. Chin, Deshi Ye, Yong Zhang: Online frequency allocation in cellular networks. SPAA 2007: 241-249

Mexri edw

O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων HYBRID Του άπληστου αλγόριθμου ανάθεσης συχνοτήτων και Του αλγορίθμου ανάθεσης συχνοτήτων FAA (Fixed Allocation Assignment)

O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων FAA (Fixed Allocation Assignment) 3-ανταγωνιστικός: χρησιμοποιεί 3-πλάσιο πλήθος συχνοτήτων από αυτό που θα χρησιμοποιούσε ο αντίστοιχος offline αλγόριθμος 3-χρωματίσιμα: με 3 χρώματα οι κυψέλες χρωματίζονται έτσι ώστε γειτονικές κυψέλες να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Το μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο στη γειτονιά κάθε κόμβου έχει μέγεθος 3 (υπενθύμιση) Ανεξάρτητο σύνολο σε ένα γράφημα είναι ένα υποσύνολο των κορυφών του που μεταξύ τους ΔΕΝ υπάρχουν ακμές (δηλ., οι κορυφές ενός ανεξάρτητου συνόλου ΔΕΝ είναι γειτονικές)

Πώς λειτουργεί ο Hybrid; To κυψελικό δίκτυο προ-χρωματίζεται με 3 χρώματα: R,G,B Το σύνολο των διαθέσιμων συχνοτήτων διαμερίζεται σε 3+1=4 σύνολα, ως εξής: Κοινό σύνολο: {1, 5, 9, 13, 17, …} R={2, 6, 10, 14, …} G={3, 7, 11, 15, …} B={4, 8, 12, 16, …} Κάθε φορά που εμφανίζεται κλήση σε κάποιο κελί, της ανατίθεται η μικρότερη δυνατή συχνότητα μεταξύ αυτών που αντιστοιχούν στο χρώμα του κελιού της και αυτών στο κοινό σύνολο

Πώς λειτουργεί ο Hybrid; σ = (8,1,6,10,8,4,8,19,6,8,13,11) Κοινό σύνολο = {1, 5, 9, …, 4k + 1} R = {2, 6, 10, … , 4k + 2} G = {3, 7, 11, … , 4k + 3} B = {4, 8, 12, … , 4k + 4} 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4

Πόσες συχνότητες μπορεί να χρειαστεί ο Hybrid; Το πολύ 2-πλάσιες από το βέλτιστο αλγόριθμο - ΓΙΑΤΙ; x 4k-3 4k-2 4k-1 4k y x γραμμή i y to y sth grammh i => x sth grammh i+1 ara sthn kupselh tou x mporei na exw to polu 2*i+1 klhseis (mazi me thn klhsh pou pairnei th suxnothta x) gia na prepei na xrhsimopoihsw th suxntothta x shmainei oti exw exw ftasei sth suxtnothta 4i+1 Ara o logos apodoshs einai 4i+1/2i+12 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4

Πόσες συχνότητες μπορεί να χρειαστεί ο Hybrid; Το πολύ 2-πλάσιες από το βέλτιστο αλγόριθμο ΓΙΑΤΙ; to y sth grammh i => x sth grammh i+1 ara sthn kupselh tou x mporei na exw to polu 2*i+1 klhseis (mazi me thn klhsh pou pairnei th suxnothta x) gia na prepei na xrhsimopoihsw th suxntothta x shmainei oti exw exw ftasei sth suxtnothta 4i+1 Ara o logos apodoshs einai 4i+1/2i+12

h

 i κλήσεις στο κόκκινο κελί h 1+4q  i κλήσεις στο κόκκινο κελί h 1+4i h 1+4q An h h einai syxnothta apo to koino sunolo as poume oti th sunantame panw apo i grammes. Auto mporei na sunevh (a) Giati sto kokkino keli xrhsimopoioountai hdh oi i grammes apo to koino xrwma opote anagkastika paw sthn apo panw grammh kai sth suxnothta 1+4i H arithmhsh twn suxnothtwn ksekinaei apo to mwv xrwma (1), mple (2), prasino (3), kokkino (4) sthn prwth grammh kai genika sth grammh i mwv (i), mple (2i), prasino (3i), kokkino (4i) (b) Giati se kapoio allo keli geitoniko tou kokkinou – as poume sto prasino – eixan hdh xrhsimopoihthei q<i suxnothtes, xreiasthke allh mia kai Epilextthke h 1+4q apo to koino (anti h 3+4q apo to prasino pou tha htan megaluterh) meta emfanisthkan kai alles i-(q+1) sto kokkino keli Ara sunolika I klhseis sth geitonia kai anagkastika phga sthn epomenh apo to koino sunolo i γραμμές q γραμμές q+1 κλήσεις στο πράσινο κελί + i-(q+1) κλήσεις στο κόκκινο κελί = i κλήσεις συνολικά στη γειτονιά Για να ασχοληθώ με τη συχνότητα h από το κοινό σύνολο έχω τουλάχιστον i κλήσεις στη γειτονιά που έχουν λάβει συχνότητες από το κοινό σύνολο

 j κλήσεις στο κόκκινο κελί h Για να ασχοληθώ με τη συχνότητα h από το κόκκινο σύνολο έχω τουλάχιστον j κλήσεις στη γειτονιά

h Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσεις στη γειτονιά

1+4i h h i γραμμές j γραμμές h 4+4j h i γραμμές j γραμμές

h 1+4i h h i γραμμές j γραμμές τουλάχιστον i+i+1=2i+1 κλήσεις στη γειτονιά (OPT) για τις οποίες ο hybrid χρησιμοποιεί h συχνότητες CR=h/2i+1 ≤ 1+4i/1+2i ≤2 h 1+4i h h i γραμμές j γραμμές Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσεις στη γειτονιά

h 4+4j h i γραμμές j γραμμές  τουλάχιστον j+1+j+1=2j+1 κλήσεις στη γειτονιά (OPT) για τις οποίες ο hybrid χρησιμοποιεί h συχνότητες CR=h/2(j+1) ≤ 4(1+j)/2(1+j) ≤2 h 4+4j h i γραμμές j γραμμές Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσεις στη γειτονιά

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος A να τα καταφέρει καλύτερα; Το καλύτερο Όχι… - ΓΙΑΤΙ; 1 1 a a 1 1 Αλλιώς… a a 1 2 Alliws: An de xrhsimopoiouse enas kalos online alg 1 suxnothta tha xrhsimopoiouse 2 (CR=2/1=20 h 3 (CR=3/1=3) h 4 suxnothtes (CR=4/1=4) ara tha eixe xeirotero competitive ratio CR≥2/1=2 3 4 Και ο αντίπαλος δεν εμφανίζει άλλες κλήσεις…

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος A να τα καταφέρει καλύτερα; CR=4/2=2 Όχι… - ΓΙΑΤΙ; 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 d d 3 4 b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 An enas kalos online alg dwsei thn idia suxnothta 2 stis klhseis h akolouthia sunexizetai me duo klhseis tupou d Tote o dikos mas xrhsimopoiei anagnastika 2 nees suxnothtes kai ftanei tis 4 ennow o OPT tha arkoutan se 2 suxnothtes An dwsei diaforetikes emfanizontai klhseis tupou c c c 3 2 1 1 1 1

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος A να τα καταφέρει καλύτερα; CR=4/2=2 Όχι… - ΓΙΑΤΙ; 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 d d 3 4 b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 d 3 c c 3 d d 2 1 1 1 1

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος A να τα καταφέρει καλύτερα; CR=4/2=2 Όχι… - ΓΙΑΤΙ; 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 d d 3 4 b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 6 3 c c 3 4 5 2 1 1 1 1 CR=6/3=2