Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Θεόδωρος Κ. Βεργίδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΦΡΑΚΤΑΛ

Κίνητρα-Στόχοι Παρουσίαση του θέματος στους Μαθηματικούς της Δ/θμιας Εκπαίδευσης Πρόταση εισαγωγής της διδασκαλίας τους στο Λύκειο Παιδαγωγική αξιοποίηση Ιδέες ερευνητικής εργασίας μαθητών

Εισαγωγικά

Η θεωρία του Χάους Η τεράστια πολυμορφία της φύσης, προέρχεται από απλές αλλά μη γραμμικές διαδικασίες. Μικρές λεπτομέρειες στην αλυσίδα αιτίων-αιτιατών, επιφέρουν αποτελέσματα απρόβλεπτα, χαοτικά, φαινομενικά τυχαία. Υπέρ-τάξη στο Χάος, για οποιοδήποτε σύστημα σε δυναμική συμπεριφορά (νόμος παγκοσμιότητας, Feigenbaum). Μαζί με τη Θεωρία της Σχετικότητας και την Κβαντομηχανική, θεωρείται η 3η επιστημονική επανάσταση του 20ου αιώνα.

Ο παράξενος ελκυστής του Lorenz

Έχει φράκταλ δομή και διάσταση d=2,07…(!!) Λέγεται ελκυστής γιατί απεικονίζει την τάση του χαοτικού συστήματος να επαναλαμβάνει τις συμπεριφορές του. Όμως όντας ανοιχτός σε επιδράσεις από το περιβάλλον, ‘μετακίνησε’ το μοντέλο συμπεριφοράς και δεν επαναλάμβανε πιστά τη λειτουργία του συστήματος, γιαυτό ονομάστηκε παράξενος ελκυστής. Έχει φράκταλ δομή και διάσταση d=2,07…(!!)

Τα Φράκταλ Έχουν δική τους Γεωμετρία (B.Mandelbrot), που περιγράφει τόσο τα χαοτικά συστήματα, όσο και τον πραγματικό κόσμο. Βασικά χαρακτηριστικά τους είναι: Η αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας Συνήθως έχουν μη ακέραια διάσταση. Είναι όντα με δυνατότητα αυτοαναπαραγωγής στο άπειρα μεγάλο και το άπειρα μικρό.

Παιδαγωγική αξιοποίηση Είναι εντυπωσιακά, τόσο λόγω των “εξωτικών” σχημάτων και μορφών, όσο και λόγω των παράξενων ιδιοτήτων τους. Προσφέρουν αυτενέργεια, γιατί τα παιδιά μπορούν να τα δημιουργούν με τη βοήθεια των καθηγητών τους και του Η/Υ. Διερευνούν τα Μαθηματικά με νέα προσέγγιση και τα συσχετίζουν με τον φυσικό κόσμο. Είναι ιδανικά για ερευνητικές, δημιουργικές και συνθετικές εργασίες.

Φράκταλ (Μορφοκλασματικό Σύνολο) Ορισμός Εμφανίζει “δομή μέσα στη δομή” με νέες λεπτομέρειες σε κάθε μεγέθυνση. Περιγράφεται από μια, δύο μέχρι και άπειρες ακολουθίες κλιμάκων, παρουσιάζοντας αυτοομοιότητα σε κάθε αλλαγή κλίμακας. Συχνά δημιουργείται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας με μαθηματικούς μετασχηματισμούς.

Το τρίγωνο του Sierpinski

Το τετράεδρο του Sierpinski

H καμπύλη του Κoch

Η φτέρη του Barnsley

Τα βήματα κατασκευής της ‘χιονονιφάδας’ του Κoch 1 1 1

2ο βήμα… 1/3 1/3 1/3

και κάτι παράδοξο, αλλά πολύ χαρακτηριστικό στα Φράκταλ! 1/9 1/9 1/9

Διάσταση φράκταλ M=N1 M=N2 M=N3

Μια σημαντική παρατήρηση από το προηγούμενο σχήμα: Στο ευθύγραμμο τμήμα ισχύει Μ=Ν1 Στο τετράγωνο Μ=Ν2 Στον κύβο Μ=Ν3 Γενίκευση για απλά φράκταλ: Όταν το αντικείμενο διασπάται σε Μ όμοια κομμάτια, με συντελεστή μεγέθυνσης Ν, τα δύο αυτά μεγέθη συνδέονται με μια σχέση κλιμάκωσης Μ=ΝD,και ο εκθέτης D είναι η διάσταση του αντίστοιχου χώρου. Αν λύσουμε την σχέση ως προς D, έχουμε: Όπου r=1/N είναι η κλίμακα και ισχύει 0<r<1 Ακόμη έχουμε τον ισοδύναμο τύπο: MrD=1

Υπολογισμός διάστασης φράκταλ Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε: Καμπύλη του Koch:D=log4/log3=1,2618.. Τρίγωνο Sierpinski:D=log3/log2=1,5849.. Σύνολο Cantor: D=log2/log3=0,6309.. Τετράεδρο Sierpinski:D=log4/log2=2 Παρατηρήσεις: Η διάσταση D, γενικά δεν είναι ακέραιος Τοπολογική διάστ.<D<Διάστ. Περ. χώρου Η μέθοδος που περιγράψαμε χρησιμοποιείται από τον B. Mandelbrot στο βιβλίο του “B.Β.Mandelbrot 1983”, σελ.142-144.

Φράκταλ δύο ή περισσοτέρων κλιμάκων Διάσταση αυτών Αντικείμενο μεγέθους 1 χωρίζεται σε Μ μικρότερα με κλίμακες r1,r2,..,rM και καθένα πάλι σε Μ με τις ίδιες κλίμακες κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Τότε ισχύει ο τύπος: r1D+r2D+…+rMD=1

Εφαρμογές των φράκταλ Περιγράφουν τον κόσμο καλύτερα από τα «παραδοσιακά» Μαθηματικά και την Φυσική. Εμφανίζονται, εφαρμόζονται και χρησιμοποιούνται : Αστρονομία ( θεωρία Λίντε). Η/Υ. (φράκταλ συμπίεση εικόνας). Ιατρική ( ιστοπαθολογία, μορφή κυττάρων, πρόγνωση επιληπτικών κρίσεων, αιμοφόρα αγγεία, κ.α.) Γεωλογία (μοντέλα φράκταλ για πρόβλεψη σεισμών). Μουσική (σύνθεση, μουσικά όργανα). Μηχανική ρευστών (μελέτη τυρβώδους κίνησης υγρών). Τοπία και φυσικά αντικείμενα (π.χ. φτέρη)

Αστρονομία ,θεωρία Λίντε

Μουσική

Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) «…έφτιαξε μία ολοσχερώς νέα επιστήμη, τη θεωρία της φρακταλικής Γεωμετρίας… …έβλεπε αυτά τα αντικείμενα σαν ένα νέο Μαθηματικό Σύμπαν, μία νέα Φυσική Επιστήμη,μία νέα Γεωμετρία, με τόση συστηματική προσέγγιση και γενικότητα, όπως αυτή του Ευκλείδη». Peter Clark,23-06-1999 Πανεπιστήμιο St. Andrews

Επίλογος Ευχαριστώ Κλείνω με την ελπίδα ότι η μελέτη του βιβλίου θα αποτελέσει κίνητρο για την εξερεύνηση και μελέτη αυτών των παράξενων και θαυμαστών μαθηματικών ‘όντων’, που μας βοηθούν να κατανοήσουμε και να ερμηνεύσουμε τον κόσμο μέσα στον οποίο ζούμε. Ευχαριστώ