Multi-objective Optimization

Feasible region and corner points in the decision space x1, x2 6 2 8 12 4

Yπολογίζουμε τα objectives Ζ1, Ζ2 σε όλα τα corner points x1 x2 Z1 Z2 6 -24 48 2 8 -22 60 12 4 44 → feasible region in objective space and non-dominated solutions Non-dominated set / Pareto set → Βελτιώνουν και τα δύο objectives σε σχέση με τα dominated solutions → Αν βελτιώνουν το ένα objective σε σχέση με ένα άλλο non-dominated solution τότε σίγουρα μειώνουν το άλλο

→ → Λύση στο Excel Trade-offs w2/w1 x1 x2 Z1 Z2 -dZ1/dZ2 0 - 0.5 12 60 60 -24 0.5 0.55 - 0.9 4 44 8 0.9 0.95 - 2.45 48 2.5 2.5 - 2 -22   →

Trade-offs: Μεταξύ δύο objectives, το trade-off είναι το πόσο αλλάζει το ένα objective όταν το άλλο αλλάζει κατά μία μονάδα Τα trade-offs ποσοτικοποιούν το ‘κόστος’ που θα πρέπει να ανεχτούμε σε ένα objective όταν πρέπει να βελτιώσουμε ένα άλλο συκγρουόμενο (conflicting) objective Τα trade-offs δίνουν μία ουσιώδη ποσοτική πληροφορία που συνεισφέρει στο να βρεθεί η πιο συμβιβαστική λύση μεταξύ ανταγωνιστικών απαιτήσεων σε ένα σύνθετο, δηλαδή ρεαλιστικό, decision-making process όπου ένας αριθμός από ενδιαφερόμενα μέρη (stakeholders) έχουν ένα πλήθος από συγκρουόμενα objectives, π.χ. θέλουμε υψηλή ποιότητα υδάτινων πόρων, ταυτόχρονα με μεγάλη βιομηχανική παραγώγη και χαμηλό κόστος για επεξεργασία λυμμάτων

Ερμηνεία της μεθόδου: Όταν υπάρχει non-dominated set, η προσπάθεια να αυξήσουμε το Ζ1 οδηγεί υποχρεωτικά σε μείωση του Ζ2 όσο επιτρέπει το L2 → Z2 ≥ L2 binding constraint

non-feasible solutions Solved in Excel trivial solutions non-feasible solutions

Methods with a priori Preferences – Goal Programming Οι δύο μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν ήδη (weighting method, constraint method) είναι παραδείγματα διαδικασιών που παράγουν το efficiency frontier και τα trade-offs. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις multi-objective optimization όπου υπάρχουν προαποφασισμένες προτιμήσεις και στόχοι. Συχνά οι decision makers έχουν ήδη υπόψη τους κάποιον, τυπικά ανέφικτο, στόχο που θέλουν να προσεγγίσουν, ή πολύ απλά χρειάζονται μια πιο συγκεκριμένη πρώτη απάντηση προτού προβούν σε μια πιο πλήρη πολυκριτηριακή ανάλυση (multi-criteria analysis). Η πιο απλή και ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος που εμπλέκει a priori preferences είναι το goal programming: Διαλέγουμε μία ‘ιδανική λύση’ (utopia point) ή έναν προτεινόμενο στόχο και βρίσκουμε το σημείο το feasible region που βρίσκεται κοντά σε αυτή την ιδανική λύση ή τον στόχο με βάση κάποια συμφωνημένη έννοια απόστασης μεταξύ των σημείων.

Example I – Goal Programming Επιστρέφοντας στο παράδειγμα που λύθηκε νωρίτερα η ιδανική λύση θα ήταν το σημείο (60,60) εάν αυτό ανήκε στο feasible region. Θα το διαλέξουμε ως στόχο, (G1,G2)=(60,60), και θα βρούμε το σημείο του efficiency frontier που είναι πιο κοντά σε αυτό. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε μία έννοια απόστασης d, μία μετρική, η οποία θα ελαχιστοποιηθεί. d (G1,G2)

Η απόσταση d δεν είναι απαραίτητα η γεωμετρική (Ευκλείδια) απόσταση Η απόσταση d δεν είναι απαραίτητα η γεωμετρική (Ευκλείδια) απόσταση. Η απόσταση d ορίζεται γενικά ως και προσδιορίζουμε το σημείο (Ζ1*,Ζ2*) που την ελαχιστοποιεί, τυπικά για α=1,2,άπειρο. Λύνουμε το πρόβλημα στο Excel. Το πρόβλημα είναι μη γραμμικό, εξαιτίας της μετρικής, και χρησιμοποιούμε solving method GRG Nonlinear. α=1: (Χ1*,Χ2*)=(8,8) (Ζ1*,Ζ2*)=(8,48) α=2: (Ζ1*,Ζ2*)=(9.92,6.08) (Ζ1*,Ζ2*)=(25.3,28.8) α=άπειρο: (Χ1*,Χ2*)=(10.1,5.9) (Ζ1*,Ζ2*)=(26.9,27.0) Οι λύσεις αυτές ονομάζονται best compromise solutions. Φυσικά τα σημεία αυτά εμφανίζονται κατά μήκος του efficiency frontier (εδώ είναι στην ευθεία Χ1+Χ2=16). Το σύνολο των λύσεων αυτών για α=1 ως άπειρο ονομάζονται καμμιά φορά compromise set, το οποίο σχετίζεται με το δεδομένο στόχο (G1,G2).

Example II

Profit margin = sales price – water cost – labor cost Objectives Profit margin = sales price – water cost – labor cost Municipal water supply: € 4 - € 0.25 - € 2.75 = € 1 per water unit Groundwater recharge: € 5 - € 0.75 - € 1.25 = € 3 per water unit Profit objective: Z1 = x1 + 3x2 Max Pollution objective: Z2 = 3x1 + 2x2 Min ↔ - Z2 = - 3x1 - 2x2 Max Constraints 0.5x1 + 0.25x2 ≤ 8 (pump capacity) 0.2x1 + 0.2x2 ≤ 4 (labor capacity) x1 + 5x2 ≤ 72 (water availability) All data are given per unit delivered