Μηχανική των υλικών Λεπτότοιχα δοχεία Διδάσκων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια: Πήττας Κωνσταντίνος, διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί με τις βασικές έννοιες και τα μεγέθη που εμφανίζονται στην εντατική κατάσταση ενός λεπτότοιχου δοχείου πίεσης. Να είναι σε θέση ο φοιτητής να υπολογίσει τις τάσεις που αναπτύσσονται σε λεπτότοιχα δοχεία. Να γνωρίσει τις σχέσεις των παραμορφώσεων για τα λεπτότοιχα δοχεία. Να μπορεί να υπολογίσει την μεταβολή του όγκου τους λόγω εσωτερικής πίεσης.

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγικές έννοιες Περιστροφή λεπτότοιχου δοχείου Προσδιορισμός τάσεων Ακτίνες καμπυλότητας Σχέση μεταξύ 𝜎 𝜃 𝜅𝛼𝜄 𝜎 𝜑 Περιορισμοί Παραμορφώσεις λεπτότοιχων δοχείων Παραμορφώσεις σφαιρικών δοχείων Μεταβολή όγκου

Εισαγωγικές έννοιες Τα Λεπτότοιχα δοχεία πίεσης χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία για την αποθήκευση και τη μεταφορά υγρών και αερίων όταν είναι ρυθμισμένα ως δεξαμενές. Τα Λεπτότοιχα δοχεία πίεσης αποτελούν περίπτωση ομοιόμορφα κατανεμημένων ορθών τάσεων. Αποτελούν δηλαδή προβλήματα διαξονικού εφελκυσμού και θλίψης.

Περιγραφή λεπτότοιχων δοχείων πίεσης Τα δοχεία μπορεί να είναι : Κυλινδρικά Σφαιρικά Κωνικά Τοροειδή (σαν σαμπρέλα) Υπόκεινται σε εσωτερική πίεση από ρευστό ή αέρα

Προσδιορισμός τάσεων 𝜎 𝜑 ∙dsθ∙t O dθ dφ t 𝑟 𝜃 𝑟 𝜑 𝜎 𝜃 ∙dsφ∙t Ρ∙dsθ∙dsφ Θεωρούμε ένα κυλινδρικό δοχείο ακτίνας R, πάχους t στο οποίο ασκείται εσωτερική πίεση p. Χρησιμοποιούμε το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων (φ, r, θ). Εάν κόψουμε τον κύλινδρο στα επίπεδα φ+dφ και στα κάθετα σε αυτά επίπεδα θ+dθ παρατηρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό το τυχαίο τμήμα του λεπτότοιχου δοχείου που αποκόπτεται.

Προσδιορισμός μεγεθών 𝜎 𝜑 τάση εφελκυσμού μεσημβρινού 𝜎 𝜃 τάση εφελκυσμού παραλλήλου t πάχος τοιχώματος κελύφους 𝑟 𝜑 ακτίνα καμπυλότητας μεσημβρινού 𝑟 𝜃 ακτίνα καμπυλότητας παραλλήλου Ο κέντρο καμπυλότητας παραλλήλου Α κέντρο καμπυλότητας μεσημβρινού dθ= 𝑑 𝑠 𝜃 𝑟 𝜃 dφ= 𝑑 𝑠 𝜑 𝑟 𝜑

Ακτίνες καμπυλότητας Παράλληλος Η ακτίνα καμπυλότητας του μεσημβρινού μεταβάλλεται κατά μήκος του ισημερινού Η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας μεταβάλλεται σε διεύθυνση κάθετη στον μεσημβρινό

Περιπτώσεις λεπτότοιχων δοχείων Σφαιρικά λεπτότοιχα δοχεία Λόγω της συμμετρίας της σφαίρας και του τρόπου εφαρμογής της πίεσης, η περιμετρική (ή εφαπτομενική) τάση σε οποιαδήποτε θέση πρέπει να είναι η ίδια. Κυλινδρικά λεπτότοιχα δοχεία Η κύρια διαφορά είναι ότι ο κύλινδρος έχει τρεις διαφορετικές κύριες τιμές τάσης, την περιμετρική τάση, την ακτινική τάση, και την διαμήκη τάση , η οποία ενεργεί στην κατεύθυνση του άξονα του κυλίνδρου.

Τάσεις στα λεπτότοιχα δοχεία Συνεπώς για σφαιρικά λεπτότοιχα δοχεία οι αξονική και η εφαπτομενική τάση είναι ίδιες και δίνονται από τον ίδιο τύπο 𝜎 𝜑 = 𝑃∙𝑟 2∙𝑡 Στην περίπτωση των κυλινδρικών λεπτότοιχων δοχείων η αξονική και η εφαπτομενική τάση δίνονται αντίστοιχα 𝜎 𝜑 = 𝑃∙𝑟 2∙𝑡 και 𝜎 𝜃 = 𝑃∙𝑟 𝑡

Ακτίνες καμπυλότητας 𝜎 1 Στο σχήμα 2 φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα στοιχείο του κελύφους, σε κάτοψη και πλάγια όψη. Η πίεση p δρα πάνω σε επιφάνεια (𝑟 0 dθ)( 𝑟 1 𝑑𝜑) και έτσι η εξίσωση ισορροπίας των δυνάμεων στην κάθετη διεύθυνση γίνεται:

Σχέση μεταξύ 𝜎 𝜃 𝜅𝛼𝜄 𝜎 𝜑 σ φ ∙t∙dsθ∙ds φ/r θ + σ θ ∙t∙dsφ∙ds 𝜃/𝑟 𝜃 −p∙dsθ∙dsφ=0 σ θ r θ + σ φ r φ = p h (1) Αυτή η θεμελιώδης εξίσωση έχει εφαρμογή στις αξονοσυμμετρικές παραμορφώσεις όλων των λεπτότοιχων κελυφών που καταπονούνται λόγω περιστροφής. Για τον υπολογισμό των 𝜎 𝜃 , 𝜎 𝜑 χρειάζεται ακόμη μία εξίσωση πέραν της (1) η οποία προκύπτει από την θεώρηση της ισορροπίας στην συγκεκριμένη περίπτωση

Περιορισμοί Ο λόγος του πάχους του κελύφους προς οποιαδήποτε ακτίνα καμπυλότητας δεν πρέπει να υπερβαίνει το 0.10 περίπου. Δεν πρέπει να υπάρχουν ασυνέχειες στην κατασκευή. Δεν δίνει μια σαφή εικόνα των τάσεων και των παραμορφώσεων στην περιοχή των επίπεδων κλειστών άκρων των κυλινδρικών δοχείων πίεσης. Δεν επιτρέπει την εξέταση δακτυλίων ενίσχυσης σε ένα κυλινδρικό κέλυφος Τα προβλήματα που θα εξετάσουμε έχουν σχέση με τις τάσεις που αναπτύσσονται εξαιτίας ομοιόμορφων εσωτερικών πιέσεων, που ασκούνται σε λεπτά κελύφη. Σε περίπτωση εσωτερικών πιέσεων τα πρόσημα αντιστρέφονται.

Παραμορφώσεις λεπτότοιχων δοχείων Από το νόμο του Hooke στην επίπεδη εντατική κατάσταση 𝜎 𝑥 ≠0, 𝜎 𝑦 ≠0 , 𝜎 𝑧 =0 𝜀 𝑥 = 1 𝐸 ( 𝜎 𝑥 −𝑣 𝜎 𝑦 ) 𝜀 𝑦 = 1 Ε (σ 𝑦 −𝑣𝜎 𝜒 ) 𝜀 𝑧 = 1 𝐸 ( 𝜀 𝑥 + 𝜀 𝑦 ) Στα λεπτότοιχα δοχεία όπου φ ο μεσημβρινός και θ ο παράλληλος οι παραμορφώσεις είναι : 𝜀 𝜑 = 1 Ε ( 𝜎 𝜑 −𝜈 𝜎 𝜃 ) 𝜀 𝜃 = 1 Ε ( 𝜎 𝜃 −𝜈 𝜎 𝜑 )

Παραμορφώσεις σε σφαιρικά δοχεία Το δοχείο πίεσης διαστέλλεται όταν δέχεται εσωτερική πίεση. Αυτό οδηγεί σε τρείς κύριες παραμορφώσεις, την περιφερειακή παραμόρφωση (ή εφαπτομενική παραμόρφωση) σε δύο κάθετες στο επίπεδο κατευθύνσεις, και την ακτινική παραμόρφωση. 𝑟 𝜀𝜎𝜔𝜏𝜀𝜌𝜄𝜅𝜂= 𝑟 𝜀𝜉𝜔𝜏𝜀𝜌𝜄𝜅𝜂 ή 𝑟 𝜑 = 𝑟 𝜃 Οπότε 2𝜎 𝑟 = 𝑃 𝑡 → 𝜎 𝜑 = 𝜎 𝜃 = 𝑃𝑟 2𝑡 Επομένως για τις παραμορφώσεις ισχύει : 𝜀 𝜃 = 𝜀 𝜑 = 𝜎 Ε 1−𝜈 = 𝑃𝑟 2𝑡𝐸 (1−𝜈) Ο όγκος της σφαίρας είναι 𝜋 𝑑 2 6 και με παραγώγιση έχουμε δV= 𝜋 𝑑 2 𝛿𝑑 2 Όμως e= 𝛿V 𝑉 =3∙ 𝛿𝑑 𝛿 =3𝜀= 3𝑃𝑟 2𝑡𝐸 (1−𝑣)

Παραμορφώσεις σε κυλινδρικά δοχεία t 𝑟 𝜑 =∞ 𝑟 𝜃 =𝑟 𝜎 𝜃 𝑟 𝜃 = Ρ 𝑡 → 𝜎 𝜃 = Ρr 𝑡 , 𝜎 𝜑 = 𝑃𝑟 2𝑡 r Αξονική παραμόρφωση 𝜀 𝜑 = 1 Ε 𝜎 𝜑 −𝜈 𝜎 𝜃 = 1 Ε 𝑃𝑟 2𝑡 −𝑣 𝑃𝑟 𝑡 = 𝑃𝑟 𝑡𝐸 (0,5−𝑣) 𝜀 𝜃 = 1 Ε 𝜎 𝜑 −𝜈 𝜎 𝜑 = 𝑃𝑟 𝑡𝐸 (1−0,5𝜈) , 0<𝜈<0,5 για τεχνικά υλικά όπου 0,5 για ασυμπίεστο υλικό

Μεταβολή όγκου Εάν L το μήκος του κυλίνδρου τότε o όγκος του κυλίνδρου θα είναι : 𝑉=𝐷 𝑟 2 𝐿= π 4 𝑑 2 𝐿 Και η μεταβολή του όγκου δV=V- 𝑉 0 = 𝜋 4 𝑑+𝛿𝑑 2 𝐿+𝛿𝐿 − 𝜋 4 𝑑 2 𝐿 Άρα δV= 𝜋 4 2𝑑𝐿𝛿𝐿+ 𝑑 2 𝛿𝐿 διότι δ 𝑑 2 ≪1 𝜅𝛼𝜄 𝛿𝑑∙𝛿𝐿≪1 Όμως e= 𝛿𝑉 𝑉 =2 𝛿𝑑 𝑑 + 𝛿𝐿 𝐿 = 𝜀 𝜑 +2 𝜀 𝜃 = 𝑃𝑟 2𝑡𝐸 (5−4𝜈)

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων Εικόνα από www.colorado.edu/.../IAST.Lect03.pdf ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ 1, ΚΕΡΜΑΝΙΔΗΣ

Τέλος ενότητας