Μοντελοποίηση ταυτοτήτων - Παραγοντοποίηση Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr

Η γεωμετρική αναπαράσταση ταυτοτήτων δεν είναι μια σύγχρονη μέθοδος κατανόησης των σχετικών αλγεβρικών εννοιών αλλά ο τρόπος ή η διαδικασία με την οποία αυτές εξελίχθηκαν. Όπως αναφέρει ο Ε. Σταμάτης … «Το ΙΙ βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ….περιέχει την εφαρμογή της γεωμετρίας στην Άλγεβρα και αποδίδεται κατά το μέγιστο στους Πυθαγορείους .

Τα πρώτα 10 θεωρήματα αφορούν εις αλγεβρικάς ταυτότητας , τας οποίας δυνάμεθα να παραστήσωμεν ως ακολούθως αν δια των γραμμάτων α,β,γ ,…νοήσωμεν τμήματα ευθειών γραμμών »

Υπάρχουν συγκεκριμένα υλικά που χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση ή αναπαράσταση μαθηματικών διαδικασιών ή μαθηματικών εννοιών. Με τον τρόπο αυτό γίνονται πιο συγκεκριμένες οι αφηρημένες έννοιες και διαδικασίες. Έτσι μοντελοποιούνται οι μαθηματικές ιδέες.

1. Για παράδειγμα Γράψτε μια αλγεβρική έκφραση για το μήκος του ορθογωνίου 2. Γράψτε μια αλγεβρική έκφραση για το πλάτος του ορθογωνίου. 3. Γράψτε μια αλγεβρική έκφραση για το εμβαδόν του ορθογωνίου χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες δύο απαντήσεις. 4. Απλοποιήστε αυτήν την έκφραση.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται η μετάφραση αποσπάσματος του ppt http://www.utdallas.edu/research/prealgebra/pp/documents/Algebra_Tiles.ppt (αποθηκευμένο την 7-11-2006)

1. Μεγάλο τετράγωνο με πλευρά x σαν μήκος και πλάτος Υπάρχουν τρεις τύποι : 1. Μεγάλο τετράγωνο με πλευρά x σαν μήκος και πλάτος 2. Ορθογώνιο με πλευρά x και 1 σαν μήκος και πλάτος 3. Μικρό τετράγωνο με πλευρά 1 σαν μήκος και πλάτος x 1 1 x x 1 The University of Texas at Dallas

Εμβαδόν ενός τετραγώνου = x2 Κάθε ένα από τα σχήματα αναπαριστά το εμβαδόν μιας επιφανείας . x Εμβαδόν ενός τετραγώνου = x2 x 1 x Εμβαδόν ενός ορθογωνίου = x 1 1 Εμβαδόν ενός μικρού τετραγώνου = 1 The University of Texas at Dallas

Πρέπει το μήκος του χ να είναι συγκεκριμένο ? Όχι γιατί αναπαριστά μια μεταβλητή The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Για να μοντελοποιήσουμε το 2x2, χρειαζόμαστε 2 μεγάλα τετράγωνα x2 x2 The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Για να μοντελοποιήσουμε x2 + 3x, χρειαζόμαστε 1 μεγάλο τετράγωνο και 3 ορθογώνια x2 x x x The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Πως θα μπορούσες να μοντελοποιήσεις Το 2x2 + x + 4? απάντηση x2 x2 x 1 1 1 1 The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ 2x + 3 Ποια αλγεβρική έκφραση είναι μοντελοποιημένη παρακάτω απάντηση 2x + 3 The University of Texas at Dallas

Αλγεβρική τιμή Ας θυμηθούμε ότι μια μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από περισσότερους του ενός αριθμούς συνήθως . The University of Texas at Dallas

Βρείτε την τιμή αυτής της έκφρασης χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές x. 1 1 1 1 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΙΜΗ Η αλγεβρική έκφραση είναι 3x + 5 Εάν x = 2 3 (2) + 5 6 + 5 = 11 2) Εάν x = 5 3 (5) + 5 15 + 5 = 20 3) Εάν x = 10 3 (10) + 5 30 + 5 = 35 The University of Texas at Dallas

3 + 2x + 4 2x + 7 = = + ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Συνδυάστε τα σχήματα The University of Texas at Dallas

+ = 2x + (5x + 4) = 7x + 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Βρείτε το αποτέλεσμα της έκφρασης : 2 x + (5x + 4) ANSWER x x x x x x x + x x x x x = 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 2x + (5x + 4) = 7x + 4 The University of Texas at Dallas

+ = (x + 3) + (2x + 4) = 3x + 7 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ (x + 3) + (2x + 4) Βρείτε το άθροισμα : (x + 3) + (2x + 4) ANSWER x x x x x x + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x + 3) + (2x + 4) = 3x + 7 The University of Texas at Dallas

+ = (x2 + 3) + (2x2 + x +2) = 3x2 + x + 5 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Βρείτε το άθροισμα : (x2 + 3) + (2x2 + x + 2) ANSWER x2 x2 + x2 x2 = x2 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x2 1 1 (x2 + 3) + (2x2 + x +2) = 3x2 + x + 5 The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ Για να χρησιμοποιήσετε τα αλγεβρικά σχήματα για να διαμορφώσουμε την αφαίρεση, αναπαριστούμε ε κάθε έκφραση με τα σχήματα . Βάλτε τη δεύτερη έκφραση κάτω από την πρώτη . (5x + 4) – (2x + 3) Τώρα αφαιρέστε τα σχήματα που ταιριάζουν με σε κάθε έκφραση. 5x + 4 x x x x x Η απάντηση είναι η έκφραση που υπάρχει αριστερά 1 1 1 1 x x 2x + 3 1 1 1 (5x + 4) – (2x + 3)= 3x +1 The University of Texas at Dallas

- ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ (8x + 5) – (6x + 1) = 2x + 4 Όμοια μπορούμε να βρούμε την διαφορά (8x + 5) – (6x + 1) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 8x + 5 x x x x x x x x 1 1 1 1 1 6x + 1 - x x x x x x 1 (8x + 5) – (6x + 1) = 2x + 4 The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ - Ή την διαφορά. (6x + 1) – (3x) Ή την διαφορά. (6x + 1) – (3x) Απάντηση 6x + 1 x x x x x x 1 3x - x x x (6x + 1) – (3x) = 3x +1 The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ - (5x + 6) – (5x) (5x + 6) – (5x) = 6 5x + 6 5x Απάντηση 5x + 6 x x x x x 1 1 1 1 1 1 - 5x x x x x x (5x + 6) – (5x) = 6 The University of Texas at Dallas

- ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ Ομοίως (3x2 + 4x + 5) – (x2 + 3x + 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ x2 x2 x2 x x x x 1 1 1 1 1 x2 + 3x + 4 - x2 x x x 1 1 1 1 (3x2 + 4x + 5) – (x2 + 3x + 4) = 2x2 + x + 1 The University of Texas at Dallas

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ 2 (x + 3) = 2x + 6 Για να πολλαπλασιάσουμε χρησιμοποιώντας αλγεβρικά σχήματα τοποθετούμε τα σχήματα σε μια ορθογώνια σειρά . Π.χ: 2 (x + 3) x + 3 2 x Συμπληρώστε αυτό το διάστημα για να διαμορφώσετε ένα ορθογώνιο. Και το αποτέλεσμα είναι η απάντησή σας 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (x + 3) = 2x + 6 The University of Texas at Dallas

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ x (x + 2) = x2 + 2x Ομοίως x (x + 2) (x + 2) x ΑΠΑΝΤΗΣΗ (x + 2) x x 1 1 x x2 x x x (x + 2) = x2 + 2x The University of Texas at Dallas

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ομοίως 2x (x + 3) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (x + 3) 2x x 1 1 1 x x2 x x x x x2 x x x 2x (x + 3) = 2x2 + 6x The University of Texas at Dallas

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (x+2) (x + 4) = x2 + 6x + 8 Ομοίως (x+2) (x + 4) ANSWER (x + 4) x +2 x 1 1 1 1 x x2 x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x+2) (x + 4) = x2 + 6x + 8 The University of Texas at Dallas

(x+3) (2x + 1) = 2x2 + 7x + 3 Βρείτε το γινόμενο (x+3) (2x + 1) ANSWER x +3 (2x + 1) x x 1 x x2 x2 x x x x x 1 1 x x 1 1 1 1 (x+3) (2x + 1) = 2x2 + 7x + 3 The University of Texas at Dallas

Και η απάντηση είναι ακριβώς τα μισά Ex: Και η απάντηση είναι ακριβώς τα μισά 2 x x 1 1 1 x x x x 1 1 1 1 4x + 6 1 1 1 1 The University of Texas at Dallas

Ομοίως : 3 (9x + 3) Απάντηση x x x 1 x x x x x x 1 1 x x x 1 1 1 1 The University of Texas at Dallas

Ομοίως : 6x2 + 3x 3x 3x (6x2 + 3x) 6x2 + 3x 3x = 2x + 1 απάντηση x x 1 The University of Texas at Dallas

Βρείτε το πηλίκο : 2x2 + 6x + 4 x + 2 x+ 2 (2x2 + 6x + 4) 2x2 + 6x + 4 απάντηση x+ 2 x x 1 1 (2x2 + 6x + 4) x x2 x2 x x x x x x 1 1 1 1 1 1 2x2 + 6x + 4 x + 2 = 2x + 2 The University of Texas at Dallas