Μηχανική των υλικών Στρέψη Διδάσκων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια: Πήττας Κωνσταντίνος, διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί με τις βασικές σχέσεις και παραδοχές της στρέψης. Να μάθει πώς διενεργείται το πείραμα της στρέψης. Να μπορεί ο φοιτητής να υπολογίζει την σχετική γωνία στροφής αξόνων αλλά και τις διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται σε καταπόνηση από στρέψη. Να γνωρίζει τις σχέσεις που υπολογίζουν τις τάσεις για διαφορετικά είδη σωλήνων.

Περιεχόμενα ενότητας Βασικές έννοιες Στρέψη άξονα πλήρους διατομής Σχετική γωνία στροφής Διατμητικές τάσεις Πείραμα στρέψης Σύγκριση επιπέδων φόρτισης στρέψης και μονοαξονικής εντατικής κατάστασης Στρέψη κυκλικού σωλήνα Στρέψη λεπτότοιχου σωλήνα Υπολογισμός τάσεων

Εισαγωγή Ένας άξονας ή μια ράβδος καταπονείται σε στρέψη όταν επάνω σε αυτή επενεργούν ζεύγη ίσων και αντίθετων δυνάμεων που τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον κεντροβαρικό της άξονα. Η στρέψη αποτελεί ένα είδος απλής καταπόνησης όπως αυτά της κάμψης και του εφελκυσμού που αναφέραμε σε προηγούμενες ενότητες.

Βασικές έννοιες Το ζεύγος των δυνάμεων προκαλεί σε κάθε διατομή της ράβδου μια ροπή, που ονομάζεται ροπή στρέψης. Αν τα ζεύγη είναι περισσότερα τότε η ροπή στρέψης ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών που προκαλούν τα ζεύγη. Αυτό το είδος καταπόνησης τείνει να περιστρέψει την ράβδο γύρω από τον άξονά της. Η ροπή στρέψης δημιουργεί στο υλικό εσωτερικές διατμητικές τάσεις και προκαλεί στροφή των διατομών μεταξύ τους που ονομάζεται γωνία στροφής. Μ 𝑡

Στρέψη άξονα πλήρους διατομής Μ 𝑡 Αν φ είναι η γωνία στροφής της διατομής που βρίσκεται σε απόσταση χ από το σημείο της πάκτωσης τότε η διατομή που βρίσκεται σε απόσταση χ+dχ στρέφεται σε κατά γωνία φ+dφ. Ονομάζουμε σχετική γωνία στροφής των δύο διαδοχικών διατομών την dφ.

Σχετική γωνία στροφής Στο σχήμα φαίνεται πώς γίνεται η στροφή ενός παράλληλου στον άξονα επιπέδου και πώς σχηματίζεται η σχετική γωνία στροφής dθ. 𝑑𝜃 𝑑𝑥 =Θ όπου Θ εκφράζει την σχετική γωνία στροφής δύο διατομών που έχουν μοναδιαία απόσταση μεταξύ τους και ονομάζεται ανηγμένη γωνία στροφής.

Διατμητικές τάσεις Η διατμητική τάση τα σε μία στρεφόμενη ράβδο μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση r από το κέντρο της κυκλικής διατομής, έχοντας μέγιστες τιμές 𝜏 𝑚𝑎𝑥 στα σημεία της εξωτερικής επιφάνειας. 𝜏 𝑟 = 𝜏 𝑚𝑎𝑥 R ∙𝑟

Πείραμα στρέψης Το πείραμα στρέψης όπως και το πείραμα του εφελκυσμού αποτελεί βασικό πείραμα και χρησιμεύει για την διατήρηση των νόμων συμπεριφοράς μεταξύ  διατμητικών τάσεων και διατμητικών παραμορφώσεων .   Παραδοχές πειράματος στρέψης 1 ) το υλικό είναι ομογενές και ισότροπο 2 ) οι διατομές παραμένουν επίπεδες 3 ) κάθε διατομή περιστρέφεται σα σύνολο απόλυτα στερεός δίσκος, δηλαδή οι ακτίνες παραμένουν ευθείες Torsion testing machine

Αποτέλεσμα πειράματος στρέψης Σε ένα πείραμα στρέψης οι γραμμές αυτές σχηματίζουν ένα μοτίβο τετραγώνων επί της επιφανείας της ράβδου. Μετά συστροφή οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε σπιράλ γύρω από την ράβδο ενώ οι κυκλικές γραμμές παραμένουν κύκλοι. Τα τετράγωνα μετά συστροφή είναι τώρα παραλληλόγραμμα, γεγονός που υποδηλώνει ότι μια διατμητική τάση έχει εφαρμοστεί στα τετράγωνα. Μετά το πείραμα Πρίν το πείραμα

Σύγκριση επιπέδων φόρτισης στρέψης και μονοαξονικής εντατικής κατάστασης Στη μονοαξονική εντατική κατάσταση: Τα ψαθυρά υλικά σπάνε λόγο ορθής μέγιστης τάσης κάθετα στην διεύθυνση μέγιστης ορθής τάσης (90°). Τα όλκιμα υλικά σπάνε στην μέγιστη διατμητική τάση (45°). Στην στρέψη: Στις 45°, 135° αναπτύσσονται μόνο ορθές τάσεις (οι μέγιστες) οι οποίες είναι ίσες με τις διατμητικές. Τα ψαθυρά υλικά παρουσιάζουν την ελικοειδή ρωγμή στις 45°. Τα όλκιμα υλικά αστοχούν κάθετα στον άξονα της στρέψης.

Σύγκριση επιπέδων φόρτισης στρέψης και μονοαξονικής εντατικής κατάστασης Γενικά όπως έχουμε ήδη αναφέρει τα ψαθυρά υλικά είναι ασθενέστερα στον εφελκυσμό ενώ τα όλκιμα διαρρέουν. Για τον λόγο αυτό τα ψαθυρά υλικά στην μονοαξονική εντατική κατάσταση σπάζουν καθέτως στην διεύθυνση της ορθής τάσης (90°) ενώ τα όλκιμα στην διεύθυνση της μέγιστης διατμητικής (45°). Στην στρέψη η κατάσταση καθαρής διάτμησης είναι ισοδύναμη με τον εφελκυσμό κατά την μία διεύθυνση και ισοδύναμη με την θλίψη στην κάθετη διεύθυνση που παρουσιάζεται στις 45°.

Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης Στο πείραμα στρέψης κάθε τιμή του Μ 𝑡 μετράται σε γωνία στρέψης φ. Συνεπώς στο διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων που προκύπτει υπάρχει μια περιοχή όπου η διατμητική παραμόρφωση γ μεταβάλλεται γραμμικά με την διατμητική τάση τ. Στην περιοχή αυτή ο νόμος που την διέπει μοιάζει με τον νόμο του Hook και είναι: τ=Gγ , όπου G= 𝐸 2(1+𝑣) και ονομάζεται μέτρο διάτμησης και η ποσότητα G∙ 𝐼 𝑝 ονομάζεται μέτρο δυστρεψίας.

Βασικές σχέσεις στρέψης ράβδων πλήρους κυκλικής διατομής 𝑟∙𝜑=γ∙L 𝜏=𝐺∙𝜃∙𝑟 , το G κυμαίνεται 75-85 GPa 𝜏== Μ 𝑡 𝐼 𝑝 ∙𝑟 Όπου 𝐼 𝑝 η πολική ροπή αδράνειας, 𝐼 𝑝 = 𝑟 2 𝑑𝐹 , για κύκλο Ι 𝑝 = 𝜋 2 𝑟 4 Συνεπώς για ράβδο κυκλικής διατομής 𝜏= 2∙ Μ 𝑡 𝜋∙𝑅 4 ∙𝑟 Μ 𝑡 = (𝑟∙𝜏) 𝑑𝐹→ 𝜃= Μ 𝑡 𝐺∙ 𝐼 𝑝 , 𝜑=𝜃∙𝑙= Μ 𝑡 ∙𝑙 𝐺∙ 𝐼 𝑝

Στρέψη κυκλικού σωλήνα Η ροπή αδράνειας υπολογίζεται από τον τύπο: Ι 𝑝 = Άρα τ= Μ t I p ∙r= M t π( r 0 4 − r i 4 ) 2 ∙r Όπου τ max = M t π( r 0 4 − r i 4 ) 2 ∙ r 0

Στρέψη λεπτότοιχων σωλήνων κυκλικής διατομής Λεπτότοιχος σωλήνας ονομάζεται αυτός που η εξωτερική διάμετρος είναι σχεδόν ίση με την εσωτερική. Επειδή το πάχος του σωλήνα είναι μικρό δεχόμαστε ότι οι διατμητικές τάσεις είναι σταθερές σε όλο του το πάχος. Οι διατμητικές τάσεις δρουν στην διεύθυνση της περιμέτρου σε κάθε σημείο της διατομής.

Σχέσεις λεπτότοιχων σωλήνων Οι διατμητικές τάσεις δίνονται απ τον τύπο: 𝜏= Μ 𝑡 𝐼 𝑝 ∙𝑟 Στην περίπτωση αυτή όμως η πολική ροπή αδράνειας δίνεται απ τον τύπο: I 𝑝 =2∙𝜋∙ 𝑟 3 ∙𝑡 Οπότε η διατμητική τάση δίνεται τελικά απ την σχέση: 𝜏= 𝑀 𝑡 2∙𝜋 ∙𝑟 2 ∙𝑡 Για την διατμητική παραμόρφωση ισχύει ότι: 𝛾=𝜑∙ 𝑟 𝑙 Μt τds ds 𝑑𝐴=𝑡∙𝑑𝑠 𝑑𝜑= 𝑑𝑠 𝑟 →𝑑𝑠=𝑑𝑓∙𝑟 𝑑𝐴=𝑟∙𝑡∙𝑑𝜑 dφ r

Υπολογισμός τάσεων Ας δούμε πώς αναπτύσσονται οι τάσεις σε ένα στοιχείο διαστάσεων dx-dy της επιφάνειας το κυλίνδρου

Υπολογισμός τάσεων Από ισορροπία στον άξονα χ προκύπτει: Από ισορροπία στον άξονα y προκύπτει:

Παράδειγμα 1 Ένας κοίλος και ένας συμπαγής άξονας καταπονούνται με την ίδια ροπή, είναι κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό και έχουν την ίδια εξωτερική ακτίνα. R 0.6R Υπολογίστε: Α) Τους λόγους των διατμητικών τάσεων, γωνιών στροφής που θα εμφανίσουν καθώς και τον λόγο του βάρους τους. Β) Να προσδιοριστούν οι λόγοι τάση/βάρος για τον καθένα από τους άξονες.

Παράδειγμα 1 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = Μ 𝑡 ∙𝑅 𝐼 𝑝 𝜃= M 𝑡 ∙𝐿 𝐺∙ 𝐼 𝑝 𝐼 𝑝,𝜅 = 𝜋∙ 𝑅 2 2 − 𝜋∙ 0.6𝑅 4 2 =0.4352∙𝜋∙ 𝑅 4 I 𝑝,𝜎 = 𝜋∙ 𝑅 4 2 =0.5∙𝜋∙ 𝑅 4 Άρα ο λόγος των τάσεων είναι 𝜏 𝜅 𝜏 𝜎 = 0.4352∙𝜋∙ 𝑅 4 0.5∙𝜋∙ 𝑅 4 =1.15 Ο λόγος των γωνιών στροφής: 𝜃 𝜅 𝜃 𝜎 = 0.4352∙𝜋∙ 𝑅 4 0.5∙𝜋∙ 𝑅 4 =1.15 Ο λόγος του βάρους των ράβδων είναι ίσος με το λόγω των εμβαδών διατομής τους: 𝑊 𝜅 𝑊 𝜎 = Α 𝜅 Α 𝜎 = 𝜋 𝑅 2 −𝜋(0.6 𝑅) 2 𝜋 𝑅 2 =0.64

Παράδειγμα 1 M 𝑡,𝜅 = 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐼 𝑝 𝑅 = 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙0.4352∙𝜋∙ 𝑅 4 𝑅 =0.4352∙𝜋∙ 𝑅 3 ∙ 𝜏 𝑚𝑎𝑥 M 𝑡,𝜎 = 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐼 𝑝 𝑅 = 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙(0.5∙𝜋∙ 𝑅) 4 𝑅 =0.5∙𝜋∙ 𝑅 3 ∙ 𝜏 𝑚𝑎𝑥 𝑊 𝜅 =0.64∙𝜋∙ R 2 ∙𝐿∙𝛾 𝑊 𝜎 =𝜋∙ R 2 ∙𝐿∙𝛾 Ο λόγος τάσης/βάρους για κοίλη ράβδο είναι : 𝑀 𝜏,𝜅 𝑊 𝜅 =0.68∙ 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙𝑅 𝐿∙𝛾 Ο λόγος τάσης/βάρους για συμπαγή ράβδο είναι: 𝑀 𝜏,𝜎 𝑊 𝜎 =0.5∙ 𝜏 𝑚𝑎𝑥 ∙𝑅 𝐿∙𝛾

Παράδειγμα 2 Υπολογίστε την στροφή φ των τμημάτων CA, CB εάν σε έναν άξονα ασκείται ροπή Μ 𝑡 στο σημείο που φαίνεται στο σχήμα. Επίσης υπολογίστε τις αντιδράσεις στήριξης. Μ Α Μ Β Μ Τ A B C α b Από ισορροπία ροπών ΣΜ=0= Μ Α + Μ Β − Μ Τ =0→ Μ Α + Μ Β = Μ Τ (1) 𝜑 𝐶𝐴 = 𝑀 𝐴 ∙𝑎 𝐺∙ 𝐼 𝑝 , 𝜑 𝐶𝐵 = 𝑀 𝐵 ∙𝑏 𝐺∙ 𝐼 𝑝 όμως 𝜑 𝐶𝐴 = 𝜑 𝐶𝐵 συνεπώς 𝑀 𝐴 ∙𝑎 𝐺∙ 𝐼 𝑝 = 𝑀 𝐵 ∙𝑏 𝐺∙ 𝐼 𝑝 ή Μ Α Μ Β = 𝑏 𝑎 (2) (1)+(2)→ 𝑀 𝐴 = 𝑀 𝑇 𝑏 𝐿 και 𝑀 Β = 𝑀 𝑇 𝛼 𝐿 οπότε 𝜑 𝐶𝐴 = 𝜑 𝐶𝐵 = 𝑀 𝐴 𝐺∙ 𝐼 𝑝 ∙ 𝑎∙𝑏 𝐿

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων ΕΙΚΟΝΑ ΑΠΌ http://web.aeromech.usyd.edu.au/AMME2301/Documents/mos/Chapter04.pdf, www.directindustry.com, en.wikipedia.org ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δρ. Π. Α. ΒΟΥΘΟΥΝΗΣ

Τέλος Ενότητας