Η χαρτοβιομηχανία ΠΑΠΥΡΟΣ παράγει χαρτί οικιακής χρήσης, χαρτί συσκευασίας, χαρτί εκτύπωσης και χαρτόνι. Η παραγωγή αποτελείται από τις διαδικασίες της πολτοποίησης του ξύλου, της λεύκανσης του πολτού και της τελικής επεξεργασίας. Με την παρούσα στελέχωσή της η εταιρεία διαθέτει 100.000 λεπτά χρόνου πολτοποίησης, 50.000 λεπτά λεύκανσης και 60.000 λεπτά χρόνου τελικής επεξεργασίας ανά έτος. Τα τεχνικά και οικονομικά στοιχεία για την παραγωγή κάθε προϊόντος συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί.

Ο μηχανικός παραγωγής καλείται να προγραμματίσει το ετήσιο ΕΙΔΟΣ ΧΑΡΤΙΟΥ ΠΟΛΤΟΠΟΙΗΣΗ (min) ΛΕΥΚΑΝΣΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΡΔΟΣ (€/ συσκευασία) Οικιακής χρήσης 2 3 1,50 Συσκευασίας 4 2,50 Εκτύπωσης 3,00 Χαρτόνι 7 5 4,50 Ο μηχανικός παραγωγής καλείται να προγραμματίσει το ετήσιο πλάνο παραγωγής με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους.

Αντικειμενική συνάρτηση (συνάρτηση βελτιστοποίησης) Μεταβλητές Χ1 : μον. συσκευασίας χαρτιού οικ. χρήσης που θα παραχθούν σε 1 χρόνο Χ2 : μον. συσκευασίας χαρτιού συσκευασίας που θα παραχθούν σε 1 χρόνο Χ3 : μον. συσκευασίας χαρτιού εκτύπωσης που θα παραχθούν σε 1 χρόνο Χ4 : μον. συσκευασίας χαρτονιού που θα παραχθούν σε 1 χρόνο Χ1 , Χ2 , Χ3 , Χ4 ≥ 0 Αντικειμενική συνάρτηση (συνάρτηση βελτιστοποίησης) max: 1,50*Χ1 + 2,50*Χ2 + 3,00*Χ3 + 4,50*Χ4 (€/ μον. συσκευασίας)

Περιορισμοί Περιορισμός χρόνου πολτοποίησης 2*Χ1 + 4*Χ2 + 3*Χ3 + 7*Χ4 ≤ 100.000 (min πολτοποίησης/ έτος) Περιορισμός χρόνου λεύκανσης 3*Χ1 + 2*Χ2 + 3*Χ3 + 4*Χ4 ≤ 50.000 (min λεύκανσης/ έτος) Περιορισμός χρόνου τελικής επεξεργασίας 2*Χ1 + 3*Χ2 + 2*Χ3 + 5*Χ4 ≤ 60.000 (min τελ. επεξεργασίας/ έτος)

Ανακεφαλαιώνοντας, το μαθηματικό μοντέλο για το πρόβλημα είναι το εξής: max: 1,50*Χ1 + 2,50*Χ2 + 3,00*Χ3 + 4,50*Χ4 (€/ μον. συσκευασίας) Με τους περιορισμούς 2*Χ1 + 4*Χ2 + 3*Χ3 + 7*Χ4 ≤ 100.000 (min πολτοποίησης/ έτος) 3*Χ1 + 2*Χ2 + 3*Χ3 + 4*Χ4 ≤ 50.000 (min λεύκανσης/ έτος) 2*Χ1 + 3*Χ2 + 2*Χ3 + 5*Χ4 ≤ 60.000 (min τελ. επεξεργασίας/ έτος) Χ1 , Χ2 , Χ3 , Χ4 ≥ 0

Αντικειμενικός συν/της Λύνοντας το μαθηματικό μοντέλο λαμβάνουμε τα εξής αποτελέσματα (αναφορά ευαισθησίας): Όνομα Τελική τιμή Μειωμένο κόστος Αντικειμενικός συν/της Επιτρεπόμενη αύξηση Επιτρεπόμενη μείωση Οικιακής χρήσης -1,5 1,5 1E+30 Συσκευασίας 16000 2,5 2 0,14 Εκτύπωσης 6000 3,0 0,75 0,5 Χαρτόνι -0,2 4,5 0,2 Τιμή Σκιώδης τιμή Περιορισμός R. H. Side Πολτοποίηση 82000 100000 18000 Λεύκανση 50000 0,8 40000 10000 Επεξεργασία 60000 0,3 15000 26666,67

Ερώτημα 1: Ποιος ο βαθμός αξιοποίησης των διαθέσιμων πόρων της βιομηχανίας; Βαθμός αξιοποίησης διαθέσιμου χρόνου πολτοποίησης: Βαθμός αξιοποίησης διαθέσιμου χρόνου λεύκανσης: Βαθμός αξιοποίησης διαθέσιμου χρόνου επεξεργασίας:

Ερώτημα 2: Υποθέστε ότι το κέρδος από την πώληση του χαρτιού συσκευασίας γίνεται 3,00 € ανά μονάδα συσκευασίας. Ποια η επίδραση αυτής της αλλαγής στο βέλτιστο πλάνο παραγωγής και στο μέγιστο κέρδος; Μέγιστο κέρδος: 2,5 * 16000 + 3 * 6000 = 58000 € Η επιτρεπόμενη αύξηση για το κέρδος από την πώληση του χαρτιού συσκευασίας είναι 2 € Δε θα υπάρξει αλλαγή στις παραγόμενες ποσότητες. Το κέρδος θα αυξηθεί κατά 16000 * 0,5 = 8000 € και θα γίνει 3 * 16000 + 3 * 6000 = 66000 €

Ερώτημα 3: Αν διαθέσουμε 10 Ερώτημα 3: Αν διαθέσουμε 10.000 πρόσθετα λεπτά στη λεύκανση, ποια θα είναι η επίδραση στο μέγιστο κέρδος; Αν διαθέσουμε 20.000 επιπλέον λεπτά; Tι θα συμβεί αν αυξήσουμε τα διαθέσιμα λεπτά κατά 50.000; Για 10000 επιπλέον λεπτά το κέρδος θα αυξηθεί κατά 10000 * 0,8 = 8000€, δηλαδή το ετήσιο κέρδος θα είναι 66000 € Για 20000 επιπλέον λεπτά έχουμε αύξηση κατά 16000 €, δηλαδή ετήσιο κέρδος 74000 €. Αν αυξηθούν τα διαθέσιμα λεπτά κατά 50000 τότε υπερβαίνουμε την επιτρεπόμενη αύξηση, οπότε πρέπει να επιλυθεί ξανά το πρόβλημα για RHS 100000.

Ερώτημα 4: Ποια η μεταβολή στο βέλτιστο πλάνο παραγωγής και στο μέγιστο κέρδος αν προσθέσουμε 10.000 λεπτά πολτοποίησης; Υπάρχει ανεκμετάλλευτος χρόνος στην πολτοποίηση. Δε θα υπάρξει καμία μεταβολή στο βέλτιστο πλάνο παραγωγής και στο μέγιστο κέρδος, καθώς η επιτρεπόμενη αύξηση είναι άπειρη και η σκιώδης τιμή μηδενική.

Ερώτημα 5: Τι πρέπει να συμβεί ώστε να γίνει συμφέρουσα η παραγωγή χαρτιού οικιακής χρήσης; Αν η επιχείρηση προχωρήσει στην παραγωγή του, ποιες οι επιπτώσεις στο κέρδος της; Για να γίνει συμφέρουσα η παραγωγή χαρτιού οικιακής χρήσης πρέπει να αυξηθεί το κέρδος τουλάχιστον κατά 1,5€, δηλαδή το κέρδος ανά μονάδα συσκευασίας να γίνει τουλάχιστον 3,0€. Για κάθε μονάδα συσκευασίας χαρτιού οικιακής χρήσης που θα παράγει η επιχείρηση θα ζημιώνεται κατά 1,5€.