ΣΗΜΑΤΑ και ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οκτώβρης 2004 Κεφάλαιο 3ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο Μετασχηματισμός Laplace συνάρτησης f(t) ορίζεται ως εξής: όπου

και η τιμή του σ καθορίζεται από τις ιδιομορφίες του ολοκληρώματος. Επίσης,

Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Laplace Ευκολία χρήσης. Ανάλυση συστημάτων μέσα από αλγεβρικές εξισώσεις και όχι μέσα από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (Βλέπε Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου). Γενικευμένο Εργαλείο Λογισμού.

Παράδειγμα Μετασχηματισμού Laplace

Η ιδιότητα της γραμμικότητας του Μετασχηματισμού Laplace Ομοιογένεια και Προσθετικότητα:

Όνομα Συνάρτηση f(t) Unit Impulse (t) 1 Unit Step u(t) 1/s Unit ramp Μετασχηματισμός Laplace Unit Impulse (t) 1 Unit Step u(t) 1/s Unit ramp t 1/s2 nth-Order ramp t n n!/sn+1 Exponential e-at 1/(s+a) nth-Order exponential t n e-at n!/(s+a)n+1

Όνομα Συνάρτηση f(t) Sine sin(bt) b/(s2+b2) Cosine cos(bt) s/(s2+b2) Μετασχηματισμός Laplace Sine sin(bt) b/(s2+b2) Cosine cos(bt) s/(s2+b2) Damped sine e-at sin(bt) b/((s+a)2+b2) Damped cosine e-at cos(bt) (s+a)/((s+a)2+b2) Diverging sine t sin(bt) 2bs/(s2+b2)2 Diverging cosine t cos(bt) (s2-b2) /(s2+b2)2

Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του f(t)=5u(t)+3e -2t. ΛΥΣΗ:

Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=5/(s2+3s+2). ΛΥΣΗ:

Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=5/(s2+3s+2). ΛΥΣΗ:

Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της

Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της Παράδειγμα

Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s). ΛΥΣΗ:

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s). ΛΥΣΗ:

Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=10/(s3+4s2+9s+10). Η συνάρτηση έχει μιγαδικούς πόλους.

Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=10/(s3+4s2+9s+10).

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace

Μετασχηματισμός Laplace των διαφορικών εξισώσεων για R, L, C

Χωρητικότητα C:

Νόμοι του Kirchkoff:

Κυκλωματική διάταξη R-L εν σειρά: E = βηματική συνάρτηση τάσης

Κυκλωματική διάταξη R-L εν σειρά με κρουστική πηγή τάσης

Εν σειρά κυκλωματική διάταξη R-C με βηματική πηγή τάσης:

Διάταξη R-C κυκλώματος με κρουστική πηγή τάσης:

Διάταξη R-L-C εν σειρά με κρουστική πηγή τάσης:

Τυπική κυκλωματική διάταξη RLC :

Μοντέλο αντίστοιχου μηχανολογικού συστήματος (Μ-Κ-Β-Mass-Spring-Damber):

Απλοποιημένο σύστημα ανάρτησης :

Μοντέλο ρολογιού με εκκρεμές: B=Τριβή μεταξύ εκκρεμούς και αέρα J=Ροπή αδράνειας εκκρεμούς B=Τριβή μεταξύ εκκρεμούς και αέρα K=ελαστικότητα του σύρματος που κρατάει το εκκρεμές

Μοντέλο Ηλεκτρομηχανολογικού Συστήματος. Παράδειγμα του servomotor: