“What is mathematical truth?” By Hilary Putnam, Harvard University Έλενα Δρόλια Δ201517 Ιουλιανή Βερνίκου Δ201516 Μαρία Βαλιάδη Δ201521 Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Λίγα λόγια για το συγγραφέα... Hilary Putnam (born July 31, 1926) Αμερικανός Φιλόσοφος, Μαθηματικός και Επιστήμονας Υπολογιστών. Είναι σήμερα ομότιμος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Harvard. Με τον μέντορά του W. V. Quine ανέπτυξαν το επιχείρημα του αναπόδραστου, το οποίο αναφέρεται στην πραγματικότητα των μαθηματικών οντοτήτων. Εντστερνίζονται την άποψη ότι τα μαθηματικά δεν είναι καθαρά λογική, αλλά «ψευδο-εμπειρικά». Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Η άποψη του συγγραφέα για την μαθηματικη αλήθεια Τα μαθηματικά πρέπει να ερμηνεύονται ρεαλιστικά και αντικειμενικά. Η πίστη στην αντικειμενικότητα, έχει να κάνει με την πεποίθηση ότι τα «μαθηματικά αντικείμενα» έχουν μία απόλυτη και υπερφυσική πραγματικότητα. Η μαθηματική γνώση είναι αυστηρά a priori. Στην πραγματικότητα, κριτήριο αλήθειας για τα μαθηματικά είναι η επιτυχία των εννοιών τους στην πράξη. Μαθηματική γνώση αναθεωρήσιμη και όχι απόλυτη, γι’αυτό και μοιάζει με την εμπειρική γνώση. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Μέθοδοι για την αλήθεια Αποδεκτή μέθοδος στα μαθηματικά είναι η άντληση συμπερασμάτων από αξιώματα που έχουν καθοριστεί μια για πάντα. Μπορούμε να έχουμε επιτυχή χρήση των ψευδο-εμπειρικών μεθόδων στα μαθηματικά. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Γιατί να μη χρησιμοποιείται παραγωγική απόδειξη και επιβεβαίωση απο μαθηματικά πειράματα στην αναζήτηση της αλήθειας; Αυτό φαίνεται σχεδόν απαραίτητο. Όλες οι προτάσεις (π.χ. Στη Θεωρία Αριθμών) που μπορούν να αποδειχθούν από αξιώματα αποτελούν ένα αναδρομικά αριθμήσιμο σύνολο. Παρ’ όλο που το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel δείχνει ότι το σύνολο των αληθειών της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών δεν είναι αναδρομικά αριθμήσιμο. Γι’ αυτό πρέπει να υπάρχουν «συνθετικές» αλήθειες στη Θεωρία Αριθμών. Η άρνηση για τη χρήση ψευδο-εμπειρικών μεθόδων μας αποκλείει από την εύρεση έστω και μίας από αυτές. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Αρχή της Αντιστοιχίας Είναι η 1-1 αντιστοιχία των σημείων μιας ευθείας με τους πραγματικούς αριθμούς. Σε αυτήν βασίζεται η αναλυτική γεωμετρία και κατ’ επέκταση η τοπολογική θεωρία των πολλαπλοτήτων. Αδυναμία των Ελλήνων για την καθιέρωση αυτής της αντιστοιχίας, λόγω της αδυναμίας κατάλληλης γενίκευσης της έννοιας του «αριθμού». Ο Descartes αποδέχθηκε αυτήν την αντιστοιχία όχι για να κατασκευάσει τους πραγματικούς από τους ρητούς, αλλά κυρίως γιατί η γεωμετρική απόδειξη ήταν πολύ ισχυρή για αυτό. Συμβολή τόσο στη Φυσική όσο και στα Μαθηματικά αδυναμία εγκατάλειψής της, ακόμα και στην περίπτωση εμφάνισης αντιφάσεων. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Στον Απειροστικό Λογισμό Χωρίς την ανακάλυψη των ε-δ μεθόδων τα απειροελάχιστα θα είχαν αντιμετωπιστεί σαν οντότητες (όπως ήταν για καιρό οι «φανταστικοί» αριθμοί). Αν ο απειροστικός λογισμός δεν είχε «επιβεβαιωθεί» από το στυλ του Weierstrass, θα είχε «επιβεβαιωθεί» έτσι κι αλλιώς. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

“Zermelo’s Axiom of Choice” Αν έχουμε ένα σύνολο μη κενών ξένων σύνόλων, υπάρχει ένα άλλο σύνολο, το οποίο μπορεί να περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε ένα από τα ξένα και μη κενά σύνολα. Το 1908 υπερασπίζεται το αξίωμά του ενάντια στις κριτικές του άρθρου του 1904. Ο Peano υπέδειξε οτι το αξίωμα ειναι ανεξάρτητο από το δικό του και συνέχισε προτείνοντας πως η απόδειξη του Zermelo της πρότασης οτι κάθε σύνολο μπορεί να ειναι καλά διατεταγμένο δεν αποτελεί καμία απόδειξη αφού βασίζεται στην παραδοχή του αξιώματος επιλογής που δεν έχει αποδειχτεί. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Η απάντηση του Zermelo Πώς ο Peano φτάνει στις θεμελιώδεις αρχές και δικαιολογεί την ένταξή τους στο Formulaire, αφού ούτε και αυτός μπορεί να τις αποδείξει; Το Αξίωμα της Επιλογής έχει χρησιμοποιηθεί σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών από τους Dedekind, Cantor, F.Bernstein, κ.ά. Η εξήγηση για τη διαδεδομένη χρήση της αρχής έγκειται στην αυτο-απόδειξή της, η οποία δεν πρέπει να συγχέεται με την αποδειξιμότητά της. Η αυτο-απόδειξη είναι σε κάποιο βαθμό υποκειμενική, αλλά αναγκαία πηγή μαθηματικών αρχών. Ερώτημα: «Είναι η αρχή απαραίτητη για την επιστήμη; Απάντηση: Υπάρχει ένα πλήθος στοιχειωδών και θεμελιωδών θεωρημάτων και προβλημάτων, που κατά τη γνώμη μου, δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν καθόλου χωρίς την Αξίωμα της Επιλογής. Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Η άποψη του συγγραφέα για την απάντηση του Zermelo Η «αυτό – απόδειξη» είναι υποκειμενική Στην εμπειρική επιστήμη παίζει ρόλο η διαίσθηση Αυτό που χαρακτηρίζει ο Zermelo ως «αντικειμενικό» δεν είναι η «αυτό- απόδειξη» αλλά η « αναγκαιότητα για επιστήμη» Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Ψευδο – εμπειρικές μέθοδοι Παράδειγμα Ανακάλυψη του Euler Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Θεωρία αριθμών Εμπειρικά – πιθανολογικά επιχειρήματα είναι πειστικά Παράδειγμα Οι πρώτοι διαδοχικοί περιττοί αριθμοί είναι ανεξάρτητοι και η πυκνότητα πιθανότητας πρώτων αριθμών είναι ασυμπτωτικά κατά προσέγγιση Από θα πρέπει να υπάρχει ένας άπειρος αριθμός των πρώτων ζευγών (p, p + 2). Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Hilary Putnam Υποστηρίζει Την ακόλουθη και απλή διατύπωση του ρεαλισμού: Ένας ρεαλιστής θεωρεί: Εάν είναι αληθής ή ψευδής η φράση αυτής της θεωρίας Αυτό που τις κάνει αληθείς ή ψευδείς είναι κάτι έξω από τη φυσική πραγματικότητα Επιχειρηματολογεί Για τον ρεαλισμό στη φιλοσοφία των μαθηματικών από την άποψη της μαθηματικής και φυσικής εμπειρίας Υπάρχει συνέχεια στα μαθηματικά παρόλο που δεν έχουμε δυνατότητα απόδειξης για την συνέχεια Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Brouwerian Intuitionism Ο νόμος του Νεύτωνα της παγκόσμιας έλξης είναι διαισθητικά ψευδής. O Brouwer υποστηρίζει την άποψη ότι τα φυσικά αντικείμενα, και οι μελλοντικές καταστάσεις του ίδιου, του μυαλού του είναι όλες κατασκευάσματα Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Ο Mackey και ο Jauch προτείνουν ότι υπάρχει μια άλλη μελέτη, που ονομάζεται “logic” Εαν η κβαντική λογική είναι λάθος, τότε και η θεωρία και η φυσική εφαρμογή της είναι λάθος. Το αποτέλεσμα αυτού, είναι η απάντηση στα βασικά ερωτήματα σχετικά με, το συνεχές, όχι από καινούργιες «διαισθήσεις» , αλλά από τη φυσική / μαθηματική ανακάλυψη Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Discussion Θεώρηση συνδυασμού Γεωμετρίας – Άλγεβρας Boyer αμφισβήτησε την αξίωση του Putnam ότι ο Descartes έκανε την σύσταση 1-1 αντιστοιχίας σημείων στην ευθεία με πραγματικούς αριθμούς Ποιός υπέθεσε πρώτος οτι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός για κάθε σημείο της ευθείας Regoczei Cantor Dieudonne Bombelli May αντιστοιχία ήρθε αργά Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Brower Αντανακλά την αδιαφορία των σύγχρονων μαθηματικών για τα θεμέλια στην απουσία μιας τέτοιας ανάγκης Herman Weyl θεωρεί τις μη κατασκευαστικές μεθόδους πολύτιμες ειδικά στην μαθηματική φυσική γιατί οι κατασκευαστικές περιορίστηκαν στα προβλήματα που ήταν προσιτά στην έρευνα Απορρίπτει την άποψη του Bishop για κρίση στους μαθηματικούς . Παραδοχή ύπαρξης κρίσης μόνο από ασυνέπεια μιας παρούσας μαθηματικής έρευνας Οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται περισσότερο για την σημασία των αποτελεσμάτων τους ως μέσο επίλυσης ενός δύσκολου προβλήματος Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Putnam Ενδιαφέρον για την φιλοσοφία των μαθηματικών ως μέρος της κουλτούρας LPO (Limited Principle of Omniscience) Για κάθε ακολουθία για την οποία ισχύει κάθε είναι 0 ή 1 τότε ή το για κάθε i ή υπάρχει ένα k τέτοιο ώστε το Θεωρεί την αντίδραση του Hilbert ως υποχώρηση, παρά συνεργασία, γιατί αγνόησε την ερώτηση της αλήθειας της LPO και την ερμηνεία του συνδετικού “ή” Bishop: Υποχώρησε στην άποψη του Hilbert, βασιζόμενος στην «κατασκευαστική» φύση της Φυσικής Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Dou Κάποιες φορές απαραίτητο να είσαι Πλατωνιστής (αποδοχή τυπικής ύπαρξης μαθηματικών αντικειμένων), προκειμένου να εξηγήσεις την εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στο φυσικό κόσμο Επικαλέστηκε ένα paper στο οποίο ο P.Lax εικάζεται ένα θεώρημα βασισμένο σε μια πειραματική μαθηματική απόδειξη Ασπάζεται την προσέγγιση του Bishop για τα μαθηματικά αντικείμενα γιατί η ερώτηση του Πλατωνικού ρεαλισμού εμπίπτει στα μαθηματικά Putnam: Περισσότερη εφαρμοριμότητα των μαθηματικών Μay: Μαθηματική εμπειρία κατά τον Putnam, είναι μέρος του φυσικού κόσμου Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Σημασία Ύπαρξης στα Μαθηματικά Putnam : Παραπλανητική η αναφορά του Dou στην ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων Σημαντικό ερώτημα είναι κατά πόσο μια πρόταση είναι αληθής ή ψευδής, όχι η αντικειμενικότητα των μαθηματικών Συσχετισμός Ιστορία των Μαθηματικών- Φιλοσοφία των Μαθηματικών Συσχετισμός Φιλοσοφία των Μαθηματικών- Τι πραγματικά κάνουν τα μαθηματικά Dou : Διαφορετική ερμηνεία ύπαρξης στα Μαθηματικά από ότι στη Φυσική Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Διεπιστημονικές Σχέσεις Η δυνατότητα αποστολής πυραύλου στο φεγγάρι, προκύπτει απο καλά Μαθηματικά ή από καλή Φυσική; Ακρίβεια πυραύλου επιτυχία και των δύο Η αδυναμία να κατονομάσεις τον επόμενο πρόεδρο, σημαίνει ότι τα μαθηματικά είναι κακά; Αδυναμία να προβλέψεις το νέο πρόεδρο, αφορά την Πολιτική Επιστήμη και όχι τα Μαθηματικά Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Εφαρμογή των Μαθηματικών σε άλλες επιστήμες Bishop : Αντιτίθεται στην εφαρμογή των Μαθηματικών στη Φιλοσοφία και σε άλλους κλάδους εκτός των Φυσικών επιστημών Τα περισσότερα Μαθηματικά που χρησιμοποιούνται σε ψυχολογική, κοινωνική και οικονομική έρευνα είναι ψεύτικα και κατά βάση διακοσμητικά Μετάνιωσε την εμφάνιση «εφαρμογών» σε εισαγωγικά κείμενα λογισμού για τις κοινωνικές επιστήμες May : Τα περισσότερα οικονομικά Μαθηματικά είναι μαθηματικώς ασήμαντα και οικονομικώς άχρηστα Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Σας ευχαριστούμε πολύ!!!! Δ17. Φιλοσοφία των Μαθηματικών