Κανονική Κατανομή

Ένα απλό παράδειγμα Ακούμε πολλές φορές ότι ο Αϊνσταιν π.χ. ήταν πολύ έξυπνος Ήταν στο 5% των ατόμων με το υψηλότερο δείκτη νοημοσύνης (IQ) Θα μπορούσαμε να πούμε και το αντίθετο Ότι ο …τάδε ανήκει στο 10% των ατόμων με το χαμηλότερο IQ

Αυτή η περιοχή αποτελεί το 5% των ατόμων με το υψηλότερο IQ

Προσέγγιση ενός διακριτού χαρακτηριστικού από την κανονική καμπύλη

Χρειαζόμαστε ΔΥΟ στοιχεία για να περιγράψουμε ένα χαρακτηριστικό με την κανονική κατανομή: Α) τη μέση τιμή (μ) β) την τυπική απόκλιση (σ) Όταν δεν τα γνωρίζουμε, τα εκτιμούμε από το δείγμα μας

Ειδική περίπτωση (μ=0, σ=1) Η μορφή της συνάρτησης που εκφράζει την καμπύλη της Κανονικής Κατανομής (ονομάζεται Πυκνότητα Πιθανότητας) τυπική κανονική κατανομή (Z – κατανομή) Ειδική περίπτωση (μ=0, σ=1)

Κανονικές κατανομές με την ίδια τυπική απόκλιση (αλλά διαφορετικές μέσες τιμές) 1 2 x 2.5 μ=1, σ=1 μ=2, σ=1 μ=2.5, σ=1

Κανονικές κατανομές με την ίδια μέση τιμή (αλλά διαφορετικές τυπικές αποκλίσεις) x μ=3, σ=1 3 μ=3, σ=2 μ=3, σ=4

Κατανομή μήκους βλαστού κάποιων φυτών (σε mm)

H σημασία της Τυπικής Απόκλισης (σ) - α Σε απόσταση ΜΙΑ τυπική απόκλιση από τη μέση τιμή, υπάρχει περίπου το 68% των περιπτώσεων

H σημασία της Τυπικής Απόκλισης (σ) - β Σε απόσταση ΔΥΟ τυπικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή, υπάρχει περίπου το 95% των περιπτώσεων

H σημασία της Τυπικής Απόκλισης (σ) - γ Σε απόσταση ΤΡΙΩΝ τυπικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή, υπάρχει το 99,7% των περιπτώσεων (δηλαδή σχεδόν το σύνολο)

Εφαρμογή: μήκος βλαστού κάποιων φυτών (σε mm) μ = 155 mm και σ = 27 mm 155-27 = 128 / 155+27 = 182 (μεταξύ 128 mm και 182 mm  68% των φυτών) 155-2*27 = 101 / 155+2*27 = 209 (μεταξύ 101 mm και 209 mm  95% των φυτών) 155-3*27 = 74 / 155+3*27 = 236 (μεταξύ 74 mm και 236 mm  99,7% των φυτών)

z - μετασχηματισμός κάθε τιμή x μετασχηματίζεται σε μια τιμή z με τον τύπο Αποτέλεσμα: οι τιμές z ακολουθούν κανονική κατανομή με μ=0 και σ=1 (δηλ. τυπική κανονική κατανομή)

Υπολογισμός πιθανοτήτων (ποσοστών) στο Excel για την Κανονική Κατανομή Για κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ, Ρ[Χ<x] =NORMDIST(x;μ;σ;1) Το x που μας ενδιαφέρει Γράφουμε πάντα 1 Μέση τιμή Τυπική απόκλιση

Υπολογισμός εκατοστημορίων για την Κανονική Κατανομή στο Excel Για κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ =NORMINV(p;μ;σ) Το p(%) που μας ενδιαφέρει Μέση τιμή Τυπική απόκλιση