ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production Engineering& Management ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ Η. ΣΠΑΡΤΑΛΗΣ ΚΤΙΡΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗΣ, ΚΙΜΜΕΡΙΑ 671 00 ΞΑΝΘΗ e-mail: sspart@pme.duth.gr Tηλ.: 2541079341, 2541022711 Fax: 2541022711 διαφορικές εξισώσεις

Συγγραφείς: ΚΑΡΟΛΟΣ ΣΕΡΑΦΕΙΜΙΔΗΣ  Συγγράμματα 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συγγραφείς: ΚΑΡΟΛΟΣ ΣΕΡΑΦΕΙΜΙΔΗΣ Διαθέτης (Εκδότης): "σοφία" Ανώνυμη Εκδοτική & Εμπορική Εταιρεία 2. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, Συγγραφείς: ΑΝΔΡΕΑΣ Γ. ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ  Διαθέτης (Εκδότης): ΑΝΔΡΕΑΣ Γ. ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ 3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Συγγραφείς: ΓΕΩΡΓΙΟΣ Β. ΒΟΥΓΙΑΤΖΗΣ, ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ. ΜΠΟΖΗΣ, ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Διαθέτης (Εκδότης): ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ ΕΠΕ 4. Διαφορικές Εξισώσεις, Μετασχηματισμοί και Μιγαδικές Συναρτήσεις Συγγραφείς: Μυλωνάς Νίκος - Σχοινάς Χρήστος Διαθέτης (Εκδότης)ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. 2

2. Συνήθεις δ.ε. πρώτης τάξης 3. Δ.ε. τάξεως ανώτερης της πρώτης  Περιγραφή της ύλης 1. Γενική θεωρία 2. Συνήθεις δ.ε. πρώτης τάξης 3. Δ.ε. τάξεως ανώτερης της πρώτης 4. Γραμμικές δ.ε. με σταθερούς όρους 5. Επίλυση δ.ε. με τη μέθοδο των διαφορικών τελεστών 6. Μετασχηματισμοί Laplace 7. Επίλυση δ.ε. με αναπτύγματα σε δυναμοσειρές 8. Συστήματα δ.ε.

μεταβλητών και ένα αριθμό σχέσεων εισαγωγή Σε κάθε πρόβλημα οι τιμές των μεταβλητών διαμορφώνονται στα πλαίσια ενός συνόλου σχέσεων «αλληλεξάρτησης». Κάθε «πρόβλημα» συνοδεύεται από ένα αριθμό μεταβλητών και ένα αριθμό σχέσεων (εξισώσεις,ανισώσεις κ.τ.λ.) που συνδέουν τις μετβλητές μεταξύ τους.  Επομένως, η κατανόηση  η ερμηνεία και η  η αποτελεσματική αντιμετώπιση ενός προβλήματος (οικονομικού, διοικητικού κ.τ.λ.) γίνεται με:  την τυποποίηση των σχέσεων σε ένα μαθηματικό μοντέλο  την μαθηματική και υπολογιστική επεξεργασία του προβλήματος

 γίνεται χρήση της πληροφορικής και των Η/Υ Τα μαθηματικά έχουν καθιερωθεί σαν βασική γλώσσα της σύγχρονης σκέψης και επιστήμης Πλεονεκτήματα: γίνεται χρήση των σύγχρονων μαθηματικών μεθόδων (θεωρητικών και υπολογιστικών)  γίνεται χρήση της πληροφορικής και των Η/Υ  επιτυγχάνεται η ακρίβεια  εξασφαλίζεται η ταχύτητα  ικανοποιείται η ευελιξία και η απλότητα Παρατηρήσεις Τα μαθηματικά συμβάλλουν μόνο στην επίλυση του προβλήματος.  Τα μαθηματικά από μόνα τους δεν μπορούν αυτόματα να επιλύσουν το πρόβλημα.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Ονοματολογία:  Εξισώσεις: Υπάρχει κάποιο ζητούμενο. Αυτό είναι μια άγνωστη συνάρτηση με τύπο y=f(x). Τελικά, η συνήθης διαφορική εξίσωση αποτελεί μια συναρτησιακή εξίσωση.  Διαφορικές: Το ζητούμενο της εξίσωσης, δηλαδή, η άγνωστη συνάρτηση με τύπο y=f(x), εμφανίζεται στην εξίσωση διαφορισμένη.  Συνήθεις: Η ζητούμενη συνάρτηση είναι μιας μόνο μεταβλητής (έχει τύπο y=f(x)), σε αντιδιαστολή με τις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις όπου εμφανίζονται μερικές παράγωγοι, ως προς περισσότερες από μιας μεταβλητές.

Λύση: η απάντηση στο ερώτημα αυτό βρίσκεται στην λύση της εξίσωσης Παράδειγμα αναφοράς: Αν γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός μείωσης της βιομηχανικής απασχόλησης στα κράτη της Βόρειας Ευρώπης, είναι αντιστρόφως ανάλογος της τιμής του μέσου ετήσιου ύψους h της παραγωγής, συν μια σταθερά b, δηλαδή : Να προσδιοριστεί η συνάρτηση της βιομηχανικής απασχόλησης στην Β.Ευρώπη S=S(h). Λύση: η απάντηση στο ερώτημα αυτό βρίσκεται στην λύση της εξίσωσης Διαφορική εξίσωση

η μαθηματική ανάλυση σας υπενθυμίζει η μαθηματική ανάλυση σας υπενθυμίζει Δίνεται η συνάρτηση f: I  R: x  f(x), Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς την μεταβλητή x είναι μια νέα συνάρτηση, που ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση της f και συμβολίζεται με δηλαδή, f’: I  R: x  f’(x) = Αν η y=f(x) είναι η συνάρτηση της μεταβολής του γενικού δείκτη των τιμών σε μια οικονομία, τότε η παραγωγος της f λέγεται πληθωρισμός. Παράδειγμα: αν y=f(x) = x2, τότε y’=f’(x)=2x

Συνάρτηση : γενικός δείκτης τιμών y=f(x)=x2

F(x,y΄, y΄΄, y΄΄΄,y΄΄΄΄, …, y(n)) = 0 Συνήθης διαφορική εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση y=f(x) και οι παράγωγοί της (πρώτης ή ανώτερης τάξης, y΄(x), y΄΄(x),…, y(n)(x)). Ορισμός: διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση στην οποία εμφανίζεται μια (άγνωστη) συνάρτηση y της ανεξάρτητης μεταβλητής x και οι παράγωγοί της, πρώτης ή ανώτερης τάξης.  Συμβολισμός F(x,y΄, y΄΄, y΄΄΄,y΄΄΄΄, …, y(n)) = 0 Παράδειγμα: 3y΄΄΄- 5xy΄΄+3y΄- 4xy+x3 = 0 ισοδύναμα

Συναντάμε διάφορες μορφές δ.ε. 1. F(x,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 λείπει η y 2.F(y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 λείπει η x 3. y΄+y΄΄=0 λείπουν οι x,y,y΄΄΄, … ,y(n) 4. y(n)=0 λείπουν οι x,y,y΄,y΄΄, … ,y(n-1) Σε κάθε δ.ε. πρέπει να εμφανίζεται τουλάχιστον μια παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης y=f(x). Ορισμός : Τάξη της δ.ε. λέγεται ο φυσικός αριθμός n που δηλώνει την παράγωγο της y=f(x) που έχει την μεγαλύτερη τάξη. Παραδείγματα: x3y΄+2xy = y5 δ.ε. 1ης τάξης y΄΄΄-5xyy΄= x2 δ.ε. 3ης τάξης (y΄΄)4+yy΄΄= συνx δ.ε. 2ης τάξης x4+ 2xyy(100)=εφx δ.ε. 100ης τάξης F(x,y΄,y΄΄ ,y΄΄΄,y΄΄΄΄) = 0 γενική μορφή δ.ε. 4ης τάξης

Επίλυση της δ.ε. με απευθείας ολοκλήρωση Επειδή οι δ.ε. περιλαμβάνουν παραγώγους και κάθε ολοκλήρωση μειώνει την τάξη της παραγώγου κατά μια μονάδα μπορούμε να θεωρήσουμε την απευθείας ολοκλήρωση σαν μια μέθοδο επίλυσης της δ.ε. (η μέθοδος αυτή είναι περισσότερο εξαίρεση παρά κανόνας). Παράδειγμα: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y΄΄- xe-2x=0 Λύση της δ.ε. λέγεται κάθε συνάρτηση με τύπο y=f(x) που επαληθεύει την παραπάνω ισότητα! 12

Επίλυση: 13

Επίλυση: 14

Επίλυση: Γενική λύση της δ.ε. 15

Επίλυση: 16

με σταθερούς συντελεστές συνήθεις δ.ε. γραμμικές μη-γραμμικές με σταθερούς συντελεστές με μεταβλητούς συντελεστές

Ορισμός: μια δ.ε. λέγεται γραμμική αν έχει την μορφή: όπου αi(x),,i=0,…,n είναι ένα πολυώνυμο του x, και b(x) είναι επίσης ένα πολυώνυμο του x  παραδείγματα y΄΄+ 5y΄+ 4y = 0 y(4) + x2y΄΄΄+ x4y΄ = x2e4x x2y΄΄+ xy΄+ (x5 -2)y = 0 y΄΄ - y = ex

Ορισμός: μια δ.ε λέγεται μη-γραμμική αν δεν είναι γραμμική, δηλαδή δεν έχει την προηγούμενη μορφή. παραδείγματα y+5y΄+ 6y2 = 0 το y είναι 2ου βαθμού y+ 5y+ 8(y)2 = 0 η πρώτη παράγωγος της y είναι 2ου βαθμού y+ 5yy +8y = 0 εμφανίζεται το γινόμενο y με την y΄ y΄΄΄ - 5y= ey εμφανίζεται η y στην μορφή ey y΄΄ + συνy = 0 εμφανίζεται η y στην μορφή συνy

Ορισμοί Μια συνήθης δ.ε. λέγεται με σταθερούς συντελεστές αν η y=y(x) και οι παράγωγοί της έχουν σταθε-ρούς συντελεστές παράδειγμα: y΄΄+ 5y΄+ 6y = 0  Μια συνήθης δ.ε. λέγεται με μεταβλητούς συντελεστές αν οι συντελεστές της y=y(x) και των παραγώγων της είναι πολυώνυμα παράδειγμα: y΄΄΄΄+ x2y΄΄΄+ x3y΄ = xe4x

1ης τάξης συνήθεις δ.ε. Ι. Που οι μεταβλητές τους χωρίζονται  Ι.1 y΄= f(x)  Ι.2 y΄= f(y)  Ι.3 y΄= F(x,y), όπουF(x,y)=F1(x)F2(y)  Ι.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy = 0

Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) ή F(x,y,y΄)=0 (Ι) (ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

τρόπος υπολογισμού:

Άσκηση1. : Δίνεται η δ.ε. y΄ = 2x 1. Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της γ. λύσης 3. Να προσδιοριστεί μια λύση της δ.ε. τέτοια ώστε για x=2, y=-3 Λύση:

Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο y=x2 y=x2+10 y=x2+100 B(0,100) Ο(0,0) Α(0,10) y=x2-50 Δ(0,-10) y=x2-10 y=x2-500 Ε(0,-500) Γ(0,-50) y=x2+500 Η(0,1000) y=x2+1000 Θ(0,-500) Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο

3. Πρόβλημα αρχικών τιμών ή Πρόβλημα Cauchy: Να βρεθεί μια λύση της y΄ = 2x που να ικανοποιεί τις συνθήκες: x=2, y=-3 ισοδύναμα: Να βρεθεί ποια καμπύλη διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) σημείο Α(2,-3)

η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x Απάντηση: Στην γενική λύση της δ.ε. δίνουμε τις τιμές x=2 και y=-3 και προσδιορίζουμε την τιμή του σταθερού όρου, δηλαδή, -3 = 22 + c  c = -7 Τελικά, μερική λύση της δ.ε. είναι: y = x2-7 Β(0,-7) Α(2,-3) η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x

Άσκηση 2. Το Παράδειγμα αναφοράς είναι της μορφής 1. S΄=S(h) δηλαδή,

διάλειμμα - interval

οι μεταβλητές χωρίζονται I.2 y΄=f(y) οι μεταβλητές χωρίζονται

Άσκηση 3.: Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y2 Λύση: Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y)

οι μεταβλητές χωρίζονται I.3 y΄=F(x,y)=F1(x)F2(y) οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G2(y)=G1(x)+c1-c2, όπου c1,c2R Τελικά, G2(y)=G1(x)+c, όπου cR γενική λύση

οι μεταβλητές χωρίζονται I.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 οι μεταβλητές χωρίζονται Αν, F2(x)Φ1(y)0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

επίλυση : γενική λύση της δ.ε.

Άσκηση 4.:Να λυθεί η δ.ε. x2(y+1)+y2(x-1)y΄=0 Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται τότε, x2(y+1)dx+y2(x-1)dy = 0 (I), δηλαδή F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)0, δηλαδή, x-10 και y+10 ισοδύναμα, x1 και y-1 διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) = x+1+(1/x-1) άρα,

γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1 διαίρεση πολυωνύμων y2: (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως, γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1

(1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Άσκηση 5: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (1+ex)yy΄= ex και y(0)=1. Λύση: (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 είναι της μορφής F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 όπου F1(χ)= ex, Φ1(y)=1, F2(x)= -(1+ex), Φ2(y)=y Έχουμε ότι, 1+ex0. Πράγματι, ex>0  1+ex>0. Επομένως,

y2 = 2ln(ex+1) + c, cR γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

από την γενική λύση της δ.ε.: y2 = 2ln(ex+1) + c, cR έχουμε: Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 12 = 2ln(e0+1)+c  1 = 2ln2+c, cR Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2 0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y2 = 2ln(ex+1)+1-2ln2, δηλαδή

από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: (i) x=0, y1=1 άρα, η λύση είναι δεκτή (ii) x=0, y2=1 άρα, η λύση απορρίπτεται Τελικά,