Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή (The Traveling Salesman Problem) Πηγή υλικού: http://www.tsp.gatech.edu/problem/index.html

Το πρόβλημα Δεδομένα: συλλογή πόλεων και κόστος του ταξιδιού μεταξύ κάθε ζεύγους των πόλεων αυτών Στη βασική εκδοχή του προβλήματος, τα έξοδα είναι συμμετρικά, δηλ., το ταξίδι από την πόλη X στην πόλη Y στοιχίζει όσο και το ταξίδι από την πόλη Y στην X Ζητούμενο: σκοπός του προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (Traveling Salesman problem – TSP) είναι η εύρεση του φθηνότερου τρόπου επίσκεψης (διαδρομής) όλων των πόλεων και επιστροφής στο σημείο εκκίνησης Η απλότητα της διατύπωσης του προβλήματος είναι παραπλανητική: το TSP είναι ένα από τα πιο πολυμελετημένα προβλήματα στα υπολογιστικά μαθηματικά για τη γενική περίπτωση του οποίου ακόμα δεν είναι γνωστή αποδοτική λύση Η επίλυσή του TSP θα απαντούσε στο πρόβλημα σύγκρισης των υπολογιστικών κλάσεων P και NP και θα απέδιδε βραβείο $1,000,000 από το Clay Mathematics Institute Η πάνω από 50 χρόνια μελέτη του TSP έχει οδηγήσει σε βελτιωμένες μεθόδους επίλυσης σε πολλές περιοχές της μαθηματικής βελτιστοποίησης

Αριθμός διαδρομών Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών διαδρομών μεταξύ n πόλεων; Δεδομένης μιας αρχικής πόλης από την οποία ξεκινάει η διαδρομή, υπάρχουν n-1 επιλογές για τη δεύτερη πόλη, n-2 επιλογές για την Τρίτη πόλη, κοκ Πολλαπλασιάζοντας το πλήθος των επιλογών έχουμε (n-1)!  = n-1 x n-2 x n-3 x. . . x 3 x 2 x 1 πιθανές διαδρομές Το κόστος κάθε διαδρομής δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση κατά την οποία την εκτελούμε, διαιρούμε με 2 λαμβάνοντας (n-1)!/2 που είναι το πλήθος των πιθανών διαφορετικών διαδρομών Αυτός είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός και συχνά αναφέρεται σαν το λόγο για τον οποίο το TSP φαίνεται τόσο δύσκολο να λυθεί Αληθεύει ότι η ταχύτατα αυξανόμενη τιμή της ποσότητας (n-1)!/2 καθορίζει την πιθανότητα ελέγχου όλων των πιθανών διαδρομών, αλλά υπάρχουν και άλλα προβλήματα που λύνονται εύκολα (όπως το ελάχιστο γεννητικό δένδρο) στα οποία το πλήθος των λύσεων για n σημεία μεγαλώνει ακόμα γρηγορότερα

Ιστορία του προβλήματος TSP Μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με το πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή μελετήθηκαν το 18ο αιώνα από τον Ιρλανδό μαθηματικό William Rowan Hamilton και από το Βρετανό μαθηματικό Thomas Penyngton Kirkman (Graph Theory, σελ. 1736-1936, N. L. Biggs, E. K. LLoyd, and R. J. Wilson, Clarendon Press, Oxford, 1976) Η γενική μορφή του TSP φαίνεται να πρωτομελετήθηκε κατά τη δεκαετία του 1930 από το μαθηματικό Karl Menger στη Βιέννη και στο Πανεπιστήμιο Harvard Αργότερα, το πρόβλημα μελετήθηκε από τους Hassler Whitney και Merrill Flood στο Πανεπιστήμιο Princeton.  Λεπτομερής μελέτη για τη σχέση μεταξύ Menger και Whitney και την εξέλιξη του TSP σε θέμα μελέτης παρουσιάζεται στην εργασία του Alexander Schrijver με τίτλο “On the history of combinatorial optimization (till 1960)”

Το δωδεκάεδρο του ταξιδιώτη (The Icosian game)

Το δωδεκάεδρο του ταξιδιώτη (The Icosian game) Εμφανίστηκε το 1859 στην αγορά του Λονδίνου και είχε σχεδιαστεί από τον William Rowan Hamilton, το μεγαλύτερο Ιρλανδό μαθηματικό Κόστιζε μόνο 95 λίρες και αποτελούταν από ένα ξύλινο δωδεκάεδρο με τα ονόματα 20 πόλεων στις 20 κορυφές του, τοποθετημένες με αλφαβητική σειρά ξεκινώντας από Β (Βρυξέλλες) και καταλήγοντας σε Ζ (Ζανζιβάρη) Οι ακμές του δωδεκάεδρου ήταν τονισμένες με μαύρες γραμμές και αναπαριστούσαν τις αποστάσεις ανάμεσα στις πόλεις Το ζητούμενο ήταν να επισκεφτεί κάποιος όλες τις πόλεις από μια και μόνο φορά, δηλ. να βρεθεί μια διαδρομή που θα περνάει από όλες τις πόλεις αλλά δε θα περνάει από καμμία πόλη 2  φορές Το παιχνίδι δεν «περπάτησε» στην αγορά γιατί  ήταν εξαιρετικά εύκολο

Το δωδεκάεδρο του ταξιδιώτη (The Icosian game) Μπορείτε να βρείτε διαδρομή έτσι ώστε να επισκεφτείτε όλες τις πόλεις ακριβώς μια φορά;  Ενδεικτική απάντηση: BCDFGHJKLMNPQZXWRBTV

Βέλτιστη διαδρομή σε 42 πόλεις στις ΗΠΑ. 1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Βέλτιστη διαδρομή σε 42 πόλεις στις ΗΠΑ. Το πρόβλημα λύθηκε από τους Dantzig, Fulkerson και Johnson το 1954.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Η εταιρεία Proctor and Gamble έκανε ένα διαγωνισμό το 1962, ο οποίος ζητούσε λύση για ένα TSP σε 33 συγκεκριμένες πόλεις που φαίνονται στο χάρτη του πόστερ. Αρκετοί άνθρωποι βρήκαν τη βέλτιστη διαδρομή. Ένας νεαρός ερευνητής του TSP, ο Καθηγητής Gerald Thompson του Πανεπιστημίου Carnegie Mellon, ήταν ένας από τους νικητές.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Ο Groetschel (1977) βρήκε βέλτιστη διαδρομή που περιλάμβανε 120 πόλεις στην πρώην Δυτική Γερμανία

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Βέλτιστη διαδρομή για 532 θέσεις στις ΗΠΑ για δικτυακούς διακόπτες (switches) της εταιρείας AT&T. Η διαδρομή βρέθηκε το 1987 από τους Padberg και Rinaldi.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Βέλτιστη διαδρομή για 666 ενδιαφέροντα μέρη στον πλανήτη. Η διαδρομή βρέθηκε το 1987 από τους Groetschel και Holland.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Βέλτιστη διαδρομή για στιγμιότυπο του προβλήματος TSP με 2,392 πόλεις, που παρήχθη από την εταιρεία Tektronics Incorporated. Η διαδρομή βρέθηκε το 1987 από τους Padberg και Rinaldi.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Οι Applegate, Bixby, Chvátal και Cook (1994) βρήκαν βέλτιστη διαδρομή για στιγμιότυπο του TSP με 7,397 πόλεις που προέκυψε σε εφαρμογή προγραμματιζόμενου λογικού πίνακα στα Εργαστήρια AT&T Bell.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Οι Applegate, Bixby, Chvátal και Cook (1998) βρήκαν βέλτιστη διαδρομή που περιλάμβανε 13,509 πόλεις των ΗΠΑ.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Οι Applegate, Bixby, Chvátal και Cook (2001) βρήκαν βέλτιστη διαδρομή που περιλάμβανε 15,112 πόλεις στη Γερμανία.

1954 n=49 1962 n=33 1977 n=120 1987 n=532 1987 n=666 1987 n=2392 1994 n=7397 1998 n=13509 2001 n=15112 2004 n=24978 Οι Applegate, Bixby, Chvátal, Cook και Helsgaun (2004) βρήκαν βέλτιστη διαδρομή που περιλάμβανε 24,978 πόλεις στη Σουηδία.

Σημεία σταθμοί στη λύση στιγμιοτύπων του προβλήματος TSP Απόδειξη της βελτίωσης αυτής αποτελεί το αυξανόμενο μέγεθος μη τετριμμένων στιγμιοτύπων του προβλήματος που έχουν λυθεί από τη λύση των Dantzig, Fulkerson και Johnson για στιγμιότυπο με 49 πόλεις το 1954 μέχρι τη λύση στιγμιοτύπου του προβλήματος με 24,978 πόλεις 50 χρόνια μετά…

Σημεία σταθμοί στη λύση στιγμιοτύπων του προβλήματος TSP Year Research Team Size of Instance 1954 G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson 49 cities 1971 M. Held and R.M. Karp 64 cities 1975 P.M. Camerini, L. Fratta, and F. Maffioli 67 cities 1977 M. Grötschel 120 cities 1980 H. Crowder and M.W. Padberg 318 cities 1987 M. Padberg and G. Rinaldi 532 cities M. Grötschel and O. Holland 666 cities 2,392 cities 1994 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 7,397 cities 1998 13,509 cities 2001 15,112 cities 2004 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, and K. Helsgaun 24,978 cities

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Σχεδιασμός διαδρομής σχολικών λεωφορείων για να παραλαμβάνουν τους μαθητές: με ιστορική σημασία για την εξέλιξη του TSP, αφού αποτέλεσε κίνητρο για τον Merrill Flood, πρωτοπόρο στη σχετική έρευνα τη δεκαετία του 1940 Μεταφορά εξοπλισμού αγροκτημάτων μεταξύ περιοχών (πάλι κατά τη δεκαετία του 1940): οδήγησε σε μαθηματικές μελέτες από τους P. C. Mahalanobis and R. J. Jessen Πιο σύγχρονες εφαρμογές: χρονοδρομολόγηση τηλεφωνημάτων για εξυπηρέτηση σε εταιρείας επικοινωνιών και μεταφοράς γευμάτων σε άτομα που μένουν στο σπίτι, τη δρομολόγηση φορτηγών για την παραλαβή δεμάτων, κτλ Η απλότητα του μοντέλου έχει οδηγήσει σε εφαρμογές σε πολλούς άλλους τομείς Προγραμματισμός τρυπανιού για πλακέτες κυκλωμάτων: οι τρύπες που πρέπει να γίνουν είναι οι πόλεις και το κόστος ταξιδιού είναι ο χρόνος που χρειάζεται το τρυπάνι για να μεταφερθεί μεταξύ των οπών Πιο σύγχρονες εφαρμογές του TSP παρουσιάζονται στη συνέχεια…

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Γονιδιώματα (Genomes) Έλεγχος ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Scan Chains) Πόλεις: τμήματα γονιδιωμάτων – Κόστος ταξιδιού: πιθανότητα τμήματα να είναι γειτονικά Starlight DNA

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Scan chains: διαδρομές σε ολοκληρωμένα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται για έλεγχο και πρέπει να έχουν ελάχιστο μήκος για αποφυγή σπατάλης χρόνου και ισχύος Γονιδιώματα (Genomes) Έλεγχος ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Scan Chains) Starlight DNA

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Γονιδιώματα (Genomes) Έλεγχος ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Scan Chains) Πόλεις: ουράνια σώματα προς φωτογράφηση – Κόστος ταξιδιού: ποσό καυσίμου που πρέπει να καταναλωθεί για επανατοποθέτηση των 2 δορυφόρων που εκτελούν τη φωτογράφηση Starlight DNA

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Συλλογές ακολουθιών DNA μεγέθους k ενσωματώνονται σε μία ενιαία ακολουθία. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του μεγέθους της τελικής ακολουθίας. Πόλεις: ακολουθίες μεγέθους k – κόστος ταξιδιού: k-μέγιστη επικάλυψη των ακολουθιών μεγέθους k Γονιδιώματα (Genomes) Έλεγχος ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Scan Chains) Starlight DNA

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Whizzkids Baseball Συλλογή κερμάτων Στόχος ήταν η εύρεση βέλτιστης συλλογής διαδρομών για 4 νέους που μοίραζαν εφημερίδες σε 120 πελάτες. Η ομάδα των David Applegate, William Cook, Sanjeeb Dash και Andre Rohe έλαβε βραβείο $5,000 για τη λύση της το Φεβρουάριο του 2001. Airport Tours

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Whizzkids Baseball Συλλογή κερμάτων Ένας φίλαθλος του baseball βρήκε τη βέλτιστη διαδρομή για να επισκεφθεί 30 πάρκα Baseball ομάδων της Α Εθνικής Κατηγορίας των ΗΠΑ. Airport Tours

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Whizzkids Baseball Συλλογή κερμάτων Παλιά εφαρμογή του TSP για πρόγραμμα συλλογής νομισμάτων από τηλέφωνα με κερματοδέκτες σε δοσμένη περιοχή: είναι μη συμμετρική εκδοχή (υπάρχουν μονόδρομοι, και άλλοι οδικοί περιορισμοί) Airport Tours

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Whizzkids Baseball Συλλογή κερμάτων web site για την εύρεση συντομότερων διαδρομών μεταξύ επιλεγμένων αεροδρομίων παγκοσμίως Airport Tours

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Ταξίδι στις ΗΠΑ Καλώδια μεταφοράς ισχύος Σχεδιασμός ταξιδιωτικού δρομολογίου για στέλεχος μη κερδοσκοπικού οργανισμού. Το ταξίδι περιλάμβανε ιδιωτικό αεροπλάνο για επίσκεψη 48 πολιτειών και της Washington, D.C. Οπτικοί δακτύλιοι (SONET) rings)

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Ταξίδι στις ΗΠΑ Καλώδια μεταφοράς ισχύος Εντοπισμός καλωδίων για μεταφορά ηλεκτρικού ρεύματος σε συσκευές που σχετίζονταν με οικιακές συνδέσεις οπτικών ινών. Οπτικοί δακτύλιοι (SONET) rings)

Εφαρμογές του προβλήματος TSP Ταξίδι στις ΗΠΑ Καλώδια μεταφοράς ισχύος Σχεδιασμός δικτύων οπτικών ινών της Bell Communications Research (που ονομάζεται πλέον Telcordia). Οπτικοί δακτύλιοι (SONET) rings)

Λύση του προβλήματος TSP Ζητούμενο είναι η βέλτιστη διαδρομή μεταξύ συγκεκριμένου συνόλου πόλεων Η λύση ενός στιγμιοτύπου του προβλήματος συνίσταται στην εύρεση συντομότερης διαδρομής (απλούστερο) και στη διαπίστωση ότι δεν υπάρχει καλύτερη διαδρομή (δυσκολότερο)

Κάτω φράγματα για το TSP: πιστοποίηση της ποιότητας των διαδρομών Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη του ότι δεν υπάρχει καλύτερη διαδρομή, όπως οι: Geometric lower bounds with control zones Subtour elimination The cutting-plane method Local cuts Branch-and-cut Accuracy of computations Για τη διαπίστωση ότι η διαδρομή στις πόλεις της Σουηδίας ήταν βέλτιστη χρειάστηκαν 84.8 CPU χρόνια …

Λύσεις-προσεγγίσεις Αναλύουμε μία μέθοδο για λύση του TSP ώστε να επιτύχουμε μια εγγύηση ότι απαιτεί χρόνο το πολύ f(n) για επίλυση κάθε στιγμιοτύπου του TSP με n πόλεις Είναι εύκολο να αναπτυχθούν λύσεις με εγγύηση ανάλογη με το (n-1)!  = n-1 x n-2 x n-3 x. . . x 3 x 2 x 1  αφού ο συνολικός αριθμός διαδρομών με n πόλεις είναι (n-1)!/2 Καλύτερο αποτέλεσμα παρουσιάστηκε το 1962 από τους Michael Held και Richard Karp, οι οποίοι έδωσαν σχετικό αλγόριθμο και εγγύηση ότι απαιτεί χρόνο ανάλογο με n2 2n, δηλ., n x n x 2 x 2 x 2 x ... x 2, n είναι το πλήθος των 2 στο γινόμενο για μεγάλες τιμές του n ο αλγόριθμος των Held-Karp εγγυάται χρόνο πολύ μικρότερο του (n-1)! Το πρόβλημα είναι υπολογιστικά δύσκολο και με τα παρόντα θεωρητικά δεδομένα δε μπορεί να υπάρξει αλγόριθμος που να λύνει γρήγορα κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος Το μόνο που μπορεί να γίνει γρήγορα είναι αν δοθεί πιθανή λύση στιγμιοτύπου του TSP να διαπιστωθεί ότι είναι πράγματι λύση Αν και δε μπορεί να βρεθεί βέλτιστη λύση για τη γενική εκδοχή του προβλήματος, χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές λύσεις που υπολογίζουν σχετικά γρήγορα καλές (αλλά όχι) βέλτιστες λύσεις…

Λύσεις-προσεγγίσεις: παράδειγμα Έστω ότι ένας έμπορος πρέπει να επισκεφτεί οδικώς n πόλεις Tο δρομολόγιο του πρέπει να ακολουθεί ορισμένους κανόνες: θα φροντίσει η διαδρομή να  μην περνάει δυο φορές από την ίδια πόλη και η κατανάλωση καυσίμου  να είναι η ελάχιστη, άρα να είναι ελάχιστο και το συνολικό μήκος της διαδρομής Φανταστείτε ότι έχουμε 5 πόλεις Αθήνα, Αλεξανδρούπολη, Θεσσαλονίκη, Κιλκίς, Λαμία και τις αποστάσεις των πόλεων σε ένα γράφημα

Λύσεις-προσεγγίσεις: παράδειγμα Αν θέλει να αποφασίσει ποιο δρομολόγιο είναι το καλύτερο είναι αναγκασμένος να βρει όλες τις δυνατές διαδρομές και να αθροίσει τις αποστάσεις Το μόνο που έχει να κάνει είναι να σχεδιάσει  4!/2  διαδρομές ( 4!=1x2x3x4) και να υπολογίσει 12 αθροίσματα. Το ελάχιστο άθροισμα αποτελεί και την καλύτερη διαδρομή Δυστυχώς, αν το πλήθος των πόλεων αυξηθεί τότε η κατάσταση  για τον πωλητή δυσκολεύει δραματικά Αν οι πόλεις που έπρεπε  να επισκεφτεί ήταν  30 τότε  θα απαιτούνταν να υπολογίσει 4420880996869850977271808000000  διαφορετικά αθροίσματα Για n πόλεις το πλήθος των αθροισμάτων είναι (n-1)!/2 ( οπού n!=1x2x3x..x(n-1)xn και n! διαβάζετε n παραγοντικό) Το πρόβλημα είναι ανοικτό παρόλο που υπάρχει ένας αλγόριθμος για την λύση του: συγκρίνουμε το μήκος όλων των πιθανών διαδρομών και επιλέγουμε την πιο σύντομη Πρακτικά βεβαία είναι ανεφάρμοστος για μεγάλο αριθμό πόλεων ακόμα και με την χρήση υπολογιστών Το ερώτημα είναι: υπάρχει αλγόριθμος να επιλύει το πρόβλημα σε πολυωνυμικό χρόνο, σε χρόνο δηλαδή που να κάνει την εφαρμογή του αλγορίθμου εκτελέσιμη και όχι να απαιτούνται εκατοντάδες χρόνια;

Λύσεις-προσεγγίσεις Έχουν προταθεί σχετικά καλοί προσεγγιστικοί αλγόριθμοι για ειδικές περιπτώσεις του TSP, όπως, π.χ.: Αλγόριθμος του Χριστοφίδη για συμμετρικά στιγμιότυπα του TSP που οι ακμές ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα (με λόγο προσέγγισης 3/2) Για μη συμμετρικά στιγμιότυπα, ο καλύτερος γνωστός αλγόριθμος πετυχαίνει λόγο προσέγγισης 0.814logn

Παιχνίδια TSP Διαθέσιμα στη διεύθυνση: http://www. tsp. gatech Το πρώτο παιχνίδι προκαλεί τον παίκτη να βρει τη βέλτιστη διαδρομή μεταξύ συνόλων πόλεων που έχουν παραχθεί τυχαία. Είναι σχετικά εύκολο να βρεθεί καλή διαδρομή και με εξάσκηση ο παίκτης μαθαίνει να βρίσκει καλύτερες διαδρομές, αλλά συχνά δεν είναι προφανές ποια από τις πολλές καλές διαδρομές είναι στ’ αλήθεια η βέλτιστη. Το δεύτερο παιχνίδι απαιτεί 2 παίκτες που συναγωνίζονται. Στόχος είναι να βρεθεί μια διαδρομή περιοδεύοντος πωλητή. Αφού επιλέξει τη διαδρομή του ο ένας παίκτης, ο δεύτερος μπορεί να συνεχίσει με τη δική του διαδρομή εφόσον υπάρχει διαθέσιμος χρόνος. Το παιχνίδι επιβραβεύει παίκτες που βρίσκουν καλές διαδρομές γρήγορα, αλλά αν ο αργότερος παίκτης επιλέξει καλύτερη διαδρομή στο χρόνο που του δίνεται μπορεί να είναι ο νικητής. Κάντε click στα εικονίδια για να δοκιμάσετε

Σχεδιασμός ταξιδιού με χρήση Google Maps http://www.tsp.gatech.edu/maps/index.html - Plan a trip

Οι μέλισσες κάνουν μαθηματικούς υπολογισμούς πιο γρήγορα και από υπολογιστή 25 Οκτωβρίου 2012 – in.gr http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=1231064798 Οι ερευνητές του πανεπιστημίου του Λονδίνου (Royal Holloway), υπό τον δρα Νάιτζελ Ρέιν της Σχολής Βιολογικών Επιστημών, δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο αμερικανικό περιοδικό οικολογίας και βιολογίας The American Naturalist. Σύμφωνα με τις βρετανικές εφημερίδες Guardian και Independent, οι επιστήμονες διαπίστωσαν ότι οι μέλισσες μαθαίνουν να πετούν ακολουθώντας τη συντομότερη δυνατή διαδρομή ανάμεσα στα λουλούδια που έχουν προηγουμένως ανακαλύψει με τυχαία σειρά, με τον τρόπο αυτό ουσιαστικά «λύνοντας» το λεγόμενο «πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή», ένα διάσημο και δυσεπίλυτο γρίφο στον χώρο των οικονομικών και των μαθηματικών.

December 20, 1998 http://www.tsp.gatech.edu/gallery/igraphics/santa.html