ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ Χ. ΔΙΔΑΣΚΟΜΕΝΕΣ: ΜΑΥΡΙΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ 4054 ΛΙΟΥΛΙΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 4047 ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Μαγικό τετράγωνο είναι μια τετραγωνική ορθογώνια διάταξη θετικών ακέραιων αριθμών, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι το ίδιο. Αν το μαγικό τετράγωνο περιέχει καθέναν από τους θετικούς διαδοχικούς ακεραίους αριθμούς από το 1 μέχρι το ν 2 ακριβώς μια φορά, τότε αυτό καλείται κανονικό (κλασικό) μαγικό τετράγωνο βαθμού ν. Μαγικά τετράγωνα μπορούν να κατασκευαστούν για κάθε ακέραιο αριθμό ν > 2 και δεν υπάρχει κανένα μαγικό τετράγωνο για ν = 2 . Αν ένα μαγικό τετράγωνο έχει ν γραμμές και ν στήλες, τότε λέμε ότι έχει τάξη ν. Το πλήθος των αριθμών του τετραγώνου τάξης ν είναι ν 2. Για κάθε φυσικό αριθμό ν με ν ≥ 3 υπάρχει μόνο ένα μαγικό άθροισμα S , το οποίο δίνεται από τον τύπο: S= ½ ∙ ν ∙ (ν 2+ 1)

ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Τα μαγικά τετράγωνα έχουν μια πλούσια ιστορία που ξεκινάει γύρω στο 2200 π.Χ. Ένας κινέζικος μύθος ισχυρίζεται πως καθώς ο κινέζος αυτοκράτορας Yu περπατούσε κατά μήκος του Κίτρινου Ποταμού, παρατήρησε μια χελώνα με ένα ξεχωριστό διάγραμμα στο καβούκι της. Ο αυτοκράτορας αποφάσισε να ονομάσει το ασυνήθιστο αυτό αριθμητικό μοτίβο lo shu. Ωστόσο, το πρώτο μαγικό τετράγωνο που έχει καταγραφεί εμφανίστηκε στο βιβλίο του πρώτου αιώνα Da-Dai Liji.

ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ο ALBRECHT DURER δημιουργεί αυτό το τετράγωνο το 1514. Το Α του ονόματός του είναι το 1ο γράμμα του αλφαβήτου. Επίσης υλοποίησε το έργο σε ηλικία 43 ετών δηλαδή στον αριθμό που προκύπτει αν αντιστρέψουμε τα ψηφία του αριθμού 34.

ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΑΙ ΟΙ ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ (3Χ3)=ΓΑΙΑΣ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΑΙ ΟΙ ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ (3Χ3)=ΓΑΙΑΣ Το τετράγωνο της ΓΑΙΑΣ (3Χ3) έχει άθροισμα κάθε στήλης, γραμμής αλλά και διαγωνίου τον αριθμό 15....δηλαδή: (9Χ10):2=45....και 45:3=15.

ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ (4Χ4)=ΔΙΟΣ Το τετράγωνο του ΔΙΟΣ (4Χ4) έχει άθροισμα κάθε στήλης, γραμμής αλλά και διαγωνίου τον αριθμό 34....δηλαδή: (16Χ17):2=136....και 136:4=34.

ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ (7Χ7)=ΑΦΡΟΔΙΤΗΣ Το τετράγωνο της ΑΦΡΟΔΙΤΗΣ (7Χ7) έχει άθροισμα κάθε στήλης, γραμμής αλλά και διαγωνίου τον αριθμό 175...δηλαδή: (49Χ50):2=1225....και 1225 :7=175.

ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Στην Α΄ τάξη υπάρχει μία άσκηση στην οποία οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν τι συμβαίνει με τα αθροίσματα των αριθμών του ‘μαγικού τετραγώνου’ κάθε σειράς, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου. Στη Β΄ τάξη δεν συναντάται ο όρος ‘μαγικά τετράγωνα’. Υπάρχουν ωστόσο πίνακες 3 Χ 3 με 4 ή 5 αριθμούς, τους οποίους οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών οριζόντια ή κάθετα, όχι όμως και διαγώνια, να είναι το ίδιο (σε κάθε στήλη και κάθε σειρά). Στη Γ΄ τάξη παρουσιάζεται στους μαθητές το μαγικό τετράγωνο 3 Χ 3 με μαγικό άθροισμα 1.000.000 στο οποίο δίνονται 4 αριθμοί, όμως τα αθροίσματά τους διαγώνια δεν είναι το ένα εκατομμύριο.

Στην Ε΄ τάξη οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν δύο μαγικά τετράγωνα 3 Χ 3, καθένα από τα οποία έχει τρεις αριθμούς. Στο πρώτο μαγικό τετράγωνο οι αριθμοί είναι δεκαδικοί, και το άθροισμα οριζόντια, κάθετα και διαγώνια είναι 1,5. Στο δεύτερο μαγικό τετράγωνο οι αριθμοί είναι κλασματικοί, και το άθροισμά τους οριζόντια, κάθετα και διαγώνια είναι 0,15. Στη Στ΄ τάξη στους μαθητές αναφέρεται ότι το μαγικό τετράγωνο είναι αυτό στο οποίο το άθροισμα κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι το ίδιο.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ http://diogeneis.blogspot.gr/2013/03/1.html http://www.mathlab.upatras.gr/wp-content/uploads/2013/09/%CE%95%CF%81%CE%B3%CE%B1%CF%83%CE%AF%CE%B1-%CE%A4%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CF%84%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%B1.pdf http://slideplayer.gr/slide/2965783/ http://www.elliepek.gr/documents/6o_synedrio_eisigiseis/Mparalhs_magika-tetragwna.pdf Wikipedia - Google