Η αίσθηση των αριθμών: Νοεροί υπολογισμοί και εκτιμήσεις Χ. Λεμονίδης Ιούνιος 2016

Περιεχόμενα Τι είναι ο νοερός υπολογισμός και εκτίμηση; Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Αίσθηση του αριθμού. Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς. Αίσθηση του αριθμού, οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση Στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20.

Τι είναι ο νοερός υπολογισμός και εκτίμηση; «Νοερός υπολογισμός είναι ο υπολογισμός που πραγματοποιείται νοερά και με τη χρήση στρατηγικών. Παράγει μια ακριβή απάντηση. Πραγματοποιείται συνήθως χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων όπως χαρτί και μολύβι, αν και μπορεί να χρησιμοποιείται το χαρτί και το μολύβι, για «σύντομες σημειώσεις» που υποστηρίζουν τη μνήμη.» mental computation ή mental calculation ή mental arithmetic (νοερή αριθμητική), mental maths (νοερά μαθηματικά) λογαριασμός αντί του υπολογισμός

Τι είναι ο νοερός υπολογισμός και εκτίμηση; Σύμφωνα με τον Sowder (1988) «εκτίμηση είναι η διαδικασία μετατροπής αριθμών από ακριβείς σε προσεγγιστικούς και ο νοερός υπολογισμός με αυτούς τους αριθμούς, για να ληφθεί μια απάντηση η οποία είναι αρκετά κοντά στο αποτέλεσμα του ακριβούς υπολογισμού». Η εκτίμηση είναι κάτι περισσότερο από τον νοερό υπολογισμό και τον περιλαμβάνει. Επομένως, νοερός υπολογισμός είναι η διαδικασία διεξαγωγής αριθμητικών πράξεων, για να επιτευχθεί είτε μια ακριβής απάντηση (στην περίπτωση αυτή απαιτείται νοερός υπολογισμός) είτε μια κατά προσέγγιση απάντηση (στην περίπτωση αυτή απαιτείται υπολογιστική εκτίμηση) (Maclellan, 2001).

Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Α. Η χρησιμότητα και η εφαρμογή τους στην πράξη: Χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή και μάλιστα περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. Β. Η συμβολή τους σε άλλες μαθηματικές έννοιες: H εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού. Bοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Αποτελούν την βάση για να αναπτυχθούν οι ικανότητες των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών. H νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων.

Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Γ. Η συμβολή τους σε γνωστικές ικανότητες: Με τους νοερούς υπολογισμούς εξασκείται η ικανότητα αναπαράστασης και χρήσης αφηρημένων εννοιών στη βραχύχρονη μνήμη, ασκείται επίσης και η ικανότητα της ευελιξίας. Ασκείται, τέλος και η μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών, όταν αυτοί παρουσιάζουν τους τρόπους με τους οποίους υπολόγισαν.

Αίσθηση του αριθμού Μισός αιώνας από τότε που οριοθετήθηκε η έννοια της αίσθησης του αριθμού (Dantzing, 1954) “H αίσθηση του αριθμού αναφέρεται στη γενική κατανόηση ενός ατόμου για τους αριθμούς και τις πράξεις καθώς και στην ικανότητα και την κλίση του να χρησιμοποιεί αυτή την κατανόηση με ευέλικτους τρόπους για να κάνει μαθηματικές κρίσεις και να αναπτύσσει χρήσιμες στρατηγικές για το χειρισμό των αριθμών και των πράξεων.” (McIntosh, et al., 1992, σελ. 3). Οι McIntosh, et al., (1992) και Dunphy (2007) αναφέρονται στην αντικατάσταση του όρου ‘Αριθμητισμός’ από τον όρο ‘Αίσθηση τους αριθμού’.

Αίσθηση του αριθμού Οι Kalchman, Moss, & Case (2001) σημειώνουν ότι: τα χαρακτηριστικά της καλής αίσθησης του αριθμού περιλαμβάνουν: α) ευχέρεια στην εκτίμηση και την κρίση των μεγεθών, β) ικανότητα αναγνώρισης παράλογων αποτελεσμάτων, γ) ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς, δ) ικανότητα κίνησης μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων και χρήση της πιο κατάλληλης αναπαράστασης. (σελ. 2).

Αίσθηση του αριθμού Ο Dunphy, (2007) συνοψίζει μια επισκόπηση της βιβλιογραφίας σχετικά με την αίσθηση του αριθμού την οποία χαρακτηρίζει ως εξής: είναι μια ολιστική κατασκευή που είναι δύσκολο να οριστεί. αφορά την ανάπτυξη ενός ευρέως φάσματος κατανόησης, ικανοτήτων και στάσεων σχετικά με τον αριθμό που επεκτείνεται πέρα από εκείνο που σχετίζεται γενικά με τον αριθμητισμό και καλύπτει τις καθημερινές χρήσεις. εκδηλώνεται με την ικανότητα να σκέφτεται κάποιος με ευελιξία σχετικά με τον αριθμό. είναι στενά συνδεδεμένη με την ανάπτυξη της αριθμητικής παράθεσης. αναπτύσσεται ως αποτέλεσμα της συμμετοχής σε καθημερινές εμπειρίες με και για τον αριθμό. (σελ. 11).

Αίσθηση του αριθμού Σύμφωνα με τα παραπάνω παρατηρούμε ότι οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις είναι ένα υποσύνολο της αίσθησης του αριθμού και εμπεριέχονται σε αυτήν. Οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις συνδέονται και εξαρτώνται άμεσα από την αίσθηση του αριθμού. Εξάλλου, όπως είδαμε παραπάνω, ανάμεσα στους λόγους για τους οποίους είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί συμπεριλαμβάνεται και το ότι: «η εξάσκηση με τους νοερούς υπολογισμούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού».

Αίσθηση του αριθμού Προφανώς η αίσθηση του αριθμού προσδιορίζεται διαφορετικά ανάλογα με την ηλικία και τις γνώσεις που διαθέτουν τα παιδιά στις διάφορες ηλικίες. Έτσι, η αίσθηση του αριθμού σε πολύ μικρά παιδιά μπορεί να εμφανίζεται διαφορετικά από εκείνη των μεγαλύτερων σε ηλικία μαθητών (Carpenter, 1989, Dunphy, 2007). Οι McIntosh, et al. (1992, p. 3) δηλώνουν ότι η απόκτηση της αίσθησης του αριθμού είναι μια προοδευτική, εξελικτική διαδικασία και αρχίζει να αναπτύσσεται πολύ πριν από την επίσημη εκπαίδευση.

Αίσθηση του αριθμού Ποια είναι τα συστατικά της αίσθησης του αριθμού; Οι McIntosh, et al., (1992) καθορίζουν ένα γενικό πλαίσιο για την αίσθηση του αριθμού με τρεις βασικούς τομείς: Γνώση και ευκολία με τους αριθμούς: 1.1. Αίσθηση της διάταξης των αριθμών. 1.2. Πολλαπλές αναπαραστάσεις των αριθμών. 1.3. Αίσθηση του σχετικού και απόλυτου μεγέθους των αριθμών. 1.4. Σύστημα σημείων αναφοράς. 2. Γνώση και ευκολία με τις πράξεις: 2.1. Κατανόηση της επίδρασης των πράξεων. 2.2. Κατανόηση των μαθηματικών ιδιοτήτων. 2.3. Κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των πράξεων.

Ποια είναι τα συστατικά της αίσθησης του αριθμού; Αίσθηση του αριθμού Ποια είναι τα συστατικά της αίσθησης του αριθμού; Εφαρμογή της γνώσης και ευκολία με τους αριθμούς και τις πράξεις σε υπολογιστικές συνθέσεις: 3.1. Κατανόηση της σχέσης μεταξύ του πλαισίου του προβλήματος και των απαραίτητων υπολογισμών. 3.2. Αναγνώριση ότι υπάρχουν πολλαπλές στρατηγικές. 3.3. Κλίση να χρησιμοποιούν μια αποτελεσματική αναπαράσταση ή / και μέθοδο. 3.4. Κλίση για να επανεξετάσουν τα δεδομένα και τα αποτελέσματα από ευαισθησία. (σελ. 4). Όσον αφορά την αίσθηση του αριθμού η Anghileri (2000, σελ. 2) δηλώνει ότι ‘Αναφέρεται όχι μόνο στην ανάπτυξη της κατανόησης αλλά και στην καλλιέργεια μιας θετικής στάσης και εμπιστοσύνης που λείπει από τα περισσότερα παλιά προγράμματα σπουδών’.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Ο Skemp (1976) διαχώρισε και αντιπαρέβαλε την εννοιολογική (relational) κατανόηση με την εργαλειακή (instrumental) κατανόηση. Σύμφωνα με αυτόν η εννοιολογική κατανόηση βασίζεται στην κατανόηση των εννοιών και στην αλληλοσύνδεσή τους, έτσι ώστε ο μαθητής να ξέρει τι κάνει και γιατί το κάνει χωρίς να στηρίζεται απλώς σε εφαρμογή κανόνων (κανόνων χωρίς λόγο). Στην εργαλειακή κατανόηση ο μαθητής εφαρμόζει μηχανικά, κατά κάποιον τρόπο, μια αλγοριθμική διαδικασία.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Οι Hiebert & Wearne (1996) ανέπτυξαν μια θεωρία σχετικά με την επιρροή και την αλληλεπίδραση της εννοιολογικής κατανόησης στις διαδικαστικές ικανότητες. Οι Hiebert & Wearne υποστηρίζουν ότι μαθητές με κατάλληλη κατανόηση έχουν μεγαλύτερο πλεονέκτημα σε οποιουδήποτε είδους πληροφορίες, επειδή διαθέτουν την νοητική δομή που μπορεί να ταξινομήσει και να αποδώσει νόημα στις πληροφορίες. Οι διαδικασίες που υιοθετούνται μπορεί να συνδεθούν με τη σχετική γνώση των μαθητών και να κατανοηθούν.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Οι παραπάνω συγγραφείς δηλώνουν ότι μαθητές που παρουσιάζουν εννοιολογική κατανόηση είναι πιο πιθανό να αναπτύσσουν νέες κατάλληλες διαδικασίες και να προσαρμόζουν τις διαδικασίες που μαθαίνουν σε νέες καταστάσεις καλύτερα από τους συμμαθητές τους. Είναι πιθανό, επίσης, οι μαθητές που καταλαβαίνουν να αποκτούν τις διαδικασίες που παρουσιάζονται από τους άλλους με περισσότερη κατανόηση και πιθανά να τις θυμούνται καλύτερα.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Οι McIntosh et al. (1994), με βάση τους όρους του Skemp (1976) που είδαμε παραπάνω, διαχώρισαν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στις πράξεις, σε εργαλειακές ή συντελεστικές (instrumental) και εννοιολογικές (conceptual). Τον διαχωρισμό αυτό τον χρησιμοποίησαν οι ερευνητές (π.χ. Callingham, & Watson, 2008; Yang, Reys & Reys, 2009), για να κατατάξουν τις στρατηγικές των μαθητών σε διαδικαστικές ή βασισμένες στον αλγόριθμο και εννοιολογικές ή βασισμένες στην αίσθηση του αριθμού στρατηγικές.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Διαδικαστικές ή βασισμένες στον αλγόριθμο χαρακτηρίζονται οι στρατηγικές όταν οι μαθητές χρησιμοποιούν τεχνικές που τις μαθαίνουν «απ’ έξω» και τις χρησιμοποιούν χωρίς να δείχνουν ότι κατανοούν αυτό που κάνουν. Για παράδειγμα, στην πράξη 1/2: 1/4 οι μαθητές εφαρμόζουν την τεχνική κατά την οποία αντιστρέφουν και πολλαπλασιάζουν με το δεύτερο κλάσμα: 1/2:1/4=1/2.4/1 =4/2=2.

Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Αντίθετα, χαρακτηρίζονται εννοιολογικές ή βασισμένες στην αίσθηση του αριθμού στρατηγικές αυτές κατά τις οποίες φαίνεται ότι οι μαθητές κατανοούν αυτό που κάνουν όταν εκτελούν τις πράξεις. Για παράδειγμα, στην πράξη 1/2:1/4 οι μαθητές αναπαριστούν τα κλάσματα σ’ ένα ρολόι και βλέπουν το 1/2 σαν μισή ώρα και το1/4 σαν τέταρτο της ώρας. Σκέφτονται ότι η μισή ώρα έχει 2 τέταρτα και έτσι δίνουν την απάντηση 2 στην πράξη. Μια ακόμη εννοιολογική λύση θα ήταν η μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς: 1/2:1/4=0,5:0,25, το 0,25 χωράει 2 φορές στο 0,5.

Η αίσθηση του αριθμού και οι νοεροί υπολογισμοί Από την επισκόπηση της βιβλιογραφίας φαίνεται πως ο νοερός υπολογισμός επηρεάζεται και συσχετίζεται με αρκετές ικανότητες και συστατικά της αίσθησης του αριθμού όπως: την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και των ιδιοτήτων του, τη δομή του αριθμού και των ιδιοτήτων του, τη χρήση των διάφορων αναπαραστάσεων του αριθμού, τη γνώση των αριθμητικών γεγονότων και την ευελιξία.

Η αίσθηση του αριθμού και οι νοεροί υπολογισμοί Η Reys, Β. (1985) δηλώνει ότι ο «νοερός υπολογισμός καλλιεργεί την ανάπτυξη της έντονης αίσθησης του αριθμού» (σελ. 46). Επιπλέον, ο Reys, R. (1984) πιστεύει ότι ο νοερός υπολογισμός «προωθεί τη μεγαλύτερη κατανόηση της δομής του αριθμού και των ιδιοτήτων του» και «προάγει τη δημιουργική και ανεξάρτητη σκέψη και ενθαρρύνει τους μαθητές στο να δημιουργούν έξυπνους τρόπους χειρισμού των αριθμών» (σελ. 549). Η γνώση των αριθμητικών γεγονότων είναι μια από τις ικανότητες της αίσθησης του αριθμού που συνδέεται στενά με τους νοερούς υπολογισμούς. Η γνώση των βασικών αριθμητικών γεγονότων είναι προϋπόθεση για τους νοερούς υπολογισμούς και γενικά για τις αριθμητικές διαδικασίες

Η αίσθηση του αριθμού και η εκτίμηση Η Sowder (1992) αναφέρει χαρακτηριστικά: «Τι συμβαίνει με αυτούς που συμπεριφέρονται φτωχά σε καταστάσεις εκτίμησης και νοερού υπολογισμού; Εάν η Resnick έχει δίκαιο, τότε πρέπει να διαμορφώσουμε τη διδασκαλία έτσι ώστε να αποκτήσουν σημασία τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά. Η διδασκαλία μπορεί να βοηθήσει και να αναπτύξει την ποσοτική διαίσθηση, εάν επιτρέπει και ενθαρρύνει την ανακάλυψη των αλγορίθμων, εάν προωθεί την αμφισβήτηση σχετικά με το πώς οι αριθμοί μπορούν να αποσυνθέτονται και να ανασυνθέτονται και πώς οι έννοιες της θεσιακής αξίας μπορούν να εφαρμόζονται, εάν επιτρέπει τις πολλαπλές απαντήσεις και διαδικασίες και ζητά σκέψη σχετικά με τη λογικότητα. Η εκτίμηση και ο νοερός υπολογισμός δεν είναι μόνο χρήσιμα εργαλεία στην καθημερινή ζωή, αλλά μπορούν επίσης να οδηγήσουν στην καλύτερη αίσθηση του αριθμού» (σελ. 382).

Οι στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20 1ο επίπεδο. Στρατηγικές με υλικά ή αισθητοποίησης των αριθμών. Σε αυτό το πρώτο επίπεδο τα παιδιά έχουν ανάγκη από την αισθητοποίηση των αριθμών για να πραγματοποιήσουν τις πράξεις. Χρησιμοποιούν δηλαδή αντικείμενα ή τα δάκτυλά τους για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο της πράξης της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης που τους δίνεται. Για παράδειγμα στην πρόσθεση 2+3, το παιδί βγάζει και μετράει ένα προς ένα δύο δάχτυλα, στη συνέχεια βγάζει και μετράει άλλα τρία δάχτυλα και στο τέλος μετράει, ένα προς ένα, από την αρχή όλα τα δάχτυλα που έβγαλε για να βρει το αποτέλεσμα. Αυτή τη στρατηγική την ονομάζουμε απαρίθμηση όλων ή επαναρίθμηση.

Οι στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20 2ο επίπεδο. Στρατηγικές αρίθμησης. Στο επίπεδο αυτό τα παιδιά για να υπολογίσουν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις χρησιμοποιούν την ακολουθία των αριθμών (αριθμογραμμή) σε αντίθεση με το προηγούμενο επίπεδο κατά το οποίο απαριθμούσαν μόνο αντικείμενα. Γιαυτόν τον λόγο τις στρατηγικές αυτές τις ονομάζουμε στρατηγικές αρίθμησης. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 2+5, τα παιδιά μπορεί να αριθμήσουν ένα προς ένα τόσα βήματα όσα δείχνουν οι αριθμοί της πράξης ξεκινώντας από τον πρώτο αριθμό 1, 2, … 3, 4, 5, 6, 7 (Αρίθμηση από τον πρώτο όρο). Υπάρχουν και άλλες στρατηγικές αρίθμησης τις οποίες παρουσιάζουμε λεπτομερώς παρακάτω.

Οι στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20 3ο επίπεδο. Στρατηγικές ανάκλησης ή κατασκευαστικές στρατηγικές. Στο επίπεδο αυτό τα παιδιά ανακαλούν από τη μνήμη τους γνωστά αριθμητικά γεγονότα και τα επεξεργάζονται νοερά για να υπολογίσουν κάποια άλλα. Για παράδειγμα, την πρόσθεση 5+6, κάποια παιδιά μπορεί να την υπολογίσουν ως εξής: 5+5+1=11, ανακάλεσαν από την μνήμη τους τα γνωστά αριθμητικά γεγονότα: 6=5+1 και 5+5=10. Στο επίπεδο αυτό διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις στρατηγικών: Στρατηγικές άμεσης ανάκλησης, κατά τις οποίες το παιδί σε μια πράξη, για παράδειγμα 3+3, γνωρίζει το αποτέλεσμα απέξω. Έχουμε, επίσης, τις κατασκευαστικές στρατηγικές ή παραγωγής πράξεων κατά τις οποίες το παιδί, για να βρει το αποτέλεσμα μιας πράξης, ανακαλεί από τη μνήμη του γνωστά αριθμητικά γεγονότα και με αυτά κατασκευάζει την απάντηση.