Η ερευνά μας για το άπειρο

Μεθοδολογία της έρευνας Δείγμα: 50 μαθητές Ηλικία: 15 – 18 ετών Φύλο: 30 κορίτσια, 20 αγόρια Το δείγμα μαθητών είναι μαθητές του Βαρβακείου Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου

S = 1 - 1 + 1 – 1 +… A: S = 0 επειδή S=(1–1)+(1-1)+…=0+0+…=0 B: S = 1 επειδή S=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1 Γ: S = 1 – (1-1+1-1+…) Δηλαδή S=1-S. Άρα 2S=1 και S=1/2

Τι εκφράζει η παράσταση 0,3999… Α: Εκφράζει μια διαδικασία που τείνει στο 0,4 Β: Εκφράζει έναν αριθμό που τείνει στο 0,4 Γ: Εκφράζει τον αμέσως προηγούμενο του 0,4 αριθμό Δ: Είναι ίση με το άθροισμα 0,3+0,09+0,009+… και επειδή συνεχώς αυξάνεται δεν είναι ίση με κάποιον αριθμό

Αν ένα σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Β τότε το Α έχει λιγότερα στοιχεία από το Β

Οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί Α{0,2,4,6, …} είναι λιγότεροι από τους φυσικούς αριθμούς ℕ{0, 1, 2, 3, …}

Το άθροισμα άπειρων θετικών αριθμών είναι πάντα άπειρο

Υπάρχει ο μικρότερος θετικός πραγματικός αριθμός

Συμπεράσματα της έρευνας Όπως παρατηρήσαμε, με βάση τα ερωτηματολόγια, οι μαθητές έχουν την ίδια αντίληψη για το άπειρο όπως και εμείς στην αρχή του Project. Όταν απαντήσαμε στο ίδιο ερωτηματολόγιο, είχαμε περίπου το ίδιο ποσοστό επιτυχίας. Επίσης, οι απαντήσεις ήταν σύμφωνες με την βιβλιογραφία που ήδη είχαμε μελετήσει, δηλαδή οι περισσότεροι μαθητές δεν απάντησαν σωστά.

Ζήνων ο Ελεάτης: Το άπειρο και τα παράδοξα που μελετήσαμε

Τι σημαίνει παράδοξο ; Παράδοξο γενικά χαρακτηρίζεται οτιδήποτε που αντιβαίνει στη κοινή αντίληψη, ή κάτι που συμβαίνει και θεωρείται απίστευτο. Ως ουσιαστικό σημαίνει οτιδήποτε προκαλεί έκπληξη. Στο δε πληθυντικό "παράδοξα" περιλαμβάνονται ακόμη και έννοιες του αφύσικου και μυστηριώδους.

Τα παράδοξα του Ζήνων Το παράδοξο του απείρου Το παράδοξο της κίνησης Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας Το Παράδοξο του πετώντος βέλους Το Παράδοξο της Διχοτομίας

Το παράδοξο του απείρου «Αν υπάρχουν πολλά, τότε θα είναι άπειρα. Γιατί πάντα θα υπάρχουν κι άλλα ανάμεσα στα προηγούμενα. Αν υπάρχουν άπειρα πράγματα θα είναι απείρως μικρά. Αν όμως αυτά τα απειροστά προστεθούν, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι τίποτα. Αν καθένα από αυτά κατέχει και μια θέση, τότε θα υπάρχει πάντα μια νέα θέση ανάμεσα στις προηγούμενες.» Άρα το άπειρο δεν μπορεί να υπάρχει.

Το παράδοξο της κίνησης Για να διανυθεί μια απόσταση, πρώτα πρέπει να διανυθεί η μισή, και πριν η μισή της μισής. Αυτό επεξηγείται και στο παράδοξο της διχοτομίας, το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας και το Παράδοξο του πετώντος βέλους που θα δούμε παρακάτω. Τα παράδοξα αυτά καταλήγουν στο ότι η κίνηση είναι ΑΔΥΝΑΤΗ.

Το Παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας «Ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προπορεύεται του Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα υA του Αχιλλέα είναι υA=10 m/sec και της χελώνας, υx, είναι υx=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα Χ1Χ2 =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2 =1 sec. Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα Χ2Χ3 =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3 =1/10 sec. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο.» Έτσι, κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα. Δηλαδή συμπεραίνουμε ότι η κίνηση είναι αδύνατη και ότι ο ταχύτερος δεν μπορεί να προσπεράσει έναν πιο αργό.

Το Παράδοξο του πετώντος βέλους Ας δεχτούμε ότι ένα βέλος τίθεται σε κίνηση ανάμεσα σε δύο σημεία Σ1 και Σ2 και μεταξύ των χρόνων t1 και t2.Ανάμεσα σ’ αυτά υπάρχουν πολλά σημεία Σn και αντίστοιχα κατά την κίνηση πολλά χρονικά σημεία tn με n=1,2,3,... Το σύνολο των χωρικών σημείων που καταλαμβάνει το βέλος είναι ο χώρος που ισούται προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου. Αν λοιπόν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χωρικών σημείων, απ’ αυτά που το σύνολό τους ισούται προς το διάστημα το οποίο διανύει το κινούμενο αντικείμενο και ανάλογα αν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χρονικών σημείων της διάρκειας της κίνησής του , τότε τα σημεία του αντικειμένου παρουσιάζονται ακίνητα μέσα στα χωροχρονικά αυτά σημεία.

Το Παράδοξο της Διχοτομίας «Ας υποθέσουµε ότι ένας δροµέας πρόκειται να διανύσει την απόσταση ΑΒ. Θα πρέπει πρώτα να διανύσει το µισό της απόστασης, δηλαδή ΑΒ/2. Στη συνέχεια το µισό του µισού της απόστασης, δηλαδή ΑΒ/4, οπότε µετά το δεύτερο βήµα της διαδικασίας θα έχει διανύσει συνολικά απόσταση ίση µε AB(1-1/2^2). Συνεπώς µετά από n βήµατα θα έχει διανύσει συνολικά απόσταση ίση µε ΑΒ(1-1/2^π).» Σύµφωνα µε το Ζήνωνα η διανυόμενη απόσταση θα είναι πάντοτε µικρότερη από ΑΒ, γιατί για να διανύσει ο δροµέας την πεπερασµένη απόσταση ΑΒ θα πρέπει να περάσει από ένα άπειρο πλήθος σηµείων, δηλαδή να ολοκληρώσει µια άπειρη διαδικασία, πράγµα αδύνατο. Συνεπώς και η κίνηση είναι αδύνατη.

Fractals: Μια εφαρμογή της έννοιας του απείρου

Σύνολο (σκόνη) του Cantor Αλγόριθμος κατασκευής Άρχισε με ευθ. τμήμα μήκους 1. Χώρισέ το σε τρία ίσα τμήματα. Αφαίρεσε το μεσαίο ένα τρίτο. Πήγαινε στο βήμα #2. Το μήκος που απομένει μετά από άπειρα βήματα αντιστοιχεί στο άθροισμα απείρων όρων απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου: 1/3+1/3. 2/3+1/3. (2/3)2 +1/3. (2/3)3 + … +1/3. (2/3)ν + … =1/3 : (1-2/3) =1 Το μέρος που απαλείφθηκε είναι ίσο με το συνολικό μήκος του αρχικού ευθ. τμήματος και συνεπώς αυτό που παραμένει τελικά έχει μήκος 0. Το σύνολο Cantor λοιπόν είναι ένα αξιοσημείωτο σύνολο άπειρων διακεκριμένων σημείων που γι’ αυτό το λόγο αποκαλείται και σκόνη του Cantor.

Τρίγωνο του Sierpinski Αλγόριθμος κατασκευής Άρχισε με ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. Ένωσε τα μέσα των πλευρών κάθε ισοπλεύρου τριγώνου. Αφαίρεσε το μεσαίο τρίγωνο. Πήγαινε στο βήμα #2. Το εμβαδόν που απομένει μετά από άπειρα βήματα είναι το όριο της ακολουθίας (3/4)ν που είναι 0, άρα δεν έχει απομείνει καθόλου εμβαδόν. Η δομή λοιπόν αυτή δεν είναι μια επιφάνεια, αλλά ένα σύνολο πλευρών τριγώνων.

Αλγόριθμος κατασκευής Χαλί του Sierpinski Αλγόριθμος κατασκευής Άρχισε με τετράγωνο πλευράς 1. Χώρισε την πλευρά του σε τρία ίσα μέρη και κατασκεύασε το πλέγμα του τετραγώνου. Αφαίρεσε το κεντρικό τετράγωνο. Πήγαινε στο βήμα #2. Αφαιρώντας συνεχώς το κεντρικό τετράγωνο, παίρνουμε ένα σύνολο στο επίπεδο, το οποίο περιέχει τις πλευρές όλων των τετραγώνων που έχουμε αφαιρέσει και το οποίο έχει μηδενικό εμβαδόν αφού τα όριο της ακολουθίας (8/9)ν είναι το 0.

Φράκταλ δομές και διάστασή τους Ι Ορισμός Όλα τα παραπάνω σχήματα είναι γνωστά στα μαθηματικά με τον όρο Fractals. Kάθε ένα Φράκταλ είναι διαφορετικό από τα άλλα, αλλά όλα έχουν κάτι κοινό: έναν αλγόριθμο κατασκευής (συνεχή επανάληψη μιας διαδικασίας) και την αυτο-ομοιότητα. Ένα σχήμα είναι αυτο-όμοιο αν αποτελείται από άλλα σχήματα όμοια προς αυτό (αντίγραφα του αρχικού). Είναι επομένως τα φράκταλς αυτο-όμοιες δομές που αποτελούνται από μια άπειρη ακολουθία ομοίων αντικειμένων σε συνεχή κλιμάκωση.

Φράκταλ δομές και διάστασή τους ΙΙ Διάσταση Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει ευκλείδια διάσταση 1, ένα τετράγωνο έχει διάσταση 2 ενώ ένας κύβος έχει διάσταση 3. Στο τρίγωνο του Sierprinski επειδή σε κάθε στάδιο κάθε πλευρά διαιρείται στα δύο αλλά παίρνουμε τρία αντίγραφα και όχι τέσσερα, η διάσταση D που προκύπτει είναι τέτοια ώστε 3=2D ή με χρήση λογαρίθμων D = log 3/log2 = 1,584…., δηλαδή δεν είναι ακέραιη. Αυτή είναι και η fractal ή κλασματική διάσταση του σχήματος. Ας παρατηρήσουμε ότι η διάσταση δεν είναι πάνω από 2 μιας και το τρίγωνο του Sierprinski είναι υποσύνολο του επιπέδου που έχει διάσταση 2. Επίσης είναι κάτι πιο πολύπλοκο από μία μονοδιάστατη καμπύλη (γραμμή), γι’ αυτό και έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1. Με όμοιο τρόπο υπολογίζονται οι διαστάσεις των άλλων δομών fractals: Σύνολο του Cantor: D = 0,6309 (0 < D < 1) Χαλί του Sierpinski: D = 1,8928 (1 < D < 2)

Georg Cantor: Η υπόθεση, η μέτρηση και η ιεραρχία του απείρου

Κατά τη διάρκεια της ζωής μας, έχουμε διάφορες επαφές με την έννοια του «απείρου». Ήδη από το δημοτικό, μάθαμε ότι οι αριθμοί είναι άπειροι και κάπως έτσι εγκαταλείψαμε την προσπάθεια μέτρησης μέχρι τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό. Μετά τον 9.826.829.371.816 υπάρχει ο 9.826.829.371.817. Κι όμως ο 9.826.829.371.816, είναι ένας αριθμός που φαντάζει πολύ μεγάλος, δε νομίζετε;

Στο Γυμνάσιο, είδαμε αυτή τη διαδικασία και από την αντίστροφη μεριά Στο Γυμνάσιο, είδαμε αυτή τη διαδικασία και από την αντίστροφη μεριά. Ανακαλύψαμε τους αρνητικούς αριθμούς. Οι αρνητικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του μηδενός. Το μηδέν εκφράζει την απουσία ποσότητας. Επομένως, οι αρνητικοί εκφράζουν την έλλειψη. Αδυνατώντας να εντοπίσουμε το μεγαλύτερο δυνατό αριθμό, καταλάβαμε ότι δε μπορούμε να εντοπίσουμε αντίστοιχα και τον μικρότερο δυνατό. Το -9.826.829.371.816 παραδείγματος χάρη, είναι μεγαλύτερος από το -9.826.829.371.817, αλλά μικρότερος από το -9.826.829.371.815.

Επίσης, κατατάξαμε τους αριθμούς σε σύνολα, προκειμένου να αναπαριστάμε στον άξονα κάθε φορά αριθμούς με κοινές ιδιότητες. Τα βασικά αριθμητικά σύνολα σύμφωνα με την αφελή θεωρία συνόλων του Cantor είναι: Οι φυσικοί αριθμοί Οι ακέραιοι αριθμοί Οι ρητοί αριθμοί Οι άρρητοι αριθμοί Οι πραγματικοί αριθμοί Μιγαδικοί/μη πραγματικοί αριθμοί

Εδώ λοιπόν, συναντάμε ένα πρώτο, μεγάλο παράδοξο όσον αφορά τα σύνολα. Έχουμε αποδεχτεί: ότι όλοι οι αριθμοί είναι άπειροι ότι οι φυσικοί είναι υποσύνολο των ακεραίων, των ρητών και των πραγματικών αριθμών ότι οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των ρητών και των πραγματικών αριθμών ότι οι ρητοί είναι υποσύνολο των πραγματικών αριθμών

Επομένως, μπορούμε εύκολα να υποθέσουμε ότι: τα στοιχεία που περιέχει το σύνολο των πραγματικών είναι περισσότερα από αυτά των ρητών, των ακεραίων, των φυσικών … καθώς και όλων αυτών μαζί! Επίσης, τα στοιχεία των ρητών είναι περισσότερα από αυτά των ακεραίων και των φυσικών καθώς και αυτών των δύο μαζί κ.ο.κ Καταλήγοντας ωστόσο σ’ ένα τέτοιο συμπέρασμα, αμελούμε μια σημαντική πληροφορία από αυτές που έχουμε αποδεχτεί από το δημοτικό ήδη: Οι αριθμοί είναι άπειροι. Άρα, κάθε σύνολο έχει άπειρα στοιχεία. Αν δοκιμάζαμε να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α με κάποιο στοιχείο ενός συνόλου Β θα διαπιστώναμε ότι πρόκειται για μια αέναη διαδικασία.

Δύο άπειρα σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος αν μπορέσει να αποκατασταθεί μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων τους. Δηλαδή, αν μπορέσουν να ζευγοποιηθούν όλα τα στοιχεία στα δύο σύνολα. Ακέραιοι Φυσικοί 1 -1 2 -2 1 2 3 4 5

Αυτή η διαδικασία αντιστοίχησης ονομάζεται «ρητή τομή». Το ερώτημα είναι: Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η ρητή τομή δε μπορεί να ισχύσει; Ο Cantor, ονόμασε το πλήθος των στοιχείων των φυσικών αριθμών «Άλεφ-Ο». Όλα τα σύνολα που έχουν πλήθος ίσο με Άλεφ-0 λέγονται «αριθμήσιμα άπειρα» ή «απειραριθμήσιμα». Παραδείγματα: Άρτιοι φυσικοί {2,4,6,…} Περιττοί φυσικοί {1,3,5,...} Ακέραιοι {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Τι γίνεται όμως με τους ρητούς; Οι ρητοί πρέπει να είναι περισσότεροι των φυσικών, εφόσον για κάθε διάστημα μπορούμε να βρούμε κι από έναν ρητό, όσο μικρό κι αν είναι αυτό το διάστημα. Σ’ αυτή την περίπτωση ο Cantor φτιάχνει έναν πίνακα ώστε όλα τα κλάσματα με παρονομαστή τον αριθμό 1 να βρίσκονται στην 1η σειρά. Όλα τα κλάσματα με παρονομαστή το 2 στη 2η σειρά κ.ο.κ Ενώ οι αριθμητές αντίστοιχα να είναι: 1,2,3,4,… Με τον τρόπο αυτό τοποθετούνται σ’ ένα πίνακα όλοι οι ρητοί αριθμοί.

Αν ακολουθήσουμε την πορεία όπως φαίνεται στο σχέδιο, τότε «σαρώνουμε» όλους τους αριθμούς και μπορούμε πλέον να τους αντιστοιχήσουμε με τους φυσικούς αριθμούς.

Για να δούμε τώρα αν συμβαίνει το ίδιο και με τους πραγματικούς αριθμούς. Ο Cantor σκέφτηκε ότι αν η αντιστοίχηση ένα-προς-ένα μεταξύ των φυσικών και των πραγματικών είναι εφικτή, τότε θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε σε μια λίστα όλους τους πραγματικούς, όπως φαίνεται παρακάτω. Σ’ αυτή τη λίστα χρησιμοποιούμε την άπειρη δεκαδική μορφή των αριθμών δηλαδή, αντί για το 0,2 βάζουμε το 0,19999… κλπ. Θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε έναν δεκαδικό που να μην υπάρχει στη λίστα. 1 0,12234… 2 0,23118… 3 0,76551… 0,24164… 4 0,12572… 5 0,32143… . . 1 3 5 2 4 1 6 4 7 3

Έτσι φτιάξαμε έναν δεκαδικό ο οποίος δεν περιέχεται στη λίστα. Αυτό σημαίνει ότι οι πραγματικοί αριθμοί δε μπορούν να μπουν σε αντιστοιχία ένα-προς-ένα με τους φυσικούς. Πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός ο οποίος δεν είναι στη λίστα. Αν και μπορούμε να αντιστοιχήσουμε κάθε φυσικό αριθμό με έναν πραγματικό, δε μπορούμε να κάνουμε το αντίστροφο. Κι έτσι πάντα θα υπάρχουν πραγματικοί οι οποίοι θα «περισσεύουν». Έτσι καταλήγουμε στ’ ότι υπάρχει ένα νέο είδος απείρου, διαφορετικό από το άπειρο των φυσικών αριθμών άρα, μεγαλύτερο από το Άλεφ-0. Αυτό το είδος απείρου ο Cantor το ονόμασε «C» και είναι θα λέγαμε, το «μη αριθμήσιμο άπειρο» ή «απόλυτο άπειρο».

Ευχαριστούμε! Υπεύθ. Καθηγητής: Ζωιτσάκος Σωτήρης Βασταρούχα Δήμητρα Κακαριάρη Άννα Αλεξάνδρα Καντζιού Κωνσταντίνα Κουτσούλας Χρήστος Λαγουρός Παντελής Λέκκας Νίκος Λιάπης Χρίστος Λιόλιος Νίκος Μιαρίτης Αλέξανδρος Μπαρμπούτσης Στάθης Μπεκές Νώντας Μπούρας Άγγελος Νικόλαρος Ανδρέας Παναγούλιας Χρήστος Στούμπου Βασιλίνα Τσιτομενέας Νίκος Υπεύθ. Καθηγητής: Ζωιτσάκος Σωτήρης