1 Σύνθεση Ταλαντώσεων

2 Αρχή της Ανεξαρτησίας ή Αρχή της Επαλληλίας των κινήσεων Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα 2 ή περισσότερες κινήσεις, κάθε μία από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t, είναι ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε μία. Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα 2 ή περισσότερες κινήσεις, κάθε μία από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t, είναι ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε μία.

3 Αρχή της Ανεξαρτησίας ή Αρχή της Επαλληλίας των κινήσεων Ισχύει για τα διανυσματικά μεγέθη Δεν ισχύει για τα μονόμετρα μεγέθη

4 Σύνθεση Ταλαντώσεων Όταν ένα κινητό συμμετέχει ταυτόχρονα σε 2 αρμονικές ταλαντώσεις η κίνησή του λέγεται σύνθετη ταλάντωση. Η μελέτη της κίνησης αυτής καλείται σύνθεση ταλαντώσεων

5 Το αποτέλεσμα αυτής της σύνθεσης εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά των συνιστωσών αρμονικών ταλαντώσεων, δηλαδή τις διευθύνσεις τους τις διευθύνσεις τους τις συχνότητές τους τις συχνότητές τους τα πλάτη τους και τα πλάτη τους και τις αρχικές φάσεις τους. τις αρχικές φάσεις τους.

6 Σύνθεση Ταλαντώσεων Σύνθεση 2 απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν την ίδια συχνότητα.Σύνθεση 2 απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν την ίδια συχνότητα. Σύνθεση 2 απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες.Σύνθεση 2 απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες. Διακροτήματα. Διακροτήματα.

7 x 2 =A 2 ημ(ωt+φ) x 1 =Α 1 ημωt A2A2 x2x2 φ Κ Ο x1x1 ωtωt A1A1 Ν A θ x Λ A2A2 x = x 1 + x 2 Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν την ίδια συχνότητα. Σύμφωνα με την Αρχή της Επαλληλίας

8 ωtωt A1A1 A2A2 A x1x1 x2x2 x φ θ Κ Ο Λ Μ Ν φ A2A2 Α 2 ημφ Α 2 συνφ Η συνισταμένη ταλάντωση: Το πλάτος: Η φάση: x=Aημ(ωt+θ)

9 Σύνθεση 2 ταλαντώσεων με διαφορά φάσης Δφ=0 Α 1 >Α 2, φ=0 Α=Α 1 +Α 2, θ=0

10 Σύνθεση 2 ταλαντώσεων με διαφορά φάσης Δφ=π rad

11 Α 1 =Α 2, φ=π Α=0 A 2 >A 1, φ=π θ=π θ=π

12 Σύνθεση 2 ταλαντώσεων με διαφορά φάσης Δφ=π/2 rad

13 Η ενέργεια στην σύνθετη ταλάντωση x 1 =Α 1 ημ(ωt+φ 1 ) x 2 =Α 2 ημ(ωt+φ 2 ) Δφ=φ 1 -φ 2 >0

14 Η μέγιστη ταχύτητα στην σύνθετη ταλάντωση x 1 =Α 1 ημ(ωt+φ 1 ) x 2 =Α 2 ημ(ωt+φ 2 ) Δφ=φ 1 -φ 2 >0

15 Η μέγιστη επιτάχυνση στην σύνθετη ταλάντωση x 1 =Α 1 ημ(ωt+φ 1 ) x 2 =Α 2 ημ(ωt+φ 2 ) Δφ=φ 1 -φ 2 >0

16 Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες

17 x 1 =Aημω 1 t, x 2 =Aημω 2 t Η σύνθετη ταλάντωση: Η κίνηση του σώματος είναι περίπλοκη.

18 Υπάρχει περίπτωση να έχουμε ω 1 ≈ω 2, οπότε Μεταβάλλεται πιο αργά με τον χρόνο Η απόλυτη τιμή της μπορεί να θεωρηθεί ως ΠΛΑΤΟΣ της σύνθετης ταλάντωσης Το ΠΛΑΤΟΣ της σύνθετης ταλάντωσης είναι χρονικά μεταβαλλόμενο με 0≤Α΄≤2Α

19 Η γωνιακή συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης Όταν ω 1 ≈ω 2, η σύνθετη ταλάντωση Πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης

20 Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφει μια ιδιόμορφη ταλάντωση που έχει ίδια περίπου συχνότητα με τις επίμέρους ταλαντώσεις. Οι εναλλαγές (“κυμάνσεις”) του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης είναι πολύ πιο αργές από τις ταλαντώσεις του σώματος γύρω από τη ΘΙ. Διακροτήματα

21 Η αυξομείωση του πλάτους │ Α΄ │ της κίνησης που εκτελεί το σώμα καλείται διακρότημα Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δύο διαδοχικές μεγιστο- ποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται περίοδος (Τ δ ) του διακροτήματος. Διακρότημα

22 x 1 =Aημω 1 tx 2 =Aημω 2 t Συχνότητα διακροτήματος: Σύνθεση δύο ταλαντώσεων Σύνθεση δύο ταλαντώσεων

23 Το μεταβλητό πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης. Η συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης. Η συχνότητα του διακροτήματος. Η περίοδος του διακροτήματος. Χαρακτηριστικά μεγέθη Τ, f και T δ, f δ Δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο

24 Η περίοδος και η συχνότητα των διακροτημάτων Η περίοδος και η συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης του Σ T δ =10s f δ =0,1Hz Ο αριθμός των μεγιστοποιήσεων του πλάτους, στη χρονική διάρκεια 0-50s. T =2s f =0,5Hz Ο αριθμός των μηδενισμών της απομάκρυνσης από 0-50s. Σε 10s 1 μεγ. Στα 50s 5 μεγ Σε 2s 1 ταλ 2 μηδ Στα 50s 25 ταλ 50 μηδ

25 Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των διακροτημάτων Ν δ σε κάποιο χρονικό διάστημα t, Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των διακροτημάτων Ν δ σε κάποιο χρονικό διάστημα t, Σε χρόνο Τ δ 1 διακρότημα Σε t Ν δ

26 Σε χρόνο Τ δ 1 μέγιστο πλάτους Σε t Νmax Παράδειγμα Αν f 1 =400Hz και f 2 =404Hz, βρείτε πόσες φορές μηδενίστηκε το πλάτος σε χρόνο ίσο με τον χρόνο 402 περιοδικών κινήσεων. Ο χρόνος t 402 περιοδικών κινήσεων Ο αριθμός των μεγίστων (ή ελαχίστων) του πλάτος σε δt Συνεπώς Σε χρόνο Τ δ =0,25s έχουμε 1μηδ του πλάτους Σε t=1s 4

27 Ένας άνθρωπος ακούει ταυτόχρονα 2 αρμονικούς ήχους που παράγονται από 2 διαπασών με συχνότητες f1=498Hz και f2=500Hz αντίστοιχα. Ζητούνται : α. ο χρόνος ανάμεσα σε 2 διαδοχικούς μηδενισμούς της έντασης του ήχου β. ποια συχνότητα αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος ; γ. πόσα μέγιστα του ήχου αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος σε χρονικό διάστημα Δt=6 sec ; δ.Πόση πρέπει να γίνει η συχνότητα f2 του ενός από τα 2 διαπασών, ώστε ο άνθρωπος να αντιλαμβάνεται 8 μέγιστα ανά δευτερόλεπτο ; f δ =2Hz T δ =1/2s f =499Hz

28 Βρείτε τον ελάχιστο χρόνο μεταξύ 2 διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη ΘΙ Βρείτε τον ελάχιστο χρόνο μεταξύ ενός μεγίστου και του διαδοχικού μηδενισμού του πλάτους

29 Εφαρμογές

30 1. Διακρότημα δημιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων οι οποίες πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν α. ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες. β. άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες. γ. ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες. δ. ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η μια είναι πολλαπλάσια της άλλης.

31 2. Σώμα συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται από τις σχέσεις x 1 =Αηµω 1 t και x 2 =Aηµω 2 t, των οποίων οι συχνότητες ω 1 και ω 2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει α. συχνότητα 2(ω 1 – ω 2 ). β. συχνότητα ω 1 +ω 2. γ. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και 2Α. δ. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και Α.

32 3. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, προκύπτει απλή αρμονική ταλάντωση σταθερού πλάτους, μόνο όταν οι επιμέρους ταλαντώσεις έχουν α. ίσες συχνότητες. β. παραπλήσιες συχνότητες. γ. διαφορετικές συχνότητες. δ. συχνότητες που η μια είναι ακέραιο πολλαπλάσιο άλλης.

33 4. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f 1 και f 2 που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους α. το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι 2Α. β. όλα τα σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. γ. ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ = δ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ =.

34 5. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις x 1 =A 1 ημωt και x 2 =A 2 ημ(ωt+π) που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο, με A 2 > A 1. Η σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει έχει φάση απομάκρυνσης α. ωt και πλάτος A 2 −A 1. β. ωt+π και πλάτος A 2 −A 1. γ. ωt και πλάτος A 1 +A 2. δ. ωt+π και πλάτος..

35 6. Στο διάγραμμα του διπλανού σχήματος φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των απομακρύνσεων δύο Α.Α.Τ. με πλάτη Α 1 και Α 2, καθώς και η σύνθεσή τους. α. Οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν την ίδια συχνότητα. (……) β. Η διαφορά φάσης ανάμεσα στις δύο συνιστώσες ταλαντώσεις είναι π. (……) γ. Το πλάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης είναι ίσο με Α=Α 1 -Α 2. (……) δ. Η συνισταμένη ταλάντωση είναι συμφασική της ταλάντωσης με πλάτος Α 2. (……) Λ Σ Σ Σ

36 7. Υλικό σημείο κάνει ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. με την ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, ενώ περιγράφονται από τις εξισώσεις (x 1,x 2 σε cm και t σε s) α. Η γωνιακή συχνότητα της συνισταμένης κίνησης του υλικού σημείου είναι (……) β. Το πλάτος της συνισταμένης κίνησης είναι 20cm. (……) γ. Η περίοδος του διακροτήματος είναι 0,5s. (……) δ. Σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος, η περιοδική κίνηση επαναλαμβάνεται 50 φορές. (……) Λ Σ Λ Σ

37 8. Δύο Α.Α.Τ. έχουν απομακρύνσεις που περιγράφονται από τις εξισώσεις x 1 =A 1 ημ(ωt- ) και x 2 =A 2 ημ(ωt+ ) α. Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι. β. Η απομάκρυνση x 2 προηγείται φασικά της x 1 κατά. γ. Η απομάκρυνση x 1 προηγείται φασικά της x 2 κατά. δ. Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων, γιατί οι απομακρύνσεις τους περιγράφονται από διαφορετικές συναρτήσεις. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

38 9. Ένα υλικό σημείο κάνει ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια περίοδο. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν πλάτη 3cm και 4cm, ενώ η συνισταμένη ταλάντωση έχει πλάτος 5cm. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης α. μηδέν. β.. γ.. δ.. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, στην ίδια διεύθυνση, με εξισώσεις: x 1 = 5ημ10t (SI) και x 2 = 8ημ(10t +π) (SI) Η απομάκρυνση του σώματος κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από την εξίσωση α. x = 3ημ(10t + π). (SI) β. x = 3ημ10t. (SI) γ. x = 11ημ(10t + π). (SI) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις σχέσεις: Αν Ε 1, Ε 2, Ε ολ είναι οι ενέργειες ταλάντωσης για την πρώτη, για τη δεύτερη και για τη συνισταμένη ταλάντωση, τότε ισχύει: α. Ε ολ = E 1 – E 2. β. Ε ολ = E 1 + E 2. γ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις οι οποίες περιγράφονται από τις εξισώσεις: και Οι δύο ταλαντώσεις εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. α. Να βρεθεί το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Να γραφούν οι εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) για τη συνισταμένη ταλάντωση. α. Α=??? β.

Ένα διακρότημα προκύπτει από τη σύνθεση δύο Α.Α.Τ., που έχουν την ίδια διεύθυνση, ίδιο πλάτος Α=10cm και συχνότητες f 1 =202Hz και f 2 =200Hz. α. Να βρείτε την εξίσωση του πλάτους και την περίοδο του διακροτήματος. β. Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος και ποια η συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης; Δίνεται : π 2 =10. α. Α′ = 0,2συν2πt (SI), T δ = 0,5 s. β. Α′ max = 0,2 m, f = 201 Hz.

43 f 2 ’ = 247,5 Hz f 2 = 252,5 Hz 14. Δύο κιθαρίστες προσπαθούν να ρυθμίσουν τις ηλεκτρικές τους κιθάρες. Η κιθάρα του ενός εκπέμπει έναν απλό ήχο με συχνότητα f = 250Hz, ενώ η κιθάρα του άλλου εκπέμπει επίσης έναν απλό ήχο. Οι κιθαρίστες ακούνε με αυτό τον τρόπο 5 διακροτήματα σε χρόνο 2s. Ποιες μπορεί να είναι οι συχνότητες του απλού ήχου στις οποίες εκπέμπει η δεύτερη κιθάρα;

44 ( Προσομοίωση σύνθεσης 2 ταλαντώσεων Προσομοίωση σύνθεσης 2 ταλαντώσεων (Ισπανικό)

45 Προσομοίωση για σύνθεση 2 ταλαντώσεων Προσομοίωση για σύνθεση 2 ταλαντώσεων (εμφάνιση όλων των περιπτώσεων) (

46 Interactive Physic διακρότημα Interactive Physic διακρότημα Διακρότημα ήχων f 1 =440Hz και f 2 =440,5Hz Διακρότημα ήχων f 1 =440Hz και f 2 =440,5Hz Διακρότημα ήχων f 1 =440Hz και f 2 =441Hz Διακρότημα ήχων f 1 =440Hz και f 2 =441Hz Ήχος μεταβλητής συχνότητας Ήχος μεταβλητής συχνότητας Διακρότημα Σιτσανλή Διακρότημα Σιτσανλή