ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΒΑΛΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ ΝΤΟΚΑ ΜΑΡΙΑ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1) Ο δήμαρχος ενός δήμου αγόρασε ένα χριστουγεννιάτικο δέντρο για να το βάλει στη κεντρική πλατεία του δήμου του. Το δέντρο έχει ύψος 4m και η σκάλα που αγόρασε έχει μήκος 5 m. Ποια θα είναι η απόσταση του κορμού από την βάση της σκάλας ώστε να φτάσουν στην κορυφή του δέντρου και να βάλουν το αστέρι.

2) Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνονται οι αποστάσεις που μπορεί να διανύσει η Μαρία από το σπίτι της. Το σπίτι της Μαρίας βρίσκεται στο σημείο Α, η στάση του λεωφορείου για να πάει στο σχολείο είναι στο σημείο Β, ενώ το σχολείο της στο σημείο Γ, και τέλος το περίπτερο της γειτονιάς βρίσκεται στο σημείο Δ.

Α) Να υπολογιστεί η απόσταση που διανύει η Μαρία για να πάει στο σχολείο (δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ). Β) Να υπολογιστεί η απόσταση που διανύει το λεωφορείο από την στάση στο σχολείο (δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ). Γ) Πoια είναι η λιγότερη απόσταση που χρειάζεται να διανύσει περπατώντας η Μαρία για να πάει στο σχολείο. Δ) Ο δήμαρχος της περιοχής σκέφτεται να βάλει πλάκες στο ΑΒΔ για να φτιάξει πεζόδρομο. Ακόμη υπολογίζει να φυτέψει λουλούδια δίπλα στο πεζόδρομο ( στο ΒΔΓ) . Μπορείτε να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν που θα καλύπτουν οι πλάκες και το συνολικό εμβαδόν με που θα φυτευτούν τα λουλούδια;

ΣΤΟΧΟΙ Εφαρμογή και επίλυση προβλημάτων στο πυθαγόρειο θεώρημα. Το πυθαγόρειο θεώρημα δίνει την ευκαιρία να συσχετίσει ο μαθητής την άλγεβρα με την γεωμετρία. Να κατανοήσουν το εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας και ότι εξαρτάται από την μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε κάθε φορά.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στην πρώτη άσκηση τους ζητήθηκε να υπολογίσουν την απόσταση του κορμού από την βάση της σκάλας ώστε να φτάσουν στην κορυφή του δέντρου. Σύμφωνα με έρευνες οι μαθητές δυσκολεύονται στο να αντιληφθούν ένα τριγωνο σε μη στερεοτυπικές σχέσεις. Πράγματι, διαπιστωθήκε ότι οι περισσότεροι μαθητές δυσκολεύτηκαν στο να αντιληφθούν ότι το έλατο αντιπροσωπεύει ένα τρίγωνο. Με αποτέλεσμα να προβληματιστούν στο πως θα χαράξουν το ύψος του δέντρου που θα τους οδηγήσει στην λύση του προβλήματος.

Στη δεύτερη άσκηση στο Δ ερώτημα ζητήθηκε από τους μαθητές να βρούν τα δύο εμβαδά ΑΒΔ και ΒΓΔ. Για τον υπολογισμό του ΑΒΔ δεν υπήρξε δυσκολία καθώς εφάρμοσαν τον τύπο, του εμβαδού του τριγώνου, αφού είχαν όλα τα δεδομένα. Για τον υπολογισμό του ΒΓΔ δόθηκαν δυο λύσεις από τους μαθητές. Η μία ήταν να υπολογίσουν το (ΑΒΓ) και να το αφαιρέσουν από (ΑΒΔ), ενώ η άλλη λύση ήταν να υπολογίσουν ξεχωριστά με εφαρμογή του τύπου το (ΒΓΔ)

1ος ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Οι μαθητές έπρεπε να βρουν πρώτα το εμβαδό του ΑΒΓ , γνωρίζοντας δυο από τις πλευρές του τριγώνου ΑΒ=2√3 hm και ΑΓ=4hm Στο σημείο αυτό ζητήθηκε από μια μαθήτρια να σηκωθεί στον πίνακα να υπολογίσει το (ΑΒΓ) και αφού προηγουμένως είχαν βρει το (ΑΒΔ) τα αφαίρεσε και βρήκε το τελικό εμβαδό του ΒΓΔ

Χωρίς όμως στο τέλος να βάλει την μονάδα μέτρησης Χωρίς όμως στο τέλος να βάλει την μονάδα μέτρησης. Μετά από παρατήρηση διαπίστωσε ότι έλειπε η μονάδα μέτρησης, και συνέχεια έγραψε hm. Διάλογος : Μαθητρια: (ΑΒΔ) =2 3 Φοιτήτρια : μονάδα μέτρησης ; Μαθήτρια: hm Φοιτήτρια : στο Μαθήτρια : τετράγωνο

Η επιλογή και η χρήση των µονάδων µέτρησης αποτελεί µια δυσκολία για τα παιδιά, όπως για παράδειγµα η χρήση γραµµικών αντί τετραγωνικών µονάδων κατά τη µέτρηση του εµβαδού. Επίσης σύγχυση µπορεί να είναι η χρήση γραµµικών αντί τετραγωνικών µονάδων µέτρησης, ( Simon & Blume, 1994; Boyd & Davis, 1990).

2ος ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ Οι μαθητές δυσκολεύονται να βρουν στο ΒΓΔ το ύψος ΑΒ, καθώς αυτό βρίσκεται εκτός τριγώνου. Οι περισσότεροι δεν μπορούν να ξεχωρίσουν μέσα από ένα σύνθετο σχήμα που περιέχει ένα αμβλυγώνιο όλα τα στοιχεία του. Δηλαδή το κατάλληλο ύψος και βάση για τον υπολογισμό του εμβαδού του.

Η μαθήτρια προσπάθησε να φέρει το ύψος από την γωνία Β στην πλευρά ΓΔ χωρίς όμως αυτή να είναι κάθετη στην πλευρά ΓΔ.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ http://users.sch.gr/ypapadop/index.files/Rhodos.pdf Simon & Blume, 1994 Boyd & Davis, 1990 (Bell, Costello, & Küchemann, 1983 Bell, Hughes, & Rogers, 1975 Clements & Ellerton, 1995 Dickson, 1989; Foxman et al., 1983 Hart, 1987, 1993 Hart & Sinkinson, 1988 Hirstein et al., 1978