ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ( )

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΗΜΕΙΟ: Το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Το παριστάνουμε με μια τελεία και το συμβολίζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. ΓΡΑΜΜΗ: Αν μετακινήσουμε χωρίς διακοπή τη μύτη του μολυβιού πάνω σε ένα χαρτί, τότε το ίχνος της γράφει μία γραμμή. ΕΠΙΠΕΔΟ: Η απλούστερη επιφάνεια καλείται επίπεδη επιφάνεια. Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Π.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΕΥΘΕΙΑ: Γνωρίζουμε ότι από δύο διαφορετικά σημεία Α, Β διέρχεται μοναδική ευθεία. Την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ΑΒ ή ΒΑ και τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα ε, ζ, … του ελληνικού αλφαβήτου είτε ακόμα και ως ευθεία χ’χ. Δύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν:  μόνο ένα κοινό σημείο. Τότε ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό σημείο λέγεται τομή των δύο ευθειών ή  Κανένα κοινό σημείο. Τότε ονομάζονται παράλληλες.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ: Γνωρίζουμε ότι κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα, δηλαδή δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Αν σε μια ευθεία χ’χ πάρω ένα σημείο Α τότε το σημείο αυτό χωρίζει την ευθεία σε δύο μέρη Αχ και Αχ’ τα οποία ονομάζουμε ημιευθείες με αρχή το Α. Η Ευθεία χ’χ λέγεται ΦΟΡΕΑΣ της ημιευθείας Αχ. Δύο ημιευθείες Αχ, Αχ’ με κοινό δηλαδή σημείο αρχής και κοινό φορέα ονομάζονται ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΕΣ ΗΜΙΕΥΘΕΙΕΣ.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ: Δύο διαφορετικά σημεία Α, Β πάνω σε μια ευθεία ε σχηματίζουν ένα ευθύγραμμο τμήμα και συμβολίζεται με ΑΒ. Τα σημεία Α, Β λέγονται ΑΚΡΑ του ευθύγραμμου τμήματος ενώ η ευθεία ε λέγεται ΦΟΡΕΑΣ του τμήματος. Τα σημεία εντός των άκρων Α, Β λέγονται εσωτερικά και αν έστω Γ ένα εσωτερικό σημείο τότε τα Α, Β βρίσκονται εκατέρωθεν του Γ ενώ τα Β, Γ είναι προς το ίδιο μέρος του Α. Δύο ευθύγραμμα τμήματα που έχουν κοινό ένα άκρο και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία ονομάζονται διαδοχικά.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΙΣΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ: Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται ίσα όταν με κατάλληλη μετατόπιση συμπίπτουν. ΜΕΣΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ καλούμε το εσωτερικό σημείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει ΑΜ=ΜΒ.  ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεχόμαστε ότι κάθε τμήμα έχει μοναδικό μέσο. ΑΝΙΣΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ: Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. Μετατοπίζουμε το ΑΒ ώστε το Α να ταυτιστεί με το Γ. Τότε θα υπάρχει μοναδικό σημείο Ε τέτοιο ώστε ΑΒ=ΓΕ.  Αν το Ε είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος ΓΔ, θα λέμε ότι το ΑΒ είναι μικρότερο του ΓΔ και θα συμβολίζουμε ΑΒ<ΓΔ.  Αν το Ε δεν είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος ΓΔ, θα λέμε ότι το ΑΒ είναι μεγαλύτερο του ΓΔ και θα συμβολίζουμε ΑΒ>ΓΔ.  Αν το Ε ταυτίζεται με το Δ, τότε ΑΒ=ΓΔ.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ: Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ.  ΠΡΟΣΘΕΣΗ: Με τη βοήθεια του διαβήτη ορίζουμε πάνω σε μία ευθεία τα διαδοχικά τμήματα ΕΖ=ΑΒ και ΖΗ=ΓΔ. Έτσι κατασκευάζουμε το τμήμα ΕΗ που λέγεται άθροισμα των ΑΒ και ΓΔ και γράφουμε ΕΗ=ΑΒ+ΓΔ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: 1.ΑΒ+ΓΔ=ΓΔ+ΑΒ (ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ) 2.(ΑΒ+ΓΔ)+ΕΖ=ΑΒ+(ΓΔ+ΕΖ) (ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ)

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ: Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ.  ΑΦΑΙΡΕΣΗ: Αν ΑΒ<ΓΔ τότε υπάρχει εσωτερικό σημείο Ε του ΓΔ, ώστε ΓΕ=ΑΒ. Το τμήμα ΕΔ λέγεται διαφορά του ΑΒ από το ΓΔ και συμβολίζεται με ΕΔ=ΓΔ-ΑΒ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν ΑΒ=ΓΔ, τότε η διαφορά ΓΔ-ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του συμπίπτουν και ονομάζεται μηδενικό.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ: Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ.  ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ: Ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος ΑΒ επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ, το οποίο είναι το άθροισμα ν διαδοχικών ευθυγράμμων τμημάτων ίσων προς το ΑΒ. Γράφουμε ΕΖ=νΑΒ.

ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΗΚΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ: Η απόσταση δύο σημείων Α, Β καλείται μήκος ευθυγράμμου τμήματος και συμβολίζεται με (ΑΒ). ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ Ο. Έστω Ο σημείο του επιπέδου. Τότε για κάθε σημείο Α υπάρχει μοναδικό σημείο Β τέτοιο ώστε το Ο να είναι το μέσο του ΑΒ. Τότε το σημείο Β ονομάζεται συμμετρικό του Α ως προς Ο ή το Α συμμετρικό του Β ως προς Ο. Τα Α, Β λέγονται συμμετρικά σημεία ως προς το κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1.Δύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν: α) κανένα κοινό σημείο β) ένα κοινό σημείο γ) δύο κοινά σημεία δ) άπειρα κοινά σημεία 2.Στο παρακάτω σχήμα ποιες ημιευθείες ορίζονται με α) αρχή το Α β) αρχή το Β y A B x Ποιες από αυτές είναι αντικείμενες;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 3. Πόσες ευθείες ορίζουν 3 διαφορετικά σημεία; 4.Στο παρακάτω σχήμα οι ημιευθείες Οχ’ και Οχ είναι αντικείμενες; χ’ Ο χ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ 1.Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία των παρακάτω σχημάτων: α) Α Β Γ Δ β) Α Μ Κ Β Γ 2.Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ=2ΜΝ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ 3.Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) ΕΖ=(ΑΔ+ΒΓ)/2 β) ΑΓ+ΒΔ=ΑΔ+ΒΓ 4.Σε ευθεία ε θεωρούμε τμήμα ΑΒ, το μέσο του Μ, Γ τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματος ΜΒ και Δ τυχαίο σημείο εξωτερικό του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) ΓΜ=(ΓΑ-ΓΒ)/2 β) ΔΜ=(ΔΑ+ΔΒ)/2 5.Αν Α, Β, Γ τρία συνευθειακά σημεία και Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ΔΕ=ΒΓ/2.