1 ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΘΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε.Κολέζα

2

3 Τα Σχολικά Μαθηματικά είναι το κατ’ εξοχήν πεδίο έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Ένας βασικός στόχος της Μαθηματικής Εκπαίδευσης είναι: η διερεύνηση του τρόπου με τον οποίο οι μαθητές διδάσκονται και μαθαίνουν Μαθηματικά. η διερεύνηση του τρόπου με τον οποίο οι μαθητές διδάσκονται και μαθαίνουν Μαθηματικά.

4

5 Το ερώτημα του τι σημαίνει να γνωρίζει κάποιος Μαθηματικά να γνωρίζει κάποιος Μαθηματικά και να γνωρίζει κάποιος τα Σχολικά Μαθηματικά να γνωρίζει κάποιος τα Σχολικά Μαθηματικά δεν πρέπει να ταυτίζονται. Το πρώτο είναι ένα επιστημολογικό και ψυχολογικό ερώτημα, ενώ το δεύτερο απαιτεί και μια κοινωνιολογική προσέγγιση.

6 Αυτό που ορίζεται ως Σχολικά Μαθηματικά διαμορφώνεται από κοινωνικούς και ιστορικούς παράγοντες. Η σχέση τους με τα Μαθηματικά ως επιστημονική περιοχή είναι ζήτημα κοινωνικών και πολιτικών συνθηκών. είναι προϊόν θεσμικών ρυθμίσεων Τα Σχολικά Μαθηματικά είναι προϊόν θεσμικών ρυθμίσεων στη διαπραγμάτευση του οποίου ορισμένες μορφές γνώσης θεωρούνται και αντιμετωπίζονται ως προνομιούχες, ενώ άλλες παραβλέπονται.

7 διάφορες κοινωνικές ομάδες προσπαθούν να προβάλουν και να επιβάλουν τη δική τους άποψη για το είδος του πολίτη που το σχολείο οφείλει να διαμορφώσει και για τη γενικότερη μορφή της κοινωνίας που προβάλει. Αυτή η αντιμετώπιση της σχολικής γνώσης έχει προκαλέσει έντονες αντιπαραθέσεις, καθώς διάφορες κοινωνικές ομάδες προσπαθούν να προβάλουν και να επιβάλουν τη δική τους άποψη για το είδος του πολίτη που το σχολείο οφείλει να διαμορφώσει και για τη γενικότερη μορφή της κοινωνίας που προβάλει.

8 η διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ένα κοινωνικά σχεδιασμένο εγχείρημα, ως πεδίο αναπαραγωγής κοινωνικών και ιδεολογικών σχημάτων. Κάτω από αυτή την οπτική γωνία, η διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ένα κοινωνικά σχεδιασμένο εγχείρημα, του οποίου η μορφή και το περιεχόμενο καθορίζονται σε συνάρτηση με τις ιδιαίτερες λειτουργίες της εκπαίδευσης ως πεδίο αναπαραγωγής κοινωνικών και ιδεολογικών σχημάτων. ενδέχεται να έχει πολύ μικρή σχέση με την τυπική εσωτερική λογική της επιστήμης των Μαθηματικών. Το περιεχόμενο της μάθησης των Μαθηματικών στο σχολείο ενδέχεται να έχει πολύ μικρή σχέση με την τυπική εσωτερική λογική της επιστήμης των Μαθηματικών. δεν μπορεί να ερμηνευτεί απλά ως έλλειψη εξειδικευμένων γνώσεων ή ικανοτήτων. Ως εκ τούτου, η επιτυχία ή η αποτυχία στα Σχολικά Μαθηματικά δεν μπορεί να ερμηνευτεί απλά ως έλλειψη εξειδικευμένων γνώσεων ή ικανοτήτων.

9 δεν εμπεριέχουν μόνο απόκτηση γνώσης κάποιου μαθηματικού περιεχομένου ή κάποιων λογικών διαδικασιών ή μορφών συλλογισμού Τα Σχολικά Μαθηματικά, με άλλα λόγια, δεν εμπεριέχουν μόνο απόκτηση γνώσης κάποιου μαθηματικού περιεχομένου ή κάποιων λογικών διαδικασιών ή μορφών συλλογισμού. συμμετοχή σε ένα κοινωνικό πλαίσιο Εμπεριέχουν επίσης συμμετοχή σε ένα κοινωνικό πλαίσιο που χαρακτηρίζεται από συγκεκριμένα πρότυπα λογικής, κανόνες πρακτικής και συγκεκριμένες αντιλήψεις γύρω από τη φύση και τη λειτουργία της μαθηματικής γνώσης. Τα κοινωνικά πρότυπα της σχολικής συμπεριφοράς δεν είναι ουδέτερα, αλλά σχετίζονται με την ευρύτερη πολιτισμική ταυτότητα της κοινωνίας. Τα κοινωνικά πρότυπα της σχολικής συμπεριφοράς δεν είναι ουδέτερα, αλλά σχετίζονται με την ευρύτερη πολιτισμική ταυτότητα της κοινωνίας. εμπεριέχει συχνά σύνθετες σχέσεις ηγεμονίας, νομιμότητας και επικυριαρχίας. Αυτό που επιφανειακά εμφανίζεται ως διδακτικός σχεδιασμός στη βάση επιστημονικών κριτηρίων εμπεριέχει συχνά σύνθετες σχέσεις ηγεμονίας, νομιμότητας και επικυριαρχίας.

10 πρέπει να έχει ένα σημείο αναφοράς. Για να μπορέσει ένας δάσκαλος να λειτουργήσει ως σκεπτόμενος δημοκρατικός πολίτης με άποψη και θέσεις για τα ζητήματα (εκπαιδευτικά, πολιτικά κλπ) της μαθηματικής εκπαίδευσης, πρέπει να έχει ένα σημείο αναφοράς. Το σημείο αναφοράς πρέπει να είναι τα δεδομένα της έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

11 πρέπει να έχει σχηματίσει μια σφαιρική αντίληψη σχετικά με τη φύση των Μαθηματικών και των μαθηματικών εννοιών: Για να κατανοήσει, όμως, κάποιος τον προβληματισμό των ερευνητών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης και να ερμηνεύσει τα συμπεράσματά τους, πρέπει να έχει σχηματίσει μια σφαιρική αντίληψη σχετικά με τη φύση των Μαθηματικών και των μαθηματικών εννοιών: Ποια είναι η φύση των μαθηματικών αντικειμένων; Τα Μαθηματικά ανακαλύπτονται ή εφευρίσκονται; Ποιο ρόλο διαδραμάτισε η ανθρώπινη δραστηριότητα και οι κοινωνικο-πολιτισμικές διαδικασίες στην ανάπτυξη των μαθηματικών ιδεών; Πώς αποδίδεται το νόημα στα μαθηματικά σύμβολα; Μια μελέτη διαδικασιών διδασκαλίας και μάθησης απροσδιόριστων και ασαφών αντικειμένων, αν όχι αδύνατη, είναι τουλάχιστον επιφανειακή.

12 «να κατανοήσουν» να προσδιοριστεί σαφώς το περιεχόμενο της έννοιας της «κατανόησης». Πιο συγκεκριμένα, δεδομένου ότι βασικός στόχος της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι «να κατανοήσουν» – και όχι απλά να μάθουν να χειρίζονται – οι μαθητές τις μαθηματικές έννοιες, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί σαφώς το περιεχόμενο της έννοιας της «κατανόησης». Ποια είναι η μαθηματική οντότητα που βρίσκεται πίσω από την έννοια «κλάσμα»; Για να προσδιοριστεί, όμως, τι σημαίνει π.χ. η έκφραση «κατανόηση της έννοιας του κλάσματος», προκειμένου να σχεδιαστεί μια διδακτική προσέγγιση, πρέπει να διευκρινίσουμε μια προηγούμενη ερώτηση: Ποια είναι η μαθηματική οντότητα που βρίσκεται πίσω από την έννοια «κλάσμα»;

13 Οι μαθηματικοί όροι και οι εκφράσεις παραπέμπουν σε αφηρημένες οντότητες, των οποίων η φύση και η προέλευση πρέπει να διερευνηθεί για τη διαμόρφωση μιας χρήσιμης και αποτελεσματικής θεωρίας σχετικά με τον τρόπο κατανόησης αυτών των αφηρημένων οντοτήτων

14 ΣΕ ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΦΑΣΗ τη σχέση Θα αναλύσουμε τη σχέση των βασικότερων θεωριών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση, των βασικότερων θεωριών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση, και των διαφόρων επιστημολογικών ρευμάτων, σχετικά με τον τρόπο συγκρότησης της μαθηματικής γνώσης. των διαφόρων επιστημολογικών ρευμάτων, σχετικά με τον τρόπο συγκρότησης της μαθηματικής γνώσης. Δηλαδή θα επισημάνουμε και θα αναλύσουμε τις επιδράσεις των διαφόρων επιστημολογικών ρευμάτων στα Μαθηματικά στη συγκρότηση μιας Επιστημολογίας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης Δηλαδή θα επισημάνουμε και θα αναλύσουμε τις επιδράσεις των διαφόρων επιστημολογικών ρευμάτων στα Μαθηματικά στη συγκρότηση μιας Επιστημολογίας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

15 Εκλαμβάνοντας ως αφετηριακό σημείο την Ελλάδα του 4 ου αιώνα π.Χ., διακρίνουμε δύο διαφορετικές σχολές: Εκλαμβάνοντας ως αφετηριακό σημείο την Ελλάδα του 4 ου αιώνα π.Χ., διακρίνουμε δύο διαφορετικές σχολές: Τη σχολή του Πλάτωνα,τα αντικείμενα των Μαθηματικών έχουν μια δική τους ύπαρξη, ανεξάρτητη του νου και του πραγματικού κόσμου, Τη σχολή του Πλάτωνα, της οποίας οι οπαδοί πίστευαν ότι τα αντικείμενα των Μαθηματικών έχουν μια δική τους ύπαρξη, ανεξάρτητη του νου και του πραγματικού κόσμου, και Τη σχολή του Αριστοτέλη η κατασκευή μιας μαθηματικής ιδέας συντελείται μέσω των εξιδανικεύσεων που εκτελούνται από τους μαθηματικούς, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας. Τη σχολή του Αριστοτέλη, της οποίας οι οπαδοί υποστήριζαν ότι η κατασκευή μιας μαθηματικής ιδέας συντελείται μέσω των εξιδανικεύσεων που εκτελούνται από τους μαθηματικούς, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας. Ο Αριστοτέλης προσπάθησε να κατανοήσει τις μαθηματικές σχέσεις μέσω της συλλογής και της ταξινόμησης των εμπειρικών αποτελεσμάτων που προέκυπταν από παρατηρήσεις, και τη δημιουργία ενός συστήματος για την ερμηνεία των σχέσεων των στοιχείων του συστήματος.

Στα τέλη του 19ου και την αρχή του 20ού αιώνα υπάρχουν τρεις διαφορετικές σχολές στη φιλοσοφία των Μαθηματικών. Στα τέλη του 19ου και την αρχή του 20ού αιώνα υπάρχουν τρεις διαφορετικές σχολές στη φιλοσοφία των Μαθηματικών.  Οι λογικιστές,  Οι λογικιστές, που προσπαθούν να δείξουν ότι οι μαθηματικές προτάσεις θα μπορούσαν να εκφραστούν ως απολύτως γενικές προτάσεις, των οποίων η αλήθεια προκύπτει με βάση λογικούς κανόνες. Οι φορμαλιστές, Οι φορμαλιστές, που υποστηρίζουν ότι τα Μαθηματικά δεν είναι παρά χειρισμός συμβόλων σύμφωνα με συγκεκριμένους (τυπικούς / formal) κανόνες. Ένα συγκεκριμένο θεώρημα δεν παραπέμπει σε τίποτα και δεν έχει νόημα, παρά σε σχέση με το ρόλο που διαδραματίζει στο πλαίσιο του τυπικού συστήματος που διατυπώνεται. Οι φορμαλιστές απορρίπτουν οποιαδήποτε διαισθητική προσέγγιση στα Μαθηματικά. Υπό αυτή την έννοια, τα Μαθηματικά θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ένα παιχνίδι χειρισμού συμβόλων χωρίς νόημα, σύμφωνα με κάποιους συμβατικούς κανόνες, όπως συμβαίνει στο παιχνίδι του σκακιού. Οι φορμαλιστές απορρίπτουν οποιαδήποτε διαισθητική προσέγγιση στα Μαθηματικά.

17  Οι ιντουισιονιστές  Οι ιντουισιονιστές, που αποδέχονται μόνο τα Μαθηματικά που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν από τους φυσικούς αριθμούς μέσω συγκεκριμένων κατασκευαστικών βημάτων.

18 δεν ασχολείται καθόλου με σύμβολα, αλλά με ιδέες, με νοητικές κατασκευές. Οι μαθηματικοί μιλούν συνήθως για ιδέες, για φανταστικές κατασκευές, για αποδείξεις με έναν τρόπο που δεν παραπέμπει άμεσα σε σύμβολα. Εντούτοις, στην πραγματικότητα, όταν ένας μαθηματικός αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα του οποίου τη λύση αναζητά, σε ένα πρώτο στάδιο δεν ασχολείται καθόλου με σύμβολα, αλλά με ιδέες, με νοητικές κατασκευές. Επιπλέον, αυτές οι ιδέες δεν είναι πάντα εύκολο να εκφραστούν με συμβολικό τρόπο. Οι μαθηματικοί μιλούν συνήθως για ιδέες, για φανταστικές κατασκευές, για αποδείξεις με έναν τρόπο που δεν παραπέμπει άμεσα σε σύμβολα. Οι μαθηματικοί μπορούν να συζητήσουν εάν δύο άρθρα αναφέρονται στην ίδια ιδέα, εάν δύο συμβολικές αναπαραστάσεις εκφράζουν το ίδιο μαθηματικό αντικείμενο ή εάν δύο φαινομενικά διαφορετικές αποδείξεις αντιστοιχούν στην ίδια ιδέα.

19 Σε αυτές τις ιδέες που βρίσκονται πίσω από τα σύμβολα, οι οποίες είναι στην ουσία διαισθήσεις, αναφέρεται η σχολή του ιντουισιονισμού με τον όρο «κατασκευές». Το κοινό σημείο μεταξύ φορμαλιστών και ιντουισιονιστών είναι η διαπίστωση ότι το νόημα μιας μαθηματικής απόφανσης εντοπίζεται στην πρακτική του υποκειμένου και όχι σε οποιαδήποτε εξωτερική πραγματικότητα, στην οποία αυτή η απόφανση αναφέρεται. Εντούτοις το νόημα μιας μαθηματικής απόφανσης δεν είναι καθαρά υποκειμενική υπόθεση.

20 είναι ένα κοινωνικό προϊόν Μια μαθηματική θεωρία, όπως οποιαδήποτε άλλη επιστημονική θεωρία, είναι ένα κοινωνικό προϊόν. Δημιουργείται και αναπτύσσεται από τη διαλεκτική αλληλεπίδραση πολλών. Η μελέτη της ιστορίας των Μαθηματικών δεν αποκαλύπτει υποκειμενικές ασύνδετες κατασκευές, αλλά μια συνεχή προσπάθεια διασαφήνισης ή εναλλακτικής παρουσίασης εννοιών και διατυπώσεων, βαθμιαία αυξανόμενα επίπεδα αυστηρότητας, καθώς και μια προσπάθεια γενίκευσης και εμβάθυνσης. Αυτό που καθοδηγεί την όλη διαδικασία είναι μια κοινή αντίληψη της μαθηματικής αλήθειας.

21 Με άλλα λόγια, υποστηρίζουμε ότι: Τα Μαθηματικά αποτελούνται από αλήθειες, Τα Μαθηματικά αποτελούνται από αλήθειες, που συγκροτούνται από επιχειρήματα, που συγκροτούνται από επιχειρήματα, πίσω από τα οποία βρίσκονται (κοινά αποδεκτές) κατασκευές, πίσω από τα οποία βρίσκονται (κοινά αποδεκτές) κατασκευές, οι οποίες εξωτερικεύονται μέσω των μαθηματικών συμβόλων. οι οποίες εξωτερικεύονται μέσω των μαθηματικών συμβόλων.

22 Οι αμφισβητήσεις στο λογικισμό - και γενικότερα στο θεμελιωτισμό - προήλθαν από διαφορετικές θεωρητικές κατευθύνσεις. Οι αμφισβητήσεις στο λογικισμό - και γενικότερα στο θεμελιωτισμό - προήλθαν από διαφορετικές θεωρητικές κατευθύνσεις.

23 1) Καταρχήν η αμφισβήτηση προέκυψε από τον ίδιο το Russell, βασικό εκπρόσωπο του Φορμαλισμού. αγνόησαν για δεκαετίες τις μετέπειτα δηλώσεις του Russell σχετικά με τις αμφιβολίες του περί απόλυτης βεβαιότητας και αναγκαιότητας της Λογικής και των Μαθηματικών. Το δόγμα ότι όλα τα Μαθηματικά μπορούν να προέλθουν από προφανή, λογικά αξιώματα, παρουσιάστηκε και αναπτύχθηκε με εντυπωσιακό τρόπο από τους Russell και Whitehead στο μνημειώδες Principia Mathematica, σε τρεις τόμους. Τόσο οι οπαδοί του όσο και οι επικριτές του αγνόησαν για δεκαετίες τις μετέπειτα δηλώσεις του Russell σχετικά με τις αμφιβολίες του περί απόλυτης βεβαιότητας και αναγκαιότητας της Λογικής και των Μαθηματικών. οι πρώτες αρχές της Λογικής και των Μαθηματικών, πρέπει να γίνουν πιστευτές, όχι αυτοτελώς, αλλά εξαιτίας των συνεπειών τους Για παράδειγμα, το 1924, ο Russell υποστήριξε ότι «οι πρώτες αρχές της Λογικής και των Μαθηματικών, πρέπει να γίνουν πιστευτές, όχι αυτοτελώς, αλλά εξαιτίας των συνεπειών τους» (Russell, 1924).

24 Από τους νατουραλιστές 2) Από τους νατουραλιστές η Λογική και τα Μαθηματικά ελέγχονται από τις παρατηρήσεις και ως εκ τούτου επιδέχονται αναθεώρησης. Από αυτή την άποψη, δεν υπάρχει καμία ουσιαστική διαφορά μεταξύ των Μαθηματικών και της εμπειρικής επιστήμης….. Ο Quine (μαθητής του Carnap), διαφώνησε ριζικά με το γλωσσικό δόγμα, το οποίο θεώρησε κενό και χωρίς επεξηγηματική ισχύ. Υποστήριξε, σε αντίθεση με τους λογικιστές, ότι «η Λογική και τα Μαθηματικά ελέγχονται από τις παρατηρήσεις και ως εκ τούτου επιδέχονται αναθεώρησης. Από αυτή την άποψη, δεν υπάρχει καμία ουσιαστική διαφορά μεταξύ των Μαθηματικών και της εμπειρικής επιστήμης…..». Πώς μια μαθηματική πρόταση, αν ήταν καθαρά θέμα σύμβασης, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί έτσι ώστε να προκύψουν αληθή συμπεράσματα σχετικά με το φυσικό κόσμο Τη συσχέτιση Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών και την αλληλεξάρτησή τους υποστηρίζει και ο Putnam, διερωτώμενος: «Πώς μια μαθηματική πρόταση, αν ήταν καθαρά θέμα σύμβασης, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί έτσι ώστε να προκύψουν αληθή συμπεράσματα σχετικά με το φυσικό κόσμο;»

25 Αλλά πώς μπορεί μια τέτοια απόφανση να έχει οποιοδήποτε αντικειμενικό περιεχόμενο, εάν οι αριθμοί και οι συσχετίσεις τους (π.χ. οι συναρτήσεις) είναι δημιουργήματα της φαντασίας; « Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης εκφράζει μια αντικειμενική απόφανση για τα ουράνια σώματα. Τι λέει; Ότι τα σώματα συμπεριφέρονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε το πηλίκο δύο αριθμών συνδεδεμένων με τα σώματα, ισούται με έναν τρίτο αριθμό που συνδέεται με τα σώματα. Αλλά πώς μπορεί μια τέτοια απόφανση να έχει οποιοδήποτε αντικειμενικό περιεχόμενο, εάν οι αριθμοί και οι συσχετίσεις τους (π.χ. οι συναρτήσεις) είναι δημιουργήματα της φαντασίας; Είναι σαν να υποστηρίζουμε ότι ο Θεός δεν υπάρχει και οι άγγελοι δεν υπάρχουν, υποστηρίζοντας συγχρόνως ότι είναι ένα αντικειμενικό γεγονός ότι ο Θεός έχει βάλει έναν άγγελο υπεύθυνο για κάθε αστέρι και ότι οι άγγελοι που είναι υπεύθυνοι για κάθε ένα ζευγάρι αστεριών δημιουργήθηκαν συγχρόνως! Εάν οι αριθμοί είναι θεολογία, και ο νόμος της παγκόσμιας βαρύτητας είναι επίσης θεολογία». (Putnam, 1975a:74-75).

26 η αντιπαράθεση στο λογικισμό εκφράζεται και από τον John Dewey. Την ίδια περίπου περίοδο, η αντιπαράθεση στο λογικισμό εκφράζεται και από τον John Dewey. Πειραματική ή Πραγματιστική Λογική, Ο Dewey έγραψε από τα μέσα του 1890 μέχρι την δεκαετία του 1920 σημαντικά κείμενα που αναφέρονται σε αυτό που αποκαλεί Πειραματική ή Πραγματιστική Λογική, και παρουσίασε ολοκληρωμένες τις βασικές θέσεις του το 1938, στο βιβλίο Logic: The Theory of Inquiry («Λογική: Η θεωρία της έρευνας»).

27 Σε αυτό το βιβλίο παρουσίασε την επαναστατική, για την εποχή, θεωρία ότι: Η ορθολογικότητα στη λογική βασίζεται στις πειραματικά δοκιμασμένες σχέσεις μεταξύ των μέσων και των συνεπειών της έρευνας και όχι σε σταθερές πρώτες αρχές που αντιμετωπίζονται ως απόλυτες και αναμφισβήτητες Η ορθολογικότητα στη λογική βασίζεται στις πειραματικά δοκιμασμένες σχέσεις μεταξύ των μέσων και των συνεπειών της έρευνας και όχι σε σταθερές πρώτες αρχές που αντιμετωπίζονται ως απόλυτες και αναμφισβήτητες.

28 η λογική είναι μια εξελισσόμενη επιστήμη, που στηρίζεται στην ανάλυση των καλύτερων μεθόδων έρευνας σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Για τον Dewey, η λογική είναι μια εξελισσόμενη επιστήμη, που στηρίζεται στην ανάλυση των καλύτερων μεθόδων έρευνας σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Δεδομένου ότι οι μέθοδοι των επιστημών βελτιώνονται, πραγματοποιούνται και οι αντίστοιχες αλλαγές στη Λογική. Τα αξιώματα, κάτω από αυτή τη θεώρηση, είναι υποθέσεις που διατυπώνουν γενικεύσεις των μέσων που χρησιμοποιήθηκαν σε προηγούμενες έρευνες, και που χρησιμοποιούνται στις μελλοντικές έρευνες μέχρι τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από αυτές τις μελλοντικές έρευνες να δικαιολογήσουν την τροποποίηση ενός ή περισσότερων από αυτά τα αξιώματα. Τα αξιώματα, κάτω από αυτή τη θεώρηση, είναι υποθέσεις που διατυπώνουν γενικεύσεις των μέσων που χρησιμοποιήθηκαν σε προηγούμενες έρευνες, και που χρησιμοποιούνται στις μελλοντικές έρευνες μέχρι τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από αυτές τις μελλοντικές έρευνες να δικαιολογήσουν την τροποποίηση ενός ή περισσότερων από αυτά τα αξιώματα.

29 τα προβλήματα είναι εκείνα που δίνουν το έναυσμα στη μαθηματική έρευνα. Για τον Dewey, τα προβλήματα είναι εκείνα που δίνουν το έναυσμα στη μαθηματική έρευνα. ένα νέο επίπεδο στα Μαθηματικά συγκροτείται πλήρως, όταν αποβάλλεται όλη η αναφορά στην ύπαρξη και στη δυνατότητα εφαρμογής. Εντούτοις, υποστήριζε ότι ένα νέο επίπεδο στα Μαθηματικά συγκροτείται πλήρως, όταν αποβάλλεται όλη η αναφορά στην ύπαρξη και στη δυνατότητα εφαρμογής. Έτσι δημιουργείται ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης, το οποίο οργανώνεται και ελέγχεται μόνο από κατηγορίες αφηρημένων σχέσεων. Οι προτάσεις των καθαρών Μαθηματικών είναι απαλλαγμένες από οποιουσδήποτε υπαρξιακούς και οντολογικούς όρους που απαιτούν μια περιορισμένη ερμηνεία.

30 οι φιλόσοφοι των Μαθηματικών πρέπει να επικεντρώσουν την προσοχή τους Γενικά η αντίληψη που επικρατούσε εκείνη τη χρονική περίοδο μεταξύ των μαθηματικών που αμφισβήτησαν το Θεμελιωτισμό, ήταν ότι οι φιλόσοφοι των Μαθηματικών πρέπει να επικεντρώσουν την προσοχή τους αφενός μεν στη δομή των Μαθηματικών και αφενός μεν στη δομή των Μαθηματικών και αφετέρου στην πρακτική των ίδιων των μαθηματικών στο στάδιο της ανακάλυψης και της αιτιολόγησης. αφετέρου στην πρακτική των ίδιων των μαθηματικών στο στάδιο της ανακάλυψης και της αιτιολόγησης. Στο πρώτο σκέλος, έδωσε ιδιαίτερη έμφαση η ομάδα Bourbaki, ενώ Στο πρώτο σκέλος, έδωσε ιδιαίτερη έμφαση η ομάδα Bourbaki, ενώ Στο δεύτερο, ένας σημαντικός μαθηματικός, ο Polya, του οποίου η θεωρητική προσέγγιση υπήρξε καταλυτική για την εξέλιξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Στο δεύτερο, ένας σημαντικός μαθηματικός, ο Polya, του οποίου η θεωρητική προσέγγιση υπήρξε καταλυτική για την εξέλιξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

31 Εστίασαν κυρίως στην ανακάλυψη των βασικών κοινών δομών στις εξωτερικά διαφορετικές μαθηματικές θεωρίες. Κάτω από το όνομα του Nicolas Bourbaki (1949), μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του ’30, μια ομάδα γάλλων μαθηματικών δημοσίευσε μια σειρά σημαντικών μαθηματικών πραγματειών και δοκιμίων, με στόχο την ενοποίηση όλων των βασικών κλάδων των Μαθηματικών. Βάσισαν αυτή την ενότητα στη συστηματοποίηση των σχέσεων που υπάρχουν μεταξύ των διαφορετικών μαθηματικών θεωριών. Εστίασαν κυρίως στην ανακάλυψη των βασικών κοινών δομών στις εξωτερικά διαφορετικές μαθηματικές θεωρίες.

32 Οι Bourbaki επεδίωξαν να γράψουν μια οριστική Ιστορία των Μαθηματικών βάσει μερικών θεμελιωδών «μητέρων» δομών, από τις οποίες προκύπτουν νέες, πιο συγκεκριμένες δομές, μέχρις ότου όλη η μαθηματική γνώση να μπορεί να οργανωθεί σε ένα δομημένο σύνολο. Η ομάδα Bourbaki δεν θεωρούσε τα Μαθηματικά ως μέρος της Λογικής ούτε πίστευε ότι δημιουργούνται στη βάση κάποιων προφανών λογικών αρχών. Σύμφωνα με αυτούς, μαθηματικές αποδείξεις υπήρχαν πριν ακόμα αναλυθεί λογικά η δομή της απόδειξης. Η λογική για το μαθηματικό, είναι η γραμματική της γλώσσας που χρησιμοποιεί και, προφανώς, η γλώσσα προϋπάρχει της γραμματικής της. Η λογική για το μαθηματικό, είναι η γραμματική της γλώσσας που χρησιμοποιεί και, προφανώς, η γλώσσα προϋπάρχει της γραμματικής της.

33 Ο Polya (1954) υπογράμμισε το σημαντικό ρόλο των πιθανών συλλογισμών, των υποθέσεων και των αναλογιών για τα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες. Εντούτοις, ποτέ δεν υιοθέτησε μια ημι-εμπειρική προσέγγιση για τα Μαθηματικά, κάτι που έκανε λίγα χρόνια αργότερα ο μαθητής του Imre Lakatos. Δηλαδή, μην μπορώντας να αποσπαστεί πλήρως από το θεμελιωτικό κίνημα, Υποστήριξε ότι τα Μαθηματικά στην τελική τους μορφή είναι καθαρά αποδεικτικά και υπό αυτή τη μορφή είναι ασφαλή και υπεράνω κάθε αμφισβήτησης. Υποστήριξε ότι τα Μαθηματικά στην τελική τους μορφή είναι καθαρά αποδεικτικά και υπό αυτή τη μορφή είναι ασφαλή και υπεράνω κάθε αμφισβήτησης.

34 Αντί να περιορίσει τη φιλοσοφία των Μαθηματικών στην τυπική Λογική, έστρεψε την προσοχή των φιλοσόφων σε ερωτήματα σχετικά με: Ο Imre Lakatos ηγήθηκε ενός νέου κινήματος στη φιλοσοφία των Μαθηματικών. Αντί να περιορίσει τη φιλοσοφία των Μαθηματικών στην τυπική Λογική, έστρεψε την προσοχή των φιλοσόφων σε ερωτήματα σχετικά με: τον τρόπο ανάπτυξης της μαθηματικής γνώσης, τον τρόπο ανάπτυξης της μαθηματικής γνώσης, τη φύση της μαθηματικής εξήγησης και τη φύση της μαθηματικής εξήγησης και την επίλυση προβλήματος. την επίλυση προβλήματος. Υποστήριξε ότι η ανάπτυξη των Μαθηματικών επιτυγχάνεται μέσω της διαδοχικής βελτίωσης των εικασιών (ή δημιουργικών υποθέσεων), μέσα από θεωρητικές προσπάθειες να βελτιωθούν αυτές οι εικασίες και μέσα από την κριτική αυτών των προσπαθειών με βάση αυτό που αποκάλεσε λογική των αποδείξεων και ανασκευών. λογική των αποδείξεων και ανασκευών.

35 Την ίδια εποχή που ο Lakatos προτείνει μια ημι- εμπειρική θεώρηση των Μαθηματικών, ο αμερικανός φιλόσοφος Hilary Putnam σε μια σειρά από άρθρα που εμφανίστηκαν το 1975 στο Mathematics, Matter, and Method υποστήριξε ότι τα Μαθηματικά δεν χρειάζονται «θεμέλια» και ότι η μαθηματική γνώση δεν είναι ούτε a priori ούτε απόλυτη και βέβαιη. Υποστήριξε ότι ο μαθηματικός συλλογισμός είναι ημι-εμπειρικός και διαψεύσιμος, όπως ακριβώς συμβαίνει με τις Φυσικές Επιστήμες. Υποστήριξε ότι ο μαθηματικός συλλογισμός είναι ημι-εμπειρικός και διαψεύσιμος, όπως ακριβώς συμβαίνει με τις Φυσικές Επιστήμες. Οι νέες ανακαλύψεις στις Επιστήμες, μπορούν να οδηγήσουν στην απόρριψη των βασικών μαθηματικών ή / και λογικών αρχών

36 το κριτήριο της αλήθειας στα Μαθηματικά, όπως και στη Φυσική, είναι Σύμφωνα με τη θεωρία του, το κριτήριο της αλήθειας στα Μαθηματικά, όπως και στη Φυσική, είναι η επιτυχία των ιδεών μας στην πράξη.

37 Ο Putnam δεν ισχυρίζεται ότι τα Μαθηματικά είναι μια εμπειρική επιστήμη, αλλά ότι οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν ημι-εμπειρικές, ακόμα και εμπειρικές μεθόδους, για να προάγουν την επιστήμη τους. συνδέει την αλήθεια των Μαθηματικών με τα αποτελέσματα της πρακτικής. αληθινές ιδέες είναι αυτές που επαληθεύονται στην πράξη. Ο Putnam, παρότι ρεαλιστής ως προς την ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων, συνδέει την αλήθεια των Μαθηματικών με τα αποτελέσματα της πρακτικής. Γι’ αυτόν, αληθινές ιδέες είναι αυτές που επαληθεύονται στην πράξη.

38 Τις ιδέες των Lakatos και Putnam ανέπτυξε περαιτέρω ο Philip Kitcher στο βιβλίο του The Nature of Mathematical Knowledge (1983) και στο άρθρο Mathematical Naturalism (1988a). Ο Kitcher υποστηρίζει ότι η μαθηματική γνώση αναπτύσσεται μέσω των αλλαγών στη μαθηματική πρακτική.

39 Κατά την άποψή του, η μαθηματική πρακτική έχει πέντε συνιστώσες: Μια γλώσσα Ø Μια γλώσσα που υιοθετείται από τους μαθηματικούς στην πρακτική τους, Ένα σύνολο αποφάνσεων Ø Ένα σύνολο αποφάνσεων που αποδέχονται οι μαθηματικοί στο σύνολό τους, Ένα σύνολο ερωτημάτων Ø Ένα σύνολο ερωτημάτων που θεωρούν σημαντικά, Μια μορφή συλλογισμού Ø Μια μορφή συλλογισμού που χρησιμοποιούν για να αιτιολογήσουν τις αποφάνσεις που κάνουν αποδεκτές, Ένα σύνολο μαθηματικών απόψεων Ø Ένα σύνολο μαθηματικών απόψεων όπου ενσωματώνουν τις ιδέες τους για το πώς πρέπει να γίνεται η μαθηματική έρευνα.

40 Ως εκ τούτου, η Ιστορία των Μαθηματικών είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως ένα σύνολο αλλαγών στις μαθηματικές πρακτικές. Βλέπει τα Μαθηματικά ως μια εξιδανικευμένη επιστήμη, έναν τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι κτίζουν την κατανόησή τους για τον κόσμο, είτε μέσω των φυσικών χειρισμών είτε μέσω των διαδικασιών της σκέψης. Η μορφή και το περιεχόμενο των Μαθηματικών καθορίζονται τελικά από τα πρακτικά ενδιαφέροντα των ατόμων και το γνωσιακό στόχο των άλλων επιστημών.

41 Συνοψίζοντας μέχρι αυτό το σημείο, τόσο το a prioriόσο και το βέβαιο Ένας μεγάλος αριθμός φιλοσόφων και μαθηματικών αμφισβήτησαν τόσο το a priori, όσο και το βέβαιο της μαθηματικής γνώσης ως παραγωγικής διαδικασίας στη βάση αναμφισβήτητων αρχικών αξιωμάτων. Αιτιολογώντας τα Μαθηματικά μέσω του ρόλου τους στις Φυσικές Επιστήμες, ανέπτυξαν το ισχυρό επιχείρημα ότι, εάν η γνώση μας περί των μαθηματικών οντοτήτων αιτιολογείται από το ρόλο που διαδραματίζει στην εμπειρικά υποστηριγμένη επιστημονική θεωρία μας, αυτή η γνώση, προφανώς, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως a priori.

42 Ας δούμε τώρα, με ποιο τρόπο όλος αυτός ο προβληματισμός γύρω από την Επιστημολογία των Μαθηματικών μεταφέρεται στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Ας δούμε τώρα, με ποιο τρόπο όλος αυτός ο προβληματισμός γύρω από την Επιστημολογία των Μαθηματικών μεταφέρεται στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

43 είναι μια εργαλειακή, πραγματιστική ή και ημι-εμπειρική προσέγγιση. Η προσέγγιση που υιοθετείται σήμερα στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης σχετικά με τα Μαθηματικά είναι μια εργαλειακή, πραγματιστική ή και ημι-εμπειρική προσέγγιση. αλλά το αν είναι συνεπής και χρήσιμη στην ερμηνεία και την κατανόηση φαινομένων και συμπεριφορών. Όλοι οι ερευνητές της Μαθηματικής Εκπαίδευσης συμφωνούν ότι ο ουσιαστικός προβληματισμός δεν αφορά την αντικειμενικότητα της γνώσης, δηλαδή το αν μια μαθηματική θεωρία είναι αληθής, αλλά το αν είναι συνεπής και χρήσιμη στην ερμηνεία και την κατανόηση φαινομένων και συμπεριφορών.

44 τα Μαθηματικά ως μια κοινωνική δραστηριότητα, ένα σύστημα κοινωνικών πρακτικών, που λαμβάνει χώρα σε ένα κοινωνικό πλαίσιο και έχει κοινωνικές συνέπειες. Μεταξύ των ερευνητών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, η επικρατούσα αντίληψη αντιμετωπίζει τα Μαθηματικά ως μια κοινωνική δραστηριότητα, ένα σύστημα κοινωνικών πρακτικών, που λαμβάνει χώρα σε ένα κοινωνικό πλαίσιο και έχει κοινωνικές συνέπειες. Ο προσδιορισμός της σωστής μαθηματικής πρακτικής είναι θέμα εσωτερικής συμφωνίας των μαθηματικών. Οι αποφάσεις τους πολλές φορές επηρεάζονται από τις ιδιαίτερες κοινωνικο- πολιτικές συνθήκες της εποχής. Ο προσδιορισμός της σωστής μαθηματικής πρακτικής είναι θέμα εσωτερικής συμφωνίας των μαθηματικών. Οι αποφάσεις τους πολλές φορές επηρεάζονται από τις ιδιαίτερες κοινωνικο- πολιτικές συνθήκες της εποχής.

45 η κατανόηση των Μαθηματικών συνιστά κάτι περισσότερο από την απλή γνώση κανόνων για το χειρισμό συμβόλων. Ένα άλλο σημείο, ως προς το οποίο συμφωνούν όλοι οι ερευνητές, είναι η αποδοχή της άποψης ότι η κατανόηση των Μαθηματικών συνιστά κάτι περισσότερο από την απλή γνώση κανόνων για το χειρισμό συμβόλων. το «περισσότερο». Το ζήτημα, επομένως, που τίθεται είναι να προσδιοριστεί σαφώς αυτό το «περισσότερο». τη δυνατότητα ανάσυρσης υπονοούμενων δομών, που βρίσκονται κάτω από την πολυπλοκότητα των φαινομένων και την επιλογή κατάλληλων μορφών δράσης, με στόχο να κατανοήσουμε καλύτερα τον κόσμο που μας περιβάλλει. Αυτό το «περισσότερο» θα μπορούσαμε επιγραμματικά να το περιγράψουμε ως: τη δυνατότητα ανάσυρσης υπονοούμενων δομών, που βρίσκονται κάτω από την πολυπλοκότητα των φαινομένων και την επιλογή κατάλληλων μορφών δράσης, με στόχο να κατανοήσουμε καλύτερα τον κόσμο που μας περιβάλλει. Εκείνο που ενδιαφέρει τη Μαθηματική Εκπαίδευση είναι η διαδικασία μέσα από την οποία μπορούμε να γνωρίσουμε αυτές τις δομές Εκείνο που ενδιαφέρει τη Μαθηματική Εκπαίδευση είναι η διαδικασία μέσα από την οποία μπορούμε να γνωρίσουμε αυτές τις δομές

46 Αυτές οι δομές, συνιστούν τα «μαθηματικά αντικείμενα» και εξωτερικεύονται μέσω σημείων και συμβόλων. Αυτές οι δομές, συνιστούν τα «μαθηματικά αντικείμενα» και εξωτερικεύονται μέσω σημείων και συμβόλων. Τα «μαθηματικά αντικείμενα» είναι νοητικές κατασκευές που μας βοηθούν να δομήσουμε την εμπειρία μας.

47 Για παράδειγμα, η «συνάρτηση» στα Μαθηματικά, δεν είναι περισσότερο ή λιγότερο πραγματική από την «ενέργεια» στη Φυσική ή τη «χημική ισορροπία» στη Χημεία. Η αποδοχή της ύπαρξης αυτών των αντικειμένων μας βοηθά να συνταιριάξουμε διάφορες παρατηρήσεις – φαινομενικά ασύνδετες – σε μια συνεπή δομή. Για παράδειγμα, η «συνάρτηση» στα Μαθηματικά, δεν είναι περισσότερο ή λιγότερο πραγματική από την «ενέργεια» στη Φυσική ή τη «χημική ισορροπία» στη Χημεία. Η αποδοχή της ύπαρξης αυτών των αντικειμένων μας βοηθά να συνταιριάξουμε διάφορες παρατηρήσεις – φαινομενικά ασύνδετες – σε μια συνεπή δομή.

48 Σήμερα, μια αντίληψη των Μαθηματικών, που φαίνεται να είναι γενικά παραδεκτή στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, είναι δυνατόν να συνοψιστεί ως εξής: Τα μαθηματικά αντικείμενα δημιουργούνται από τους ανθρώπους (π.χ. την κοινότητα των μαθηματικών). Δημιουργούνται όχι αυθαίρετα, αλλά προκύπτουν μέσα από τη δραστηριότητα με τα ήδη υπάρχοντα μαθηματικά αντικείμενα και από τις ανάγκες της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Από τη στιγμή που έχουν δημιουργηθεί, τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν καλά καθορισμένες ιδιότητες, οι οποίες εφαρμόζονται ανεξάρτητα από το αν κάποιος τις γνωρίζει ή όχι.

49 Τα Μαθηματικά και η διδασκαλία τους στη θεωρία των ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Τα Μαθηματικά και η διδασκαλία τους στη θεωρία των ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ με χρήση μοντέλων Σύμφωνα με τη θεωρία των Ρεαλιστικών Μαθηματικών, τα Μαθηματικά αντιμετωπίζονται ως μια ανθρώπινη δραστηριότητα επίλυσης προβλημάτων με χρήση μοντέλων που επινοούνται και αναπτύσσονται σταδιακά, προκειμένου να οργανωθούν τα διάφορα πεδία της εμπειρίας με σχηματικό (schematic) τρόπο (Freudenthal, 1973, 1978, 1991).

50 Υπάρχει, όμως, μια σημαντική διαφορά μεταξύ της μαθηματικής μοντελοποίησης, έτσι όπως εφαρμόζεται στις Φυσικές Επιστήμες, και στον τρόπο που γίνεται αντιληπτή η διαδικασία μοντελοποίησης στα Ρεαλιστικά Μαθηματικά.

51 Στην πρώτη περίπτωση πρόκειται για μετάφραση: Στην πρώτη περίπτωση πρόκειται για μετάφραση: Η επιλογή του κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου μιας πραγματικής κατάστασης ή φαινομένου (δηλαδή η δημιουργία μιας όσο το δυνατόν πιο ακριβούς αντιστοιχίας μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων και της πραγματικής κατάστασης, έτσι ώστε η συμπεριφορά που παρατηρείται στη φύση να έχει τις ίδιες δομικές ιδιότητες με αυτές που αποδίδονται στο μαθηματικό μοντέλο) αποτελεί το σημαντικότερο βήμα στη διαδικασία μοντελοποίησης. Η αξία του μαθηματικού μοντέλου, εξαρτάται από την επάρκεια του αποτελέσματος.

52 Στην περίπτωση των Ρεαλιστικών Μαθηματικών, η μοντελοποίηση στοχεύει στην οργάνωση:το μοντέλο προκύπτει σταδιακά κατά τη διαδικασία δόμησης μιας κατάστασης. Στην περίπτωση των Ρεαλιστικών Μαθηματικών, η μοντελοποίηση στοχεύει στην οργάνωση: το μοντέλο προκύπτει σταδιακά κατά τη διαδικασία δόμησης μιας κατάστασης. Σε αυτή την περίπτωση, η μοντελοποίηση είναι μια διαδικασία μαθηματικοποίησης. Σε αυτή την περίπτωση, η μοντελοποίηση είναι μια διαδικασία μαθηματικοποίησης.

53 Η βασική ιδέα πίσω από τη διαδικασία μοντελοποίησης στα Ρεαλιστικά Μαθηματικά είναι ότι οι άτυποι τρόποι μοντελοποίησης, που χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν προσπαθούν να οργανώσουν μια κατάσταση, χρησιμεύουν ως βάση για την ανάπτυξη μιας πιο τυπικής μαθηματικής γνώσης. μοντέλο της μοντέλο για Στην αρχή, το μοντέλο που κατασκευάζουν λειτουργεί ως μοντέλο της συγκεκριμένης κατάστασης, για να εξελιχθεί σταδιακά σε μοντέλο για έναν πιο γενικευμένο και τυποποιημένο μαθηματικό συλλογισμό. Δηλαδή, από μοντέλο μιας πραγματικής κατάστασης, γίνεται το μοντέλο της μαθηματικής έννοιας ή διαδικασίας που οργανώνει και δομεί φαινομενικά διαφορετικές μεταξύ τους πραγματικές καταστάσεις.

54 σκαλωσιές Οι αναπαραστάσεις/ μοντέλα για τα Ρεαλιστικά Μαθηματικά λειτουργούν επομένως ως σκαλωσιές για το πέρασμα από τα φαινόμενα στα νοούμενα (Freudenthal, 1983). Τα μαθηματικά αντικείμενα (τα νοούμενα), γενικά οι μαθηματικές δομές, χρησιμεύουν στην οργάνωση των φαινομένων του πραγματικού κόσμου (:οριζόντια μαθηματικοποίηση) και του κόσμου των Μαθηματικών (:κατακόρυφη μαθηματικοποίηση)

55 Πως θα γίνει όμως το πέρασμα από τα φαινόμενα στα νοούμενα; Με ποιόν τρόπο θα οδηγηθούμε στην κατανόηση ενός μαθηματικού αντικειμένου; Με ποιόν τρόπο θα οδηγηθούμε στην κατανόηση ενός μαθηματικού αντικειμένου;

56 Η απάντηση στο ερώτημα έχει άμεση σχέση με το ερμηνευτικό πλαίσιο που θα επιλέξουμε. Η απάντηση στο ερώτημα έχει άμεση σχέση με το ερμηνευτικό πλαίσιο που θα επιλέξουμε. ως ένα σύνολο δομών Εάν, παραδείγματος χάριν, δεχτούμε τη μαθηματική γνώση ως ένα σύνολο δομών, η κατανόηση αυξάνεται όσο περισσότερες αναπαριστώμενες πληροφορίες συνδεθούν, προκειμένου να συγκροτήσουν δομημένα και συνεκτικά δίκτυα θα θεωρήσουμε ότι η κατανόηση αυξάνεται όσο περισσότερες αναπαριστώμενες πληροφορίες συνδεθούν, προκειμένου να συγκροτήσουν δομημένα και συνεκτικά δίκτυα

57 Τα Μαθηματικά χαρακτηρίζονται από τη λογική οργάνωση των εννοιών, των θεωρημάτων και των ιδιοτήτων τους. Τα Μαθηματικά χαρακτηρίζονται από τη λογική οργάνωση των εννοιών, των θεωρημάτων και των ιδιοτήτων τους. Αυτή η λογική οργάνωση, οι κρίκοι που συνδέουν τα τμήματα της δομής του σώματος των Μαθηματικών στο πρόγραμμα σπουδών των Σχολικών Μαθηματικών είναι ασύνδετοι. Ένα δομημένο, όμως, σύστημα, όταν απλοποιηθεί σε ένα σύνολο ασύνδετων στοιχείων, χάνει το χαρακτήρα του συστήματος. Ένα δομημένο, όμως, σύστημα, όταν απλοποιηθεί σε ένα σύνολο ασύνδετων στοιχείων, χάνει το χαρακτήρα του συστήματος. αλλά για απόκτηση ικανοτήτων και δεξιοτήτων με αφορμή την παρουσίαση κάποιων μαθηματικών εννοιών. Στην περίπτωση αυτή δεν μιλάμε για διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών, αλλά για απόκτηση ικανοτήτων και δεξιοτήτων με αφορμή την παρουσίαση κάποιων μαθηματικών εννοιών.

58 Αν δοθεί έμφαση στις ικανότητες και δεξιότητες σε βάρος της δομής του συστήματος των Μαθηματικών Αν δοθεί έμφαση στις ικανότητες και δεξιότητες σε βάρος της δομής του συστήματος των Μαθηματικών, μεταβάλλεται ο ίδιος ο στόχος των Σχολικών Μαθηματικών: από τη διδασκαλία των Μαθηματικών περνάμε στο Μαθηματικό Εγγραμματισμό και από εκεί στον Αριθμητισμό. Η αποδοχή ή όχι μιας τέτοιας αλλαγής στόχων και οι προϋποθέσεις επιτυχούς υλοποίησης του εγχειρήματος συνιστούν σήμερα μερικούς από τους βασικούς προβληματισμούς της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

59 Το ζήτημα του περιεχομένου των Σχολικών Μαθηματικών και του είδους των ικανοτήτων και δεξιοτήτων που επιδιώκονται μέσω της διδασκαλίας, καθώς επίσης και η μεγαλύτερη ή μικρότερη έμφαση στις μαθηματικές δομές, δεν αποτελεί σύγχρονο προβληματισμό είναι κάτι που απασχολεί τη μαθηματική κοινότητα για περισσότερο από έναν αιώνα.

60 « Οι παιδαγωγικές ιδέες είναι όπως μια κίνηση του εκκρεμούς, πέρα-δώθε μεταξύ αυτού που ονομάζουμε “δεξιότητες” και αυτού που ονομάζουμε “κατανόηση”. Το εκκρεμές λίγο-πολύ κυμαίνεται ως εξής: Έμφαση στις δεξιότητες εμφανίζεται (στις μεταρρυθμίσεις) κατά τα έτη 1830, 1880, 1920, 1980, Έμφαση στην κατανόηση, τα έτη 1814, 1850, 1903, 1958, 1995» (Bettina Dahl, 2004:1).

61 «Πόλεμοι για τα Μαθηματικά». Στα τέλη του 20ού αιώνα, η (εκπαιδευτική και πολιτική) απόφαση σχετικά με το ερώτημα αν τα Σχολικά Μαθηματικά θα διατηρήσουν κοινά σημεία με τα Μαθηματικά και το ποια θα είναι αυτά τα σημεία, χώρισε τους ερευνητές της Μαθηματικής Εκπαίδευσης σε δυο αντιμαχόμενα στρατόπεδα και έδωσε έναυσμα σε αυτό που έγινε γνωστό ως «Πόλεμοι για τα Μαθηματικά». Επιπλέον διεύρυνε το χάσμα μεταξύ ερευνητών των Μαθηματικών και ερευνητών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, ενώ προκάλεσε αντιπαραθέσεις και μεταξύ των ίδιων των ερευνητών της Μαθηματικής Εκπαίδευσης

62 Τα βασικά ερωτήματα που πρέπει να θέσουμε σχετικά με την διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών είναι: Τα βασικά ερωτήματα που πρέπει να θέσουμε σχετικά με την διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών είναι: Τι; Περιεχόμενο Πώς; Μέθοδοι διδασκαλίας & μάθησης Γιατί; Στόχοι /σκοποί Ποιοι; Δάσκαλοι, μαθητές, σχολικοί παράγοντες, κ.λπ.

63 Η καλή θεωρία παρέχει στους δασκάλους τα εφόδια για να αναπτύξουν την δική τους πρακτική Ανάπτυξη ενός θεωρητικού πλαισίου για την διδασκαλία Η θεωρία μου προσφέρει ένα μέσο στο δάσκαλο ώστε να μπορέσει να δει και να ερμηνεύσει πέρα από τις οποιεσδήποτε προκαταλήψεις του Η «καλή» θεωρία βοηθά τους δασκάλους και τους ερευνητές να καταλάβουν τι συμβαίνει στην τάξη

64 Δύο σημαντικές δυσκολίες :  Η τάξη των μαθηματικών είναι ένα εξαιρετικά σύνθετο μαθησιακό πλαίσιο  Υπάρχουν πολλές θεωρίες και υπο-θεωρίες από τις οποίες κάποιος πρέπει να επιλέξει …

65 Γνώσεις που πρέπει να διαθέτει ο δάσκαλος για να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις της τάξης Γνώση Περιεχομένου / Παιδαγωγική Γνώση Παιδαγωγική Γνώση Περιεχομένου Γνώση του πλαισίου Γνώση των Μαθητών και των διαδικασιών Μάθησης Γνώση του Προγράμματος Σπουδών Γνώσεις που πρέπει να διαθέτει ο δάσκαλος για να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις της τάξης Γνώση Περιεχομένου / Content knowledge Παιδαγωγική Γνώση / Pedagogical knowledge Παιδαγωγική Γνώση Περιεχομένου / Pedagogical content knowledge Γνώση του πλαισίου / Knowledge of schools/context Γνώση των Μαθητών και των διαδικασιών Μάθησης / Knowledge of learners and learning Γνώση του Προγράμματος Σπουδών / Curricular knowledge

66 Το θεωρητικό πλαίσιο που υιοθετείται σήμερα είναι βασισμένο σε τρεις συμπληρωματικές προοπτικές Cognitive and Social Constructivism Situated Cognition Activity Theory: Activity Theory: H Activity theory ξεκίνησε ως προβληματισμός των σπουδαστών, συναδέλφων, και οπαδών του Lev Vygotsky στο Moscow Institute of Psychology, ειδικά των Luria, Leont’ev, και Il’enkov. Η Activity theory παρέμεινε σχετικά άγνωστη εκτός της Σοβιετικής Ένωσης μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του -80, και άρχισε να λαμβάνεται υπ’ όψη από τους ερευνητές στη δύση, με την πρώτη Διεθνή Διάσκεψη του 1986 και το πρώτο μη-σοβιετικό άρθρο του Engestrom το 1987

67 Γνωστικός κονστρουκτιβισμός (Piaget) Η μάθηση είναι μια ενεργός διαδικασία κατασκευής κατά την οποία οι μαθητές κατασκευάζουν τη γνώση τους βασιζόμενοι στην προγενέστερη γνώση τους. Η μάθηση είναι μια ενεργός διαδικασία κατασκευής κατά την οποία οι μαθητές κατασκευάζουν τη γνώση τους βασιζόμενοι στην προγενέστερη γνώση τους. Η μάθηση πραγματοποιείται εφόσον οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να προβληματίζονται σε αυθεντικές δραστηριότητες μέσα σε ένα, πραγματικό περιβάλλον που έχει νόημα γι’ αυτούς Η μάθηση πραγματοποιείται εφόσον οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να προβληματίζονται σε αυθεντικές δραστηριότητες μέσα σε ένα, πραγματικό περιβάλλον που έχει νόημα γι’ αυτούς Η διαδικασία της κατασκευής της γνώσης απαιτεί γνωστικές δεξιότητες (συλλογισμό, ανάλυση, αναστοχασμό, αξιολόγηση, κριτική σκέψη). Η διαδικασία της κατασκευής της γνώσης απαιτεί γνωστικές δεξιότητες (συλλογισμό, ανάλυση, αναστοχασμό, αξιολόγηση, κριτική σκέψη). Οι δάσκαλοι χρησιμεύουν πρώτιστα ως οδηγοί της μάθησης, όχι ως μεταδότες της γνώσης. Οι δάσκαλοι χρησιμεύουν πρώτιστα ως οδηγοί της μάθησης, όχι ως μεταδότες της γνώσης. Η αξιολόγηση πρέπει να εστιάσει στη γνωστική ανάπτυξη του μαθητή. Η αξιολόγηση πρέπει να εστιάσει στη γνωστική ανάπτυξη του μαθητή.

68 Κοινωνικός κονστρουκτιβισμός (Vygotsky) προέρχεται και προάγεται από τις κοινωνικές σχέσεις Η μάθηση προέρχεται και προάγεται από τις κοινωνικές σχέσεις μέσω της συμμετοχής σε κοινωνικές δραστηριότητες με άλλους λαμβάνει χώρα μέσω της συζήτησης, του διαλόγου, της συνεργασίας, και της ανταλλαγής πληροφοριών Η μάθηση λαμβάνει χώρα μέσω της συζήτησης, του διαλόγου, της συνεργασίας, και της ανταλλαγής πληροφοριών με άλλους ανθρώπους, π.χ. δάσκαλοι, συμμαθητές, κλπ. Η αξιολόγηση πρέπει να εστιάσει στις δεξιότητες συνεργασίας των μαθητών Η αξιολόγηση πρέπει να εστιάσει στις δεξιότητες συνεργασίας των μαθητών, και την δουλειά στα πλαίσια μιας ομάδας

69 Οι διάφορες τάσεις του κονστρουκτιβισμού που διερευνούν το ζήτημα του τρόπου με τον οποίο τα άτομα μαθαίνουν ή «κατασκευάζουν» τη γνώση, διαφέρουν όσον αφορά τους μηχανισμούς που βρίσκονται πίσω από αυτή τη διαδικασία. Η έμφαση στο υποκειμενικό ή στο κοινωνικό συνιστά τα δυο άκρα του άξονα, πάνω στον οποίο κινούνται και διαφοροποιούνται οι διάφορες μορφές του κονστρουκτιβισμού. Ο Piaget και ο Vygotsky, παραδείγματος χάριν, έδωσαν αρκετά διαφορετικές περιγραφές αυτού του θέματος: ο ένας τόνισε τους βιολογικούς/ ψυχολογικούς μηχανισμούς σε υποκειμενικό επίπεδο, ενώ ο άλλος εστίασε στους κοινωνικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη μάθηση.

70 Βασικές έννοιες στη θεωρία του PIAGET Ο Piaget προσδιορίζει ένα σύνολο αμετάβλητων λειτουργιών, οι οποίες είναι έμφυτες, καθολικές και ανεξάρτητες ηλικίας. της αφομοίωσης, της προσαρμογής και της εξισορρόπησης Αυτές είναι οι λειτουργίες της αφομοίωσης, της προσαρμογής και της εξισορρόπησης (assimilation, accommodation και equilibration). Η αφομοίωση αυξάνει τη γνώση, χωρίς να αλλάζει τη δομή των ήδη υπαρχόντων σχημάτων, ενσωματώνοντας τις νέες πληροφορίες στα ήδη υπάρχοντα σχήματα. Η προσαρμογή αυξάνει τη γνώση, τροποποιώντας τη δομή για να ενσωματώσει τη νέα εμπειρία. Η εξισορρόπηση συντονίζει την αφομοίωση και την προσαρμογή, επιτρέποντας στο μαθητή να δομήσει μια νέα, συνεπέστερη ισορροπία μεταξύ των (γνωστικών) σχημάτων και των αισθητηριακών δεδομένων. Πολλές φορές αυτό απαιτεί αναδιατύπωση της ήδη αποκτηθείσας γνώσης. Η αναδιατύπωση δεν αντικαθιστά την προγενέστερη γνώση, αλλά διαφοροποιεί και ενσωματώνει την προγενέστερη γνώση σε ένα συνεπέστερο σύνολο.

71 το σύνολο των Μαθηματικών μπορεί να θεωρηθεί από την άποψη της κατασκευής δομών. Οι μαθηματικές οντότητες εξελίσσονται από ένα επίπεδο σε ένα άλλο. Μια λειτουργία σε σχέση με αυτές τις οντότητες γίνεται με τη σειρά της ένα αντικείμενο της θεωρίας και αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται Ο Piaget χαρακτηρίζεται ως στρουκτουραλιστής, λόγω της αντίληψής του ότι «το σύνολο των Μαθηματικών μπορεί να θεωρηθεί από την άποψη της κατασκευής δομών. Οι μαθηματικές οντότητες εξελίσσονται από ένα επίπεδο σε ένα άλλο. Μια λειτουργία σε σχέση με αυτές τις οντότητες γίνεται με τη σειρά της ένα αντικείμενο της θεωρίας και αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται» (Piaget, 1972:70).

72 Η αναστοχαστική αφαίρεση διαφέρει σημαντικά από την αφαίρεση, έτσι όπως την εννοούσαν οι γνωστικοί ψυχολόγοι πριν από τον Piaget. ως αφαίρεση εθεωρείτο μια διαδικασία εντοπισμού κοινών χαρακτηριστικών μεταξύ συγκεκριμένων αντικειμένων ή καταστάσεων, και κατηγοριοποίησης αυτών των χαρακτηριστικών. Συγκεκριμένα, ως αφαίρεση εθεωρείτο μια διαδικασία εντοπισμού κοινών χαρακτηριστικών μεταξύ συγκεκριμένων αντικειμένων ή καταστάσεων, και κατηγοριοποίησης αυτών των χαρακτηριστικών. Η αναστοχαστική αφαίρεση, που κατά κάποιο τρόπο συμπληρώνει την αφαίρεση με τον προηγούμενο χαρακτήρα, αναφέρεται στην κατηγοριοποίηση νοητικών λειτουργιών. Η αναστοχαστική αφαίρεση, που κατά κάποιο τρόπο συμπληρώνει την αφαίρεση με τον προηγούμενο χαρακτήρα, αναφέρεται στην κατηγοριοποίηση νοητικών λειτουργιών. Πρόκειται δηλαδή για κατηγοριοποίηση νοητικών και όχι πραγματικών αντικειμένων. Αυτή η κατηγοριοποίηση οδηγεί στη διαμόρφωση σχημάτων, που αποτελούν τους δομικούς λίθους της γνώσης.

73 Το προϊόν της λογικομαθηματικής εμπειρίας (ή αλλιώς το αποτέλεσμα της αναστοχαστικής αφαίρεσης) είναι οι (μαθηματικές) έννοιες. Για παράδειγμα, Για παράδειγμα, η αφηρημένη έννοια «τρία» προκύπτει από τη συνειδητοποίηση ότι «μετρώντας» κάποια συγκεκριμένα σύνολα αντικειμένων, που περιέχουν ένα συγκεκριμένο αριθμό στοιχείων, το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι πάντα ο ίδιος αριθμός, άσχετα με τις επιμέρους ιδιότητες των αντικειμένων ή τον τρόπο διάταξής τους. Δηλαδή η αριθμητική έννοια «τρία» προκύπτει μέσω αναστοχαστικής αφαίρεσης μιας ενέργειας (δράσης). Στην περίπτωση της κατασκευής γεωμετρικών εννοιών, η γεωμετρική έννοια (π.χ. η έννοια του τριγώνου) προκύπτει μέσω αναστοχαστικής αφαίρεσης των ιδιαίτερων φυσικών, αντιληπτικών του χαρακτηριστικών

74 Από τον Piaget στον Ernst von Glasersfeld Σύμφωνα με το ριζοσπαστικό κονστρουκτιβισμό, η κατασκευή της γνώσης γενικά, άρα και της γνώσης σχετικά με την πραγματικότητα, είναι υποκειμενική. Εισηγητής της θεωρίας του ριζοσπαστικού κονστρουκτιβισμού θεωρείται ο Ernst von Glasersfeld. Σύμφωνα με το ριζοσπαστικό κονστρουκτιβισμό, η κατασκευή της γνώσης γενικά, άρα και της γνώσης σχετικά με την πραγματικότητα, είναι υποκειμενική. Αυτή η θέση έχει ερμηνευτεί ως άρνηση της ύπαρξης οποιουδήποτε «πραγματικού κόσμου»και ως σολοψισμός από τους επικριτές της συγκεκριμένης θεωρίας. Στην πραγματικότητα, ο ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός δεν αρνήθηκε ποτέ την ύπαρξη της εξωτερικής πραγματικότητας. Σύμφωνα με το ριζοσπαστικό κονστρουκτιβισμό, αντιλαμβανόμαστε την πραγματικότητα όχι κάτω από μια αντικειμενική διάσταση, αλλά υπό το πρίσμα μιας μορφής που ήδη εμείς οι ίδιοι έχουμε κατασκευάσει. Στην πραγματικότητα, ο ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός δεν αρνήθηκε ποτέ την ύπαρξη της εξωτερικής πραγματικότητας. Υποστηρίζει απλά ότι αυτή η πραγματικότητα δεν μπορεί να γίνει γνωστή από το υποκείμενο. Σύμφωνα με το ριζοσπαστικό κονστρουκτιβισμό, αντιλαμβανόμαστε την πραγματικότητα όχι κάτω από μια αντικειμενική διάσταση, αλλά υπό το πρίσμα μιας μορφής που ήδη εμείς οι ίδιοι έχουμε κατασκευάσει. Επομένως ο ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός δεν αναφέρεται σε μια αντικειμενική εξωτερική πραγματικότητα (της οποίας η ύπαρξη δεν τον απασχολεί), αλλά σε μια «εμπειρική ή βιωμένη πραγματικότητα».

75 Η «εξωτερική πραγματικότητα» στη θεώρηση των κονστρουκτιβιστών αντικαθίσταται από «τον κόσμο της εμπειρίας». Ο Glasersfeld (1996) αισθάνεται την ανάγκη να επικαλεστεί τον Piaget σχετικά με την άρνηση της ύπαρξης του εξωτερικού κόσμου, ερμηνεύοντας με το δικό του τρόπο τις πιαζετικές θέσεις: «Στην κονστρουκτιβιστική θεώρηση του Piaget οι ενέργειες στηρίζονται και κατευθύνονται στα αντικείμενα που αποτελούν τον κόσμο της εμπειρίας του υποκειμένου, όχι σε πράγματα που έχουν μια ανεξάρτητη ύπαρξη» (σελ. 4). Και πιο κάτω γράφει: «Όταν ο Piaget μιλά για αλληλεπίδραση, δεν υπονοεί έναν οργανισμό που αλληλεπιδρά με τα αντικείμενα, όπως είναι πραγματικά, αλλά μάλλον ένα γνωσιακό υποκείμενο (cognitive subject), που διερευνά προηγουμένως κατασκευασθείσες αντιληπτικές και εννοιολογικές δομές» (σελ. 5-6).

76 Η έννοια της «βιωσιμότητας» παραπέμπει άμεσα στην έννοια της «προσαρμογής» Η έννοια της «βιωσιμότητας» παραπέμπει άμεσα στην έννοια της «προσαρμογής» στην οποία ο Piaget (συνδέοντάς την με την θεωρία της εξέλιξης, ως βιολόγος) είχε αναφερθεί εκτενώς, τονίζοντας μάλιστα ότι η ανθρώπινη δραστηριότητα αναζήτησης της γνώσης είναι η υψηλότερη μορφή προσαρμογής. Η έννοια της βιωσιμότητας, αντικαθιστά στον κόσμο της εμπειρίας την κλασική φιλοσοφική έννοια της αλήθειας, η οποία προϋποθέτει τη δυνατότητα μιας ακριβούς αναπαράστασης της πραγματικότητας. Η έννοια της βιωσιμότητας, τόσο στον Piaget όσο και στον von Glesersfeld, αντικαθιστά στον κόσμο της εμπειρίας την κλασική φιλοσοφική έννοια της αλήθειας, η οποία προϋποθέτει τη δυνατότητα μιας ακριβούς αναπαράστασης της πραγματικότητας. Ένας οργανισμός είναι βιώσιμος, εάν κατορθώνει να επιζήσει κάτω από τους δεδομένους περιορισμούς και τις συγκεκριμένες περιβαλλοντικές συνθήκες. Η γνώση κατασκευάζεται από το υποκείμενο ως ένα εργαλείο επιτυχούς επιβίωσης, άρα πρέπει σε κάθε στιγμή να αποδεικνύεται βιώσιμη Η γνώση κατασκευάζεται από το υποκείμενο ως ένα εργαλείο επιτυχούς επιβίωσης, άρα πρέπει σε κάθε στιγμή να αποδεικνύεται βιώσιμη (von Glasersfeld, 1996) ή «λειτουργικά χρήσιμη» σε σχέση με κάποια προβλήματα, τα οποία καλείται να αντιμετωπίσει το υποκείμενο: «...ο αληθινός κόσμος αποκαλύπτεται αποκλειστικά μέσα από τις αποτυχημένες κατασκευές μας» (von Glasersfeld, 1993:36).

77 Μια παρόμοια άποψη εκφράζει ο S. Lerman παρότι ο ίδιος δεν υιοθετεί πλήρως το ριζοσπαστικό κονστρουκτιβιστικό παράδειγμα: «Εάν το άτομο τροποποιεί ή όχι τις ιδέες του εξαρτάται από την πρόκληση στη βιωσιμότητα των υπαρχουσών εννοιολογικών δομών του, όταν αυτές βρίσκονται αντιμέτωπες με τη νέα εμπειρία. Εντούτοις, εάν μια νέα εμπειρία αποτελεί μια πρόκληση στα υπάρχοντα σχήματα ενός υποκειμένου ή όχι, εξαρτάται επίσης από τα σχήματα του υποκειμένου. Κατά συνέπεια, ό,τι συμβαίνει στη σχολική τάξη μπορεί να προκαλέσει ή να μην προκαλέσει μια γνωστική σύγκρουση για ένα άτομο. Οι κοινωνικές αλληλεπιδράσεις δεν έχουν καμία δύναμη, το άτομο αναλύει» (Lerman, 1996:139).

78 το να «προσαρμοστεί» ένας οργανισμός σημαίνει να επιζήσει αποφεύγοντας τις αντιξοότητες, Εάν ληφθεί υπόψη ότι στο πλαίσιο της θεωρίας της εξέλιξης του Δαρβίνου, το να «προσαρμοστεί» ένας οργανισμός σημαίνει να επιζήσει αποφεύγοντας τις αντιξοότητες, γίνεται σαφές ότι για τον Piaget, το να «ξέρεις» δεν σημαίνει απλά κατανοείς την εικόνα του περιβάλλοντος κόσμου. Σημαίνει την ανακάλυψη των τρόπων δράσης και σκέψης που είναι βιώσιμες στο πλαίσιο της εμπειρίας. Υπάρχουν διάφορα επίπεδα προσαρμογής. Στο αισθητικοκινητικό επίπεδο αντίληψης και δράσης, εκείνο που έχει σημασία είναι η αποφυγή της φυσικής διαταραχής και η δυνατότητα επιβίωσης. Στο επίπεδο σκέψης, ενδιαφερόμαστε για τις έννοιες, τις συνδέσεις τους με τις θεωρίες και τις εξηγήσεις. Σε αυτό το πιο υψηλό επίπεδο, η βιωσιμότητα καθορίζεται από την επίτευξη των στόχων και την αποφυγή εννοιολογικών αντιφάσεων.

79 Ειπώθηκε ότι: η «εξωτερική πραγματικότητα» στη θεώρηση των κονστρουκτιβιστών αντικαθίσταται από «τον κόσμο της εμπειρίας». Συγκεκριμένα, ο Ernst von Glaserfeld διακρίνει μεταξύ της «οντολογικής πραγματικότητας» και της «εμπειρικής πραγματικότητας». δηλαδή την εμπειρική πραγματικότητα. Η οντολογική πραγματικότητα προσφέρει την πρώτη ύλη, από την οποία το σύστημα επεξεργασίας της γνώσης μας κατασκευάζει αντικείμενα, γεγονότα, σχέσεις κ.λπ., δηλαδή την εμπειρική πραγματικότητα. Κατά συνέπεια, η σχέση μεταξύ της πραγματικότητας και της γνώσης δεν είναι μια σχέση πρωτότυπου – αντίγραφου, αλλά μια σχέση αρχικού υλικού – προϊόντος. Ο Glaserfeld (1988) διευκρινίζει αυτή τη σχέση αρχικού υλικού – προϊόντος, λέγοντας ότι το προϊόν (η γνώση) δεν επιδιώκει να αναπαραστήσει το αρχικό υλικό (την πραγματικότητα), αλλά να αποδειχτεί έγκυρο και βιώσιμο με την έννοια ότι μας επιτρέπει να επιτύχουμε τους στόχους που έχουμε επιλέξει.

80 Έτσι η πραγματικότητα που αντιλαμβάνεται το υποκείμενο, είναι στην ουσία μια υποκειμενική κατασκευή και όχι μια οντολογική πραγματικότητα. Με άλλα λόγια, δεδομένου ότι όλοι κατασκευάζουμε τις πραγματικότητές μας, δεν έχει νόημα να μιλάμε για αντικειμενική αλήθεια. Έτσι, όταν οι δάσκαλοι θεωρούν ότι έχουν γίνει κατανοητοί από τους μαθητές τους, σφάλουν, αν πιστεύουν ότι οι μαθητές τους συμμερίζονται τις απόψεις τους. Κανένας δεν μπορεί να είναι βέβαιος γι’ αυτό, γιατί η κατανόηση είναι επίσης μια προσωπική κατασκευή. Η συνέπεια αυτής της άποψης για τη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ότι, οτιδήποτε σκοπεύει να διδάξει κάποιος, δεν πρέπει να παρουσιάζεται ποτέ ως η μόνη πιθανή γνώση. Πρέπει για παράδειγμα να εξηγηθεί στους μαθητές ότι ένα γεγονός, όπως = 4, μπορεί να θεωρείται βέβαιο, όχι επειδή ορίστηκε έτσι από μια ανώτερη δύναμη, αλλά επειδή έχουμε κατασκευάσει το αριθμητικό σύστημα με έναν ιδιαίτερο τρόπο και έχουμε συμφωνήσει σχετικά με τον τρόπο χρήσης αυτού του συστήματος

81 Η επιμονή στην υποκειμενικότητα του εμπειρικού κόσμου έχει οδηγήσει πολλούς στο συμπέρασμα ότι ο ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός αγνοεί τελείως το ρόλο της κοινωνικής αλληλεπίδρασης στην κατασκευή της γνώσης. Η επιμονή στην υποκειμενικότητα του εμπειρικού κόσμου έχει οδηγήσει πολλούς στο συμπέρασμα ότι ο ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός αγνοεί τελείως το ρόλο της κοινωνικής αλληλεπίδρασης στην κατασκευή της γνώσης. Οι ριζοσπαστικοί αντιτάσσουν όμως το επιχείρημα πως ο ισχυρισμός ότι όλη η γνώση προέρχεται από την αντιληπτική και εννοιολογική υποκειμενική εμπειρία, δεν συνεπάγεται την άρνηση της άποψης ότι οι άλλοι και, γενικότερα η κοινωνία, ασκούν κάποια επιρροή στις γνωστικές κατασκευές του υποκειμένου. Αλλά αυτοί οι άλλοι, «υπάρχουν» για το υποκείμενο μόνο στο μέτρο που περιλαμβάνονται στην εμπειρία του. Δηλαδή υπάρχουν για το υποκείμενο με τον τρόπο που αυτό αντιλαμβάνεται ότι υπάρχουν.

82 Ο Glasersfeld υποστήριξε ότι, για τον κονστρουκτιβισμό, οι εννοιολογικές κατασκευές ενός υποκειμένου δεν είναι αυθαίρετες. Αντίθετα, η όλη διαδικασία ελέγχεται και ρυθμίζεται από του περιορισμούς του πλαισίου μέσα στο οποίο λαμβάνει χώρα. Αυτή η διαρκής ρύθμιση είναι απαραίτητη, προκειμένου να υπάρξει επικοινωνία μεταξύ των υποκειμένων. Ο βασικός προβληματισμός του (ριζοσπαστικού) κονστρουκτιβισμού, ήδη από το ξεκίνημά του, ήταν να διερευνήσει πώς τα διαφορετικά υποκείμενα είναι δυνατόν να αλληλεπιδρούν, προκειμένου να καταλήξουν σε μια από κοινού γνώση και συμφωνία. Η έννοια της δι-υποκειμενικότητας (intersubjectivity) είναι βασική στην κατανόηση του σχηματισμού της από κοινού γνώσης

83 Για να υπάρξει όμως δι-υποκειμενικότητα, προϋποτίθεται η γλωσσική επικοινωνία. Για να υπάρξει όμως δι-υποκειμενικότητα, προϋποτίθεται η γλωσσική επικοινωνία. Πώς επιτυγχάνεται η γλωσσική επικοινωνία; Στις καθημερινές συνθήκες, όταν δεν υπάρχουν προφανείς παρανοήσεις, υποθέτουμε ότι το νόημα των λέξεων και των προτάσεων είναι το ίδιο για όλους τους συμμετέχοντες. Η έννοια όμως του «από κοινού» νοήματος είναι μια παραίσθηση. Και αυτό, γιατί συνδέουμε τις λέξεις όχι με συγκεκριμένα πράγματα, αλλά με την υποκειμενική μας εμπειρία των πραγμάτων και, παρόλο που η υποκειμενική εμπειρία ενδέχεται να είναι παρόμοια μεταξύ διαφόρων ανθρώπων, δεν είναι ποτέ ίδια.(von Glasersfeld, 1990). Αυτό που το υποκείμενο καταλήγει τελικά να γνωρίζει, επηρεάζεται από αυτό που κάνουν οι άλλοι, αλλά η επικοινωνία συμβαίνει μόνο μέσω της ερμηνείας.

84 Γι’ αυτό «η μετωπική διδασκαλία» δεν είναι απαραιτήτως μια αντικονστρουκτιβιστική παιδαγωγική δράση, όπως και δεν είναι δεδομένο ότι η «ανακαλυπτική μάθηση» εντάσσεται στο κονστρουκτιβιστικό μοντέλο. Το σημαντικό είναι ότι, κατά τη διδασκαλία, οι δάσκαλοι δεν πρέπει να θεωρήσουν ως δεδομένο ότι οι μαθητές κατανόησαν αυτό που τους παρουσιάστηκε. Αντίθετα, πρέπει να προσπαθήσουν να «αφουγκραστούν» τις ερμηνείες των μαθητών σχετικά με όσα υποτίθεται ότι κατανόησαν

85 Στην περίπτωση που η επικοινωνία αφορά καθημερινά πράγματα ή καταστάσεις, το υποκείμενο μαθαίνει βαθμιαία (αλληλεπιδρώντας με άλλους που μιλούν την ίδια γλώσσα) να προσαρμόζει τις έννοιές του, έτσι ώστε να υπάρχει μια συμβατικότητα μεταξύ των μελών μιας κοινότητας. Όταν όμως πρόκειται για τη διδασκαλία των Μαθηματικών, που αφορά όχι πραγματικά, αλλά αφηρημένα αντικείμενα, δηλαδή έννοιες που είναι αντικείμενα αφαίρεσης μέσω νοητικών διαδικασιών, είναι πολύ δυσκολότερο να επιβεβαιωθεί η συναίνεση. Ως εκ τούτου, για τη διδασκαλία των αφηρημένων εννοιών ο δάσκαλος πρέπει να δημιουργήσει μια ποικιλία πλούσιων εμπειρικών καταστάσεων, ώστε οι μαθητές να έχουν την ευκαιρία να διερευνήσουν τυχόν εννοιολογικές αποκλίσεις και να προβούν στις κατάλληλες αφαιρέσεις.

86 Η γνώση ως προϊόν κοινωνικήςδιαπραγμάτευσης Η «θεωρία του κοινωνικο-πολιτισμικού πλαισίου» εστιάζει την προσοχή της στο ρόλο των κοινωνικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των υποκειμένων και αντιμετωπίζει τις αντιπαραθέσεις μεταξύ των μαθητών που συμμετέχουν σε μια ομάδα ως προϋποθέσεις για νοητικές αναδιοργανώσεις- εννοιολογικές αλλαγές: «Όλο και περισσότερο αναγνωρίζεται το γεγονός ότι ο μεγαλύτερος όγκος της μάθησης στα περισσότερα κοινωνικά πλαίσια είναι μια κοινωνική δραστηριότητα, μια συμμετοχή σε μια κοινή κουλτούρα» (Bruner, 1986:127).

87 Αλλά και στο πλαίσιο της θεωρίας περί κοινωνικής κατασκευής της γνώσης υπάρχουν δυο άκρα. η κατασκευή της γνώσης είναι «λογική», Αλλά και στο πλαίσιο της θεωρίας περί κοινωνικής κατασκευής της γνώσης υπάρχουν δυο άκρα. Στο ένα άκρο η κατασκευή της γνώσης είναι «λογική», δεδομένου ότι κατασκευάζεται σύμφωνα με τους μεθοδολογικούς κανόνες και τα κριτήρια που τηρούνται συνειδητά μέσα σε μια κοινωνικο-πολιτιστική ομάδα. Είναι σημαντικό να υπογραμμιστεί ότι αυτοί οι κανόνες και τα κριτήρια κατασκευάζονται με κοινωνικές διαδικασίες και έτσι επηρεάζονται από τις σχέσεις εξουσίας, τα ενδιαφέροντα και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της ομάδας. Μια τέτοια μορφή κονστρουκτιβισμού είναι το αποκαλούμενο «Ισχυρό Πρόγραμμα» στην Κοινωνιολογίας της γνώσης που διακρίνει μεταξύ των διανοητικών συστημάτων και των κοινωνικών συστημάτων, και προσπαθεί να εξηγήσει τα πρώτα, ως αποτέλεσμα επίδρασης των δεύτερων.

88 Στο άλλο άκρο του άξονα βρίσκεται μια πιο συντηρητική θέση, που διατυπώνει ο Imre Lakatos: Η γνώση χτίζεται ενεργά στο πλαίσιο ενός ερευνητικού προγράμματος, που προχωρεί στο μέτρο που ανταποκρίνεται στις διανοητικές εκτιμήσεις. Οι κοινωνικο-πολιτισμικοί παράγοντες υπεισέρχονται μόνον όταν υπάρχει ανάγκη να εξηγηθεί γιατί οι επιστήμονες που συμμετέχουν σε αυτό το ιδιαίτερο ερευνητικό πρόγραμμα περιέπεσαν σε λάθος ή παρέκκλιναν από αυτό

89 ο Vygotsky (1987) έκανε μια σαφή διάκριση μεταξύ επιστημονικών και καθημερινών εννοιών. Αν και οι κοινωνικοί κονστρουκτιβιστές παραπέμπουν συνεχώς στον Vygotsky ως σημείο αναφοράς, προκειμένου να υπογραμμίσουν την κοινωνική προέλευση της σκέψης, εντούτοις αξίζει να σημειώσουμε ότι ο Vygotsky (1987) έκανε μια σαφή διάκριση μεταξύ επιστημονικών και καθημερινών εννοιών. Σε κανένα σημείο του έργου του δεν υποστηρίζει ότι οι επιστημονικές έννοιες προκύπτουν μέσα από την επαφή του παιδιού με καθημερινές καταστάσεις. Αντίθετα, το ενδιαφέρον του Vygotsky για την ανάπτυξη των επιστημονικών εννοιών αφορά το πώς αυτές οι έννοιες διαφοροποιούνται από τις καθημερινές ή αυθόρμητες έννοιες, και ως προς τα χαρακτηριστικά τους και ως προς τον τρόπο απόκτησής τους.

90 οι επιστημονικές έννοιες αποκτώνται μόνο ως αποτέλεσμα της σκόπιμης και συστηματικής διδασκαλίας σε ένα εκπαιδευτικό περιβάλλον. Αντίθετα από τις καθημερινές έννοιες, που ο Vygotsky υποστηρίζει ότι αποκτώνται αυθόρμητα από το παιδί μέσω της κοινωνικής αλληλεπίδρασης που λαμβάνει χώρα κατά τη διάρκεια της εμπλοκής του σε κοινές δραστηριότητες στο άμεσο περιβάλλον του, οι επιστημονικές έννοιες αποκτώνται μόνο ως αποτέλεσμα της σκόπιμης και συστηματικής διδασκαλίας σε ένα εκπαιδευτικό περιβάλλον. «Η ανάπτυξη των επιστημονικών εννοιών αρχίζει με το λεκτικό ορισμό» (Vygotsky, 1987:168). Η δόμηση της σκέψης επιτυγχάνεται μέσω της μάθησης εννοιών πέραν του άμεσου και συγκεκριμένου. Ο Vygotsky πίστευε ότι μόνο μέσω της επαφής με απο-πλαισιοποιημένες έννοιες, π.χ. με επιστημονικές έννοιες, το παιδί έχει την ευκαιρία να αναπτύξει συνειδητό έλεγχο των καθημερινών εννοιών. Η δόμηση της σκέψης επιτυγχάνεται μέσω της μάθησης εννοιών πέραν του άμεσου και συγκεκριμένου. Η απόλυτη ακρίβεια επιτυγχάνεται μόνο πέρα από τη φυσική γλώσσα, στα Μαθηματικά. Αν και η μάθηση πραγματοποιείται στο κοινωνικό πλαίσιο, σύμφωνα με τον Vygotsky (1978), αυτό που διακρίνει τις υψηλότερες διανοητικές λειτουργίες είναι η μετατόπιση του ελέγχου από το περιβάλλον στο άτομο, δηλαδή η συνειδητή πραγματοποίηση των διανοητικών διαδικασιών.

91 Ο Vygotsky (1962) υποστηρίζει ότι κατά τη διδασκαλία των επιστημονικών εννοιών δεν πρέπει να γίνεται αναφορά στις καθημερινές έννοιες, λόγω έλλειψης συνειδητοποίησής τους εκ μέρους των παιδιών: «Λειτουργώντας με τις αυθόρμητες (καθημερινές) έννοιες, το παιδί δεν έχει πλήρη επίγνωσή τους, επειδή η προσοχή του είναι πάντα εστιασμένη στο αντικείμενο στο οποίο η έννοια αναφέρεται, ποτέ στην ίδια την πράξη της σκέψης» (σελ. 92). Και πιο κάτω: «Πώς μπορούμε να εξηγήσουμε το γεγονός ότι προβλήματα που περιλαμβάνουν επιστημονικές έννοιες λύνονται σωστά συχνότερα από παρόμοια προβλήματα που αναφέρονται σε καθημερινές έννοιες; Το παιδί δυσκολεύεται να λύσει τα προβλήματα που περιλαμβάνουν πραγματικές καταστάσεις, επειδή δεν έχει πλήρη συνειδητοποίηση των εννοιών και επομένως δεν μπορεί να λειτουργήσει» (σελ. 106). «Είναι αμφισβητήσιμο το αν οι προσπάθειες να συνδεθεί το σχολικό περιεχόμενο με τις καθημερινές έννοιες και εμπειρίες των μαθητών θα ενισχύσει τη γνωστική ανάπτυξή τους. Οι συνδέσεις με την υπάρχουσα γνώση των μαθητών, ενδέχεται να μην βοηθήσουν την κατανόησή των επιστημονικών εννοιών, αλλά είναι πιθανό, αντ’ αυτού, να ενισχύσουν τις παρερμηνείες τους» (Zeuli, 1986:6-7).

92 Δυσκολίες εφαρμογής της κονστρουκτιβιστικής θεωρίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών Παρά το μεγάλο όγκο θεωρητικών κειμένων σχετικά με την κονστρουκτιβιστική θεωρία, δεν υπάρχουν ολοκληρωμένες και σε βάθος εμπειρικές μελέτες, οι οποίες να αναδεικνύουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζει ένας δάσκαλος, όταν επιχειρεί να εφαρμόσει τις αρχές του κονστρουκτιβισμού. Οι δυσκολίες αυτές είναι διαφόρων τύπων: εννοιολογικές, παιδαγωγικές, πολιτισμικές και πολιτικές

93 Οι εννοιολογικές δυσκολίες αφορούν τη δυσκολία κατανόησης – εκ μέρους των δασκάλων – των φιλοσοφικών, ψυχολογικών και επιστημολογικών πτυχών του κονστρουκτιβισμού. Δεδομένων μάλιστα των πολλαπλών μορφών του κονστρουκτιβισμού (:ριζοσπαστικός, κοινωνικός, κοινωνικο-πολιτισμικός), τα ερωτήματα στα οποία ένας δάσκαλος ενδέχεται να κληθεί να απαντήσει είναι πολλά και σύνθετα. Το γεγονός ότι πολλοί δάσκαλοι δεν έχουν κατανοήσει ότι ο κονστρουκτιβισμός είναι μια θεωρία μάθησης και όχι διδασκαλίας, τους οδηγεί στην πεποίθηση ότι, προτείνοντας στους μαθητές πλούσιες δραστηριότητες, διασφαλίζουν και τη μάθηση των εννοιών που υπεισέρχονται σε αυτές τις δραστηριότητες. Έτσι δίνουν μικρή σημασία στις διανοητικές επιπτώσεις μιας δραστηριότητας.

94 Για παράδειγμα, ο δάσκαλος μπορεί να προβληματιστεί σχετικά με τα εξής θέματα: Ποια από τις μορφές κονστρουκτιβισμού πρέπει να υιοθετήσει και γιατί; Θα εκλάβει το σύνολο των μαθητών της τάξης ως ένα σύνολο υποκειμένων, για τους οποίους οι προτεινόμενες δραστηριότητες θα λειτουργήσουν ως πρόκληση για μια ενδεχόμενη εννοιολογική αλλαγή ή ως μια κοινότητα, της οποίας ο βασικός στόχος είναι η κατασκευή μιας από κοινού γνώσης και κοινών νοημάτων προκειμένου να διασφαλιστεί η επικοινωνία που θα εξασφαλίσει την πρόσβαση στη γνώση; Πώς θα επιλέξει τις «κατάλληλες δραστηριότητες»; Όλες οι δραστηριότητες πρέπει να στοχεύουν στην κατασκευή γνώσης; Ποια Μαθηματικά, από αυτά που περιλαμβάνονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, πρέπει να θεωρηθούν ως «δεδομένα» και ποια πρέπει να «κατασκευαστούν» από τους μαθητές; Ποια είναι η στάση που πρέπει να κρατήσει, αν οι μαθητές δεν «κατασκευάζουν» την αναμενόμενη (ή προβλεπόμενη) από το πρόγραμμα γνώση;

95 Η άγνοια σχετικά με τις βασικές θεωρητικές αρχές του κονστρουκτιβισμού ενδέχεται να οδηγήσει ακόμα και σε παρανοήσεις, όπως ότι: Η μετωπική διδασκαλία δεν έχει καμία θέση σε μια κονστρουκτιβιστική τάξη, Ο κονστρουκτιβισμός δεν είναι τίποτα περισσότερο από ανακαλυπτική μάθηση, Όλες οι ιδέες, οι υποθέσεις, και οι ερμηνείες των μαθητών είναι εξίσου αποδεκτές, Δεν υπάρχει καμία αυστηρή στρατηγική αξιολόγησης που να συνδέεται με την κονστρουκτιβιστική διδασκαλία, Στον κονστρουκτιβισμό δεν υπάρχει απόλυτη γνώση, κυριαρχεί ένας άκριτος σχετικισμός, τα πάντα είναι υπό διαπραγμάτευση.

96 Οι παιδαγωγικές δυσκολίες αφορούν το σχεδιασμό της διδασκαλίας και την επιλογή των στόχων διδασκαλίας και μάθησης. γνώση του αντικειμένου της διδασκαλίας, Η εφαρμογή του κονστρουκτιβισμού στην πράξη απαιτεί από τους δασκάλους γνώση του αντικειμένου της διδασκαλίας, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη διδακτική προσέγγιση. Η κονστρουκτιβιστική διδασκαλία στηρίζεται στις δραστηριότητες των μαθητών, στην επίλυση πλούσιων και ενδεχομένως ανοικτών προβλημάτων, σε διερευνητικά projects, σε πρωτότυπες ιδέες. Σε αυτά τα είδη δραστηριοτήτων οι δάσκαλοι πρέπει όχι μόνο να γνωρίζουν καλά τις θεωρητικές αρχές που κρύβονται κάτω από ένα θέμα μελέτης (:γνώση περιεχομένου), αλλά και να είναι σε θέση να υιοθετούν μια ποικιλία προσεγγίσεων αυτού του θέματος (:παιδαγωγική γνώση του περιεχομένου), κάποιες από τις οποίες ενδέχεται να προτείνουν οι μαθητές.

97 Για παράδειγμα, κάποια από τα ερωτήματα που μπορεί να αντιμετωπίσει ο δάσκαλος είναι: Θα βασίσει τη διδασκαλία του στις άτυπες γνώσεις των μαθητών του ή σε προκαθορισμένους μαθησιακούς στόχους. Στην περίπτωση που επιλέξει το πρώτο, πώς θα μπορέσει να συμβιβάσει την επιλογή του αυτή με το υπάρχον πρόγραμμα σπουδών; Σε ποιο σημείο της «κατασκευή της γνώσης» από τους μαθητές πρέπει να επέμβει για να διευκολύνει την όλη διαδικασία; Αν δεν επέμβει, πώς θα διαχειριστεί το θέμα του χρόνου; Πώς πρέπει να ρυθμίσει το θέμα της επικοινωνίας μεταξύ των μαθητών; Ποιες μορφές αξιολόγησης συνάδουν με το κονστρουκτιβιστικό πρότυπο;

98 Οι δυσκολίες σε πολιτισμικό επίπεδο αφορούν την αλλαγή στάσεων και αντιλήψεων, τόσο των μαθητών όσο και του ίδιου του δασκάλου, σε σχέση με τα ίδια τα Μαθηματικά ως πολιτισμικό προϊόν. Για παράδειγμα, κάποια από τα ερωτήματα που μπορεί να αντιμετωπίσει ο δάσκαλος είναι: Ποιες συμπεριφορές και τοποθετήσεις πρέπει να ενθαρρύνει ή να αποθαρρύνει; Ποια είναι η σχέση μεταξύ των μαθητών και του δασκάλου; Ποιος έχει την εξουσία/ δύναμη να παίρνει τις αποφάσεις και πώς διατηρούνται αυτές οι σχέσεις εξουσίας; Ποιες γνώσεις και συμπεριφορές επιβραβεύονται και ανταμείβονται; Και πώς;

99 Οι δυσκολίες σε πολιτικό επίπεδο αφορούν την αποδοχή των «πρωτοποριακών» προτάσεων του δασκάλου από την ευρύτερη σχολική κοινότητα. Αφορούν επίσης την εναρμόνιση της καινοτόμου κονστρουκτιβιστικής διδασκαλίας και αξιολόγησης με τις συγκεκριμένες απαιτήσεις των τυπικών αξιολογήσεων (στα διάφορα επίπεδα) στις οποίες πρέπει να ανταποκριθούν οι μαθητές. Ιστορικά, οι σχεδιαστές της εκπαιδευτικής πολιτικής έχουν επιδιώξει να ελέγξουν το πρόγραμμα σπουδών και να τυποποιήσουν τη διδασκαλία και όχι να εκπαιδεύσουν τους δασκάλους, ώστε επιλέγουν σωστά μέσα από ένα ανοικτό πρόγραμμα σπουδών (Apple, 1982). Η ίδια τάση συνεχίζεται και σήμερα. Συνοπτικά, για να μπορέσουν οι δάσκαλοι να εφαρμόσουν στην πράξη τις αρχές του κονστρουκτιβισμού, απαιτείται να έχουν εννοιολογική κατανόηση, παιδαγωγική πείρα, πολιτισμική συνείδηση και πολιτικό θάρρος.