Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Elementarnefunkcije Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Elementarnefunkcije Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 Elementarnefunkcije Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević

3 Ponovimo: Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. Za svaku funkciju f : A  , suženje f : A  f( A ) je surjekcija. Ako je f : A   strogo monotona na nekom intervalu I  A, onda je suženje f : I  f( I ) bijekcija.

4 Ako je f : A  B bijekcija onda vrijedi: Postoji funkcija g : B  A tako da vrijedi g  f = i A i f  g = i B. Funkcija g : B  A je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f. Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

5 Osnovne elementarne funkcije: i) Konstantna funkcija ii) Opća potencija iii) Eksponencijalna funkcija iv) Logaritamska funkcija v) Trigonometrijske funkcije vi) Ciklometrijske funkcije

6 Konstantna funkcija f:    f(  ) = {c} c x y f(x) = c, c   y = c

7 Opća potencija f(x) = x r, r   \ {0} Napomena: ako je r = 0, onda je x 0 = 1, za x  0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1. Razlikujemo slučajeve: 1.r = n   2. r = -n   \  3. r = m/n   \  4. r   \ 

8 Potencije s prirodnim eksponentom x y y = x y = x 2 y = x 3 f :   , f (  ) =  za n neparan, f (  ) = [0,  ) za n paran f(x) = x n, n  

9 Potencije s cijelobrojnim eksponentom oblika f(x) = x -n, n   x y y= 1/x y= 1/x 2 y= 1/x 3 Budući je x -n =, onda je f:  \ {0}   i vrijedi: f(  \ {0}) =  \ {0}, za n neparan, f(  \ {0}) = (0,  ), za n paran.

10 Potencije s racionalnim eksponentom oblika f(x) = x 1/n, n   \ {1}. Budući je x 1/n = onda je: f :    i f(  ) =  za n neparan, f: [0,  )   i f( [0,  ) ) = [0,  ) za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x  D(f) je (x 1/n ) n = ( ) n = x, te za svaki y  f(D(f) ) je (y n ) 1/n = = y.

11 Primjeri: 1. n = 2 f(x) = x 1/2 f: [0,  )   f( [0,  ) ) = [0,  ) Neka je funkcija g 1 : [0,  )  [0,  ) suženje funkcije g(x) = x 2. Funkcja g 1 je bijekcija. Definirajmo funkciju f 1 : [0,  )  [0,  ) tako da je f 1 (x) = x 1/2. Za svaki x  [0,  ) vrijedi f 1 (g 1 (x)) = (x 2 ) 1/2 = |x| = x, te za svaki y  [0,  ) vrijedi g 1 (f 1 (y)) = (y 1/2 ) 2 = y. x y y=x y=x 1/2 y=x 2 Dakle, f 1 = g 1 -1

12 Uočimo: Suženje g 2 : (- , 0]  [0,  ) funkcije g(x) = x 2 je bijekcija. Definirajmo funkciju f 2 : [0,  )  (- ,0 ] tako da je f 2 (x) =-x 1/2. Za svaki x  (- , 0] vrijedi f 2 (g 2 (x)) = - (x 2 ) 1/2 = - |x| = x, te za svaki y  [0,  ) vrijedi g 2 (f 2 (y)) = (-y 1/2 ) 2 = y. f(x) = -x 1/2 f: [0,  )   f( [0,  ) ) = (- , 0] x y y=x y=-x 1/2 y=x 2 Dakle, f 2 = g 2 -1

13 2. n=3 Ako je f:    tako da je f(x) = x 1/3 onda za svaki x   vrijedi f (g(x)) = (x 3 ) 1/3 = x, te za svaki y   vrijedi g(f (y)) = (y 1/3 ) 3 = y. f(x) = x 1/3 f:    f(  ) =  y=x 1/3 y=x 3 y=x x y Promatrajmo funkciju g(x) = x 3. Funkcija g:    je bijekcija. Dakle, f = g -1

14 Potencije s racionalnim eksponentom n neparan i m > 0, onda je D(f) = , n neparan i m < 0, onda je D(f) =  \ {0}, n paran i m > 0, onda je D(f) = [0,  ), n paran i m < 0, onda je D(f) = (0,  ). oblika f(x) = x m/n, m/n   \ . Uz pretpostavku m  , n  , te M (m,n) = 1 razlikujemo slučajeve: Napomena: x m/n :=

15 Primjeri: f 1 (x) = x 2/3, D(f 1 ) = , f 1 (  ) = [0,  ). f 2 (x) = x -2/3, D(f 2 ) =  \ {0}, f 2 (  \ {0} ) = (0,  ). f 3 (x) = x 3/2, D(f 3 ) = [0,  ), f 3 ([0,  )) = [0,  ). f 4 (x) = x -3/2, D(f 4 )= (0,  ), f 4 ((0,  )) = (0,  ). y = x 2/3 y = x -2/3 x y x y y= x -3/2 y = x 3/2 Graf od f 1 (x) = x 2/3 se naziva “galeb”.

16 za r > 0 je D(f) = [0,  ), za r < 0 je D(f) = (0,  ). Potencije s realnim eksponentom oblika f(x) = x r, r   \ . Vrijedi: x y r = r = -

17 Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = x r onda je f –1 (y) = y 1/r, “kad god ti izrazi imaju smisla”. x y y = x y = x r y = x 1/r

18 Eksponencijalna funkcija f(x) = a x, a > 0 i a  1, f:   , f(  ) = (0,  ). 1 < a0 < a < 1 x y x y y = a x

19 Funkcija f(x) = a x, f:    je strogo monotona i f(  ) = (0,  ). Dakle, suženje f 1 :   (0,  ) je bijekcija. Definirajmo funkciju: g  log a : (0,  )  , tako da vrijedi: g(f 1 (x)) = log a (a x ) = x, za svaki x  , f 1 (g(y)) = a log a (y) = y, za svaki y  (0,  ). a > 10 < a < 1 x y y = a x y = log a x y = x y = log a x y = a x x y Dakle, f 1 -1 = g.

20 Logaritamska funkcija f(x) = log a x, a > 0 i a  1, f: (0,  )  . f ((0,  )) = . 1 < a0 < a < 1 x y x y y = log a x

21 dekadskaprirodna dekadski ili Briggsovlogaritamprirodni logaritam U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadska i s bazom e – prirodna, gdje je e  transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ili Briggsov logaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritam. Definiramo: log 10 x := log x i log e x := ln x. Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)

22 Trigonometrijske funkcije sinus kosinus tangens kotangens Trigonometrijske funkcije su:

23 Namatanje pravca na kružnicu 0 x O O’ T T’ T T’ O’ x 1 1

24 Namatanje pravca na kružnicu 0 T S T’ = S’ xx+2π 1 1 O’ O O’ T T’ S S’ Uočimo: sve točke oblika x+2k , k  , se namatanjem preslikaju u istu točku.

25 Trigonometrijska kružnica x cosx sinx (cosx,sinx) 1 1 pTpT T

26 Trigonometrijske funkcije f(x) = sinx, f:    f(  ) = [-1,1] f(x) = cosx, f:    f(  ) = [-1,1] sinus kosinus 1  22 -- 1  /2 22 -  /2 x y x y

27 tangens  --  /2 22 -  /2 x y 3π/23π/2 -3 π/ 2 y = tgx Definiramo: tg x := f(x) = tg x, f: A  , f( A ) = , gdje je A = D(f) =  \ { x   | cos (x) = 0}, tj. A =  \ { x   | x = + kπ, k   }.

28 f(x) = ctg x, f: A  , f( A ) = , gdje je A = D(f) =  \ { x   | sin (x) = 0}, tj. A =  \ { x   | x = kπ, k   }. kotangens  --  /2 22 -  /2 x y 3π/23π/2 -3 π/ 2 y = ctgx Definiramo: ctg x :=

29 Trigonometrijska kružnica Os kotangensa Os tangensa ctgx tgx x 1 1 Uočimo: Za x =  / 2 os tangensa i pravac p T nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran! Slično za kotanges u x = 0. Uočimo: Za x =  / 2 os tangensa i pravac p T nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran! Slično za kotanges u x = 0. pTpT

30 Svojstva trigonometrijskih funkcija sincostgctg Područje definicije D f   \ { π /2 + kπ, k   }  \ { kπ, k   } Slika f(D f )[-1,1]  Nul-točke x = kπ, k   x = π /2 + kπ, k   x = kπ, k   x = π /2 + kπ, k   Parnost neparnaparnaneparna Osnovni period 2π2π 2π2πππ Predznak po kvadrantima I, II, III, IV +,+,-,-+,-,-,++,-,+,-

31 Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcija sin 2 x + cos 2 x = 1, sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin 2 x - cos 2 x, sin 2 x = 1/2·(1 - cos2x), cos 2 x = 1/2·(1 + cos2x), ctgx = 1/tgx tg2x = 2tgx/(1-tg 2 x), ctg2x = (ctg 2 x-1)/2ctgx sin 2 x = tg 2 x/(tg 2 x+1), cos 2 x = ctg 2 x/(ctg 2 x+1).

32 Ciklometrijske ili arkus funkcije Ciklometrijske funkcije su : Ciklometrijske funkcije su : arkus-sinus arkus-kosinus arkus-tangens arkus-kotangens Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.

33 Definirajmo: Arcsin: [-1,1]  [- π /2, π /2], tako da vrijedi:  x є [- π / 2, π / 2 ], Arcsin(Sin x) = x,  y є [-1,1], Sin(Arcsin y) = y. x y Neka je Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1] suženje funkcije sin. Dakle, za svaki x є [- π / 2, π / 2 ], vrijedi sin x = Sin x. Funkcija Sin je bijekcija. -  /2  /2 y = x Dakle, Sin -1 = Arcsin. y = sinx

34 Neka je Cos: [0, π ]  [-1,1] suženje funkcije cos. Dakle, za svaki x є [0, π ], vrijedi cos x = Cos x. Funkcija Cos je bijekcija. Definirajmo: Arccos: [-1,1]  [0, π ], tako da vrijedi:  x є [0, π ], Arccos(Cos x) = x,  y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y. Dakle, Cos -1 = Arccos. x y  y = x y = cosx

35 arcsin: [-1,1]  , arcsin x = Arcsin x, arcsin([-1,1]) = [- π / 2, π / 2 ]. arcsin arccos arccos: [-1,1]  , arccos x = Arccos x, arcos([-1,1]) = [0, π ]. x y π / 2 -π / 2 x y π π / 2

36 Vrijedi: f 1 (x) = sin(arcsin x), f 1 :[-1,1]  , f 1 ([-1,1]) = [-1,1], sin(arcsin x) = x. f 2 (x) = arcsin(sin x), f 2 :   , f 2 (  ) = [- π / 2, π / 2 ]. Za x є [- π / 2, π / 2 ] je arcsin(sin x) = x. y = sin(arcsin x) y = arcsin(sin x) x y π / 2 -π / 2 π / 2 x y

37 Vrijedi: f 1 (x) = cos(arccos x), f 1 :[-1,1]  , f 1 ([-1,1]) = [-1,1], cos(arccos x) = x. f 2 (x) = arccos(cos x), f 2 :   , f 2 (  ) = [0, π ]. Za x є [0, π ] je arccos(cos x) = x. y = cos(arccos x) y = arccos(cos x) x y π π x y

38 Neka je Tg : (-π/ 2, π / 2 )   suženje funkcije tg. Dakle, za svaki x є (- π / 2, π / 2 ), vrijedi tg x = Tg x. Funkcija Tg je bijekcija. Definirajmo: Arctg:   (-π/ 2, π / 2 ), tako da vrijedi:  x є (- π / 2, π / 2 ), Arctg(Tg x) = x,  y є , Tg(Arctg y) = y Dakle, Tg -1 = Arctg. x y π / 2 -π / 2 y = x π / 2 -π / 2 y = tg x

39 Neka je Ctg : (0, π)   suženje funkcije ctg. Dakle, za svaki x є (0, π ), vrijedi ctg x = Ctg x. Funkcija Ctg je bijekcija. Definirajmo: Arcctg:   (0, π), tako da vrijedi:  x є (0, π ), Arcctg(Ctg x) = x,  y є , Ctg(Arcctg y) = y. Dakle, Ctg -1 = Arcctg. x y π π y = x y = ctg x

40 arctg:   , arctg x = Arctg x, arctg (  ) = (- π / 2, π / 2 ). arctg arcctg arcctg:   , arcctg x = Arcctg x, arcctg (  ) = (0, π ). x y π / 2 -π / 2 x y π

41 Uočimo: Svako suženje Sin k : [-  / 2 + k ,  / 2 + k  ]  [-1,1], k є , funkcije sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju. y = x y = sinx x y 1 1 Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!

42 Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja. Primjer: y = ctgx x y y = x

43 Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

44 Osnovna podjela elementarnih funkcija: 1.Polinomi 2.Racionalne funkcije 3.Algebarske funkcije 4.Transcendentne funkcije

45 1. Polinomi Polinom n-tog stupnja, n    { 0 }, je funkcija Pn Pn :   , Pn Pn (x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a0,a0, pri čemu su a n, a n-1,..., a 1, a 0   i a n  0 za n  .. Napomena: Ako je n = 0, onda je P 0 (x) = a 0 konstantna funkcija.

46 2. Racionalne funkcije Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Q m (x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije. Racionalna funkcija je funkcija oblika R(x) = gdje su P n (x) i Q m (x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom. Dakle, R : X  , gdje je X = D(R) =  \ { x   | Q m (x) = 0 }.

47 Ako oba polinoma P n (x) i Q m (x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojeva  onda kažemo da je R = P n /Q m racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima. prava racionalna funkcijaAko je P n polinom n-tog stupnja, a Q m polinom m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = P n /Q m prava racionalna funkcija, a ako je neprava racionalna funkcija m  n onda kažemo da je neprava racionalna funkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao R(x) = S t (x) + T k (x)/Q m (x), gdje su S t i T k polinomi t-tog, odnosno k-tog stupnja, redom, tako da je k < m.

48 Primjeri: je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija f(x) = g(x) = to nije f 1 (x) = je prava racionalna funkcija.f 2 (x) = je neprava racionalna funkcija. Dijeljenjem dobivamo: f 2 (x) =

49 3. Algebarske funkcije Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima. Primjeri: f(x) = je algebarska funkcija. g(x) = nije algebarska funkcija.

50 4. Transcendentne funkcije Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne. Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan). Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.

51 Hiperbolne funkcije f(x) = sh x, f:   , f(  ) = . f(x) = ch x, f:   , f(  ) = [1,  ]. sinus hiperbolnikosinus hiperbolni x y y = shx x y y = chx Definiramo: sh x := Definiramo: ch x := Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”.

52 f(x) = th x, f:   , f(  ) = (- 1,1). f(x) = cth x, f:  \ {0}  , f(  ) = (- ,-1)  (1,  ). tangens hiperbolnikotangens hiperbolni x y y = thx x y y = cthx Definiramo: th x :=Definiramo: cth x := th x = cth x =

53 Neke važnije veze između hiperbolnih funkcija ch 2 x - sh 2 x = 1, sh2x = 2 shx chx, ch2x = sh 2 x + ch 2 x, sh 2 x =1/2·(ch2x-1), ch 2 x =1/2·(1 + ch2x), cthx =1/thx th2x = 2thx/(1+th 2 x), ch2x =(cth 2 x+1)/2cthx sh 2 x = th 2 x/(1-th 2 x), ch 2 x = cth 2 x/(cth 2 x-1), Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!

54 Area-funkcije f(x) = arsh x, f:   , f(  ) =  area-sinus hiperbolni Funkcija sh:    je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije sh nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh. y = arshx x y y = shx y = x Može se pokazati da vrijedi arsh x = Može se pokazati da vrijedi arsh x =

55 arch: [1,  )  , arch x = Arch x, arch ([1,  )) = [0,  ). area-kosinus hiperbolni Neka je Ch: [0,  )  [1,  ) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Ch označimo s Arch.Dakle, Arch : [1,  )  [0,  ). y = archx x y y = chx y = x Može se pokazati da je arch x = Može se pokazati da je arch x =

56 f(x) = arth x, f: (-1,1)  , f ((-1,1)) = . area-tangens hiperbolni Neka je Th:   (-1,1) suženje funkcije th. Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i označavamo arth. y = arthx x y y = thx y = x Može se pokazati da vrijedi arth x = Može se pokazati da vrijedi arth x =

57 arcth: (- ,-1)  (1,  )  , arcth x = Arcth x, arcth ( (- ,-1)  (1,  ) ) =  \ {0}. area-kotangens hiperbolni Neka je Cth:  \ {0}  (- ,-1)  (1,  ), suženje funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Cth označimo s Arcth. Dakle, Arcth: (- ,-1)  (1,  )   \ {0}. y = arcthx x y y = cthx y = x Može se pokazati da vrijedi arcth x = Može se pokazati da vrijedi arcth x =

58 Još neke važnije elementarne funkcije Apsolutna vrijednost f(x) = |x|, f :   , f(  ) = [0,  ). Predznak |x| = sgn(x) = y = |x| y = sgn(x) x y x y f(x) = sgn(x), f :  \ {0}  , f(  ) = {1,- 1}. Vrijedi: sgn(x) =

59 Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla. Borka Jadrijević URL:


Κατέβασμα ppt "Elementarnefunkcije Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google