TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Παρουσίαση με θέμα: "TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Ivana Grgić, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja Karlovčec, Tanja Liber

2 Sličnost trokuta Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju po veličini, kaže se da su slični.

3 Sličnost trokuta A2 A1 B1 C1 C2 B2
Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje kutove jednake 30°, 60° i 90°. A1 B1 C1 A2 B2 C2 Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1

4 Sličnost trokuta Usporedimo li duljine onih dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot sukladnim kutovima, dobivamo:

5 Sličnost trokuta Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako: , Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.

6 Sličnost trokuta Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki. Da su trokuti slični kraće pišemo A2B2C2 ~ A1B1C1

7 Kutevi p V q Kut je uređen par (p,q) dviju zraka koje
imaju isti početak V. p V q Mjera kuta pVq je neki broj iz skupa {θ + k 360°, k Є Z}

8 Radijani Radijanska mjera kuta određuje se kao
omjer duljine luka prema polumjeru luka. θ rad = θ rad = Pretvaranje radijana u stupnjeve:

9 eksponencijalno preslikavanje!
Brojevna kružnica Svakom broju t brojevnog pravca pridružena je točka T na brojevnoj kružnici. E(t) = T To pridruživanje nazivamo eksponencijalno preslikavanje!

10 TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA
Grčki trigonon = trokut metrein = mjera

11 Trigonometrijske funkcije šiljastog trokuta
B' a a’ c c’ b’ b B β β α C' A C

12 Pravokutni trokut nasuprotna kateta priležeća kateta B A C
Prema položaju stranica a i b u odnosu na kut α, stranicu a nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu b PRILEŽEĆA KATETA. nasuprotna kateta priležeća kateta α A B C

13 Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu
sinus kosinus tangens kotangens

14 0 < sin α < 1 0 < cos α < 1
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Za svaki šiljasti kut α uvijek vrijedi: 0 < sin α < < cos α < 1 jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze. A1 B1 C1 Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.

15 Sinus i kosinus x T=E(t)=(cost, sint) sin(t) y t O P=(cost, 0) cos(t)

16 Sinus i kosinus po volji odabranog kuta
Neka je t po volji odabran realni broj, T = E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T = (cos t, sin t) Vrijednost funkcije kosinus (cos t) je apscisa, a vrijednost funkcije sinus (sin t) je ordinata točke T = E(t).

17 Temeljni identitet Za svaki realni broj t vrijedi

18 Tangens T=(1, tgt) tg(t) A(1, 0) t P O p
Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p. p

19 Kotangens ctg(t) Q=(ctgt, 1) C=(0, 1) q P O
Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q. O

20 Predznaci trigonometrijskih funkcija
Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant. Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad točka T obiđe brojevnu kružnicu. cos x sin x (1,0) (-1,0) (0,-1) T tg x ctg x (0,1)

21 Predznaci trigonometrijskih funkcija
Kako vrijedi: to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu. KVADRANT I II III IV + – sin x cos þ ý ü tg ctg

22 Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?
Parnost i neparnost Funkcija f je parna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= f (t). Ona je neparna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= -f (t). Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

23 Parnost i neparnost Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku: cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR , sinus je neparna, a kosinus parna funkcija. tangens i kotangens su neparne funkcije

24 Periodične funkcije Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji pozitivan realni broj P takav da za svaki t iz domene funkcije f vrijedi f (t) = f (t + P) Broj P zove se period funkcije f. Najmanji takav pozitivni broj (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f.

25 Periodičnost funkcija sinus i kosinus
Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus, odnosno kosinus.

26 Periodičnost funkcija sinus i kosinus
Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π. sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].

27 Periodičnost funkcija tangens i kotangens
tg (t+π) = tg t , ctg (t+π) = ctg t tg (t+kπ) = tg t , ctg (t+kπ) = ctg t . Tangens i kotangens su periodičke funkcije s periodom π.

28 GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

29 Graf funkcije sinus x y 1 -1  2 3 4 – –2

30 Graf funkcije sinus

31 Ponašanje funkcije sinus
Funkcija f(x)= sin(x) ima sljedeća svojstva: Nultočke funkcije su brojevi kπ, kЄZ. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=π/2 +2kπ, kЄZ. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=3π/2 +2kπ, kЄZ. 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je: x sin (x) π/2 1 π 3π/2 -1 2π 5. Funkcija je periodična s periodom 2π.

32 Graf funkcije kosinus x y 1 -1  2 3 4 – –2

33 Graf funkcije kosinus

34 Ponašanje funkcije kosinus
Funkcija f(x)= cos (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su brojevi π/2+kπ, kЄZ. 2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=2kπ, kЄZ. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=(2k+1)π, kЄZ. 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je: x cos (x) 1 π/2 π -1 3π/2 2π 5. Funkcija je periodična s periodom 2π

35 Graf funkcije sinus i kosinus

36 Graf funkcije tangens y  2 –2 – 1 –1 5 3 x

37 Graf funkcije tangens

38 Ponašanje funkcije tangens
Funkcija f(x)= tg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = π/2 + kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je: x tg (x) π/2 π 4. Funkcija je periodična s periodom π.

39 Graf funkcije kotangens
 2 –2 – x y 1 –1 3

40 Graf funkcije kotangens

41 Ponašanje funkcije kotangens
Funkcija f(x)= ctg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su π/2 + kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je: x ctg (x) π/2 π 4. Funkcija je periodična s periodom π.

42