Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα Φυσικής με τον υπολογιστή

2 f[t_] := 3*t + 5 Plot[f[t], {t, -1,1 },GridLines->Automatic] Η κλίση μιας ευθείας γραμμής δείχνει πόσο απότομη είναι η ευθεία σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

3 Η κλίση της f(t) υπολογίζεται από τη σχέση επιλέγοντας 2 οποιαδήποτε σημεία από τη γραφική παράσταση της ευθείας f(t 2 )=8, t 2 =1, f(t 1 )=5, t 1 =0 Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

4 Ο υπολογισμός της κλίσης μπορεί να γίνει και από τη σχέση θεωρώντας t 2 =t 1 + Δ t, t=t 1 Ο υπολογισμός της κλίσης με τη Mathematica μπορεί να γίνει θεωρώντας ένα βήμα Δ t και μια συνάρτηση Slope με βάση τον παραπάνω τύπο Δt=0.1; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

5 Μπορώ άραγε να χρησιμοποιήσω την ίδια σχέση και σε μια καμπύλη γραμμή ; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

6 Plot[f[t], {t, 0, 2*Pi}] Δt=0.1; f[t_]:=Sin[t]; Plot[Slope[t], {t, 0, 2 pi}] Ποια συνάρτηση σας θυμίζει αυτή η καμπύλη ; Η καμπύλη αυτή θυμίζει το Cos(t), όπως αναμένεται αν παραγωγίζαμε την συνάρτηση Sin(t). Υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ της κλίσης καμπύλης συνάρτησης και της παραγώγου της ; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

7 Ο κανονικός υπολογισμός της κλίσης γίνεται από την παρακάτω σχέση όπου το Δ t τείνει στο 0 Η κλίση της καμπύλης μιας συνάρτησης ταυτίζεται με την παράγωγο της Η σχέση που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα μπορεί να θεωρηθεί μια προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό της κλίσης, που ανάλογα με την τιμή του Δ t δίνει σωστά ή όχι αποτελέσματα. Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

8 1. α ). Υπολογίστε την κλίση της καμπύλης g(t)=2t 3 στο σημείο t=1.0 θεωρώντας το Δ t=1.0, 0.5, 0.1, 0.01, β ). Με τη βοήθεια της ListPlot σχεδιάστε το διάγραμμα ( Κλίσης, Δ t) γ ). Τι συμβαίνει στην αριθμητική τιμή της κλίσης καθώς το Δ t γίνεται ολοένα και μικρότερο ; δ ). Δείξτε με την εντολή Show την κλίση σε 2 ακραίες τιμές ( Δ t=10 και Δ t=0.001) σε δύο διαστήματα i). 0

9 Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα Φυσικής με τον υπολογιστή

10 Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης αποτελεί στην ουσία το εμβαδόν που περικλείεται από την συνάρτηση αυτή, τον άξονα των x και δύο κατακόρυφους άξονες στις θέσεις x= α και x= β. Ένας πρακτικός τρόπος υπολογισμού του εμβαδού αυτού είναι η διαίρεση του διαστήματος [ α, β ] σε μικρά ίσα διαστήματα και στη συνέχεια να θεωρήσουμε το εμβαδόν σαν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων που σχηματίζονται. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

11 Η ερώτηση που πηγάζει είναι γιατί να προσπαθώ να υπολογίσω αριθμητικά ολοκληρώματα από τη στιγμή που τελικά η Mathematica κάνει όλη τη δουλειά ; Πέρα από τον καθαρά εκπαιδευτικό χαρακτήρα της άσκησης υπάρχουν και προβλήματα όπου δίνονται πειραματικά αποτελέσματα και δεν είναι δυνατή η εύρεση της συνάρτησης f(x), όποτε είμαστε αναγκασμένοι να καταφύγουμε σε αριθμητικές λύσεις. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

12 Και την αριθμητική του προσέγγιση Έχουμε λοιπόν το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)=x 3 από 0 ως 1 Εύκολα μπορεί να δοκιμάσει κανείς και να δει ότι ανεβάζοντας τον αριθμό των βημάτων Num, η αριθμητική προσέγγιση για το ολοκλήρωμα πλησιάζει την τιμή 0.25, ολοένα και με αργότερο ρυθμό. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

13 Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιήσει και μια διαφορετική προσέγγιση ( μεσαίας τιμής ) με λίγο καλύτερα αποτελέσματα Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

14 Τι γίνεται σε περιπτώσεις όπου έχουμε εμβαδόν κάτω από τον άξονα των x; Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

15 1. α ). Υπολογίστε με τις δύο προσεγγιστικές μεθόδους το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη f(x)=x 4 από x=1 ως x=4 θέτοντας τον αριθμό των βημάτων Ν =40. β ). Υπολογίστε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα. γ ). Ποια από τις δύο προσεγγιστικές μεθόδους δίνει καλύτερο αποτέλεσμα ; 2). α ). Υπολογίστε με τη δεύτερη προσεγγιστική μέθοδο από t=1 ως t=4 ( μεσαίας τιμής ) το εμβαδόν της καμπύλης g(t)=4t 3 για Ν =30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. β ). Σχεδιάστε την αντίστοιχη καμπύλη. γ ). Τι παρατηρείτε ; 3). Το έργο μιας δύναμης δίνεται από το ολοκλήρωμα της δύναμης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα έργου - απομάκρυνσης για τις εξής δυνάμεις F=-Kx, F=-1/2 Kx 2, F=KCos(x) για x από -1 μέχρι 1 και Κ =100 και να υπολογίσετε το έργο κάθε δύναμης αλλά και το συνολικό έργο. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης


Κατέβασμα ppt "Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google