Εμβαδόν Παραβολικού Χωρίου Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)=x 2, τον άξονα.

Παρουσίαση με θέμα: "Εμβαδόν Παραβολικού Χωρίου Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)=x 2, τον άξονα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εμβαδόν Παραβολικού Χωρίου Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)=x 2, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=0 και x=1

2

3 Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν •Χωρίζουμε το [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Δx=1/ν •Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε κάθε ένα από αυτά

4

5 •Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα s ν των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. s ν = f(0)1/ν +f(1/ν)1/ν +f(2/ν)1/ν+…+f(ν-1/ν)1/ν =1/ν (f(0)+f(1/ν)+f(2/ν)+…+f(ν-1/ν) =1/ν(0 2 +1 2 /ν 2+ 2 2 /ν 2 +... +(ν-1) 2 /ν 2 ) =1/ν 3 (1 2 +2 2 +3 2 +.... +(ν-1) 2 ) =1/6ν 3 [(ν-1)ν(2ν-1)] s ν =(2ν 2 -3ν+1)/6ν 2

6 •Μια ακόμη προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα S ν των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Ομοίως αποδεικνύεται ότι S ν = (2ν 2 +3ν+1)/6ν 2

7 •Το ζητούμενο όμως,εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των s ν και S ν. Δηλαδή ισχύει s ν ≤ E≤ S ν

8 Το μαθηματικό του έργο βρισκόταν πιο μπροστά από την εποχή του

9 •Οι πρωτοποριακές του μέθοδοι γέννησαν τον Απειροστικό λογισμό. •Αν τα έργα του είχαν προωθηθεί νωρίτερα ο τομέας της Ανάλυσης θα είχε αναπτυχθεί πολύ νωρίτερα από τον 17μΧ.αιώνα.

10

11 Mη μου τους κύκλους τάραττε

12

13 Αν,σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο ξ κ, κ=1,2,3,... ν τότε το άθροισμα S ν =f(ξ 1 )Δx+ f(ξ 2 )Δx+… f(ξ k )Δx=

14

15 Αποδεικνύεται ότι το όριο του αθροίσματος S ν, υπάρχει στο R και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β. Δηλαδή

16 •Θεώρημα:Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και αν η F είναι η παράγουσα της f στο διάστημα [α,β] τότε :

17 Θα μπορούσε να σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω διαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f •Μια ακόμη προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα S ν των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή το S ν = f(1/ν)1/ν +f(2/ν)1/ν+…+f(ν/ν)1/ν =1/ν (f(1/ν)+f(2/ν)+…+f(ν/ν)) =1/ν(1 2 /ν 2+ 2 2 /ν 2 +... +(ν 2 /ν 2 ) =1/ν 3 (1 2 +2 2 +3 2 +.... +ν 2 ) =1/6ν 3 [(ν(ν+1)(2ν+1)]=(2ν 2 +3ν+1)/6ν 2

18

19 Προσθέτοντας τα κατά μέλη καταλήγουμε: