Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πολυώνυμα Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Μονώνυμα 2.Πολυώνυμα 3.Αριθμιτική τιμή πολυωνύμων 4.Πράξεις πολυωνύμων 5. Διαίρεση πολυωνύμου Μικροπείραμα.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πολυώνυμα Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Μονώνυμα 2.Πολυώνυμα 3.Αριθμιτική τιμή πολυωνύμων 4.Πράξεις πολυωνύμων 5. Διαίρεση πολυωνύμου Μικροπείραμα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πολυώνυμα Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Μονώνυμα 2.Πολυώνυμα 3.Αριθμιτική τιμή πολυωνύμων 4.Πράξεις πολυωνύμων 5. Διαίρεση πολυωνύμου Μικροπείραμα 1

2 Μονώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αχ ν όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Για Παράδειγμα

3 Οι παραστάσεις: 3χ 3, ( -2/5)χ 5, 0χ 4 και οι αριθμοί 2, -3, 0 είναι μονώνυμα του χ. Οι παραστάσεις: 3χ 3, ( -2/5)χ 5, 0χ 4 και οι αριθμοί 2, -3, 0 είναι μονώνυμα του χ.

4 Πολυώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής: Πολυώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής: α ν χ ν +α ν-1 χ ν α 1 χ+α 0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α i είναι πραγματικοί αριθμοι. α ν χ ν +α ν-1 χ ν α 1 χ+α 0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α i είναι πραγματικοί αριθμοι. Τα πολυώνυμα της μορφής α 0 λέγονται σταθερά πολυώνυμα Τα πολυώνυμα της μορφής α 0 λέγονται σταθερά πολυώνυμα Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο, έτσι για Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο, έτσι για Παράδειγμα

5 Οι παραστάσεις 3χ 3 +2χ 2 –χ+2, 0χ 2 -5χ+1, και οι αριθμοί 2, 0 κτλ. Είναι πολυώνυμα τουχ. Οι παραστάσεις 3χ 3 +2χ 2 –χ+2, 0χ 2 -5χ+1, και οι αριθμοί 2, 0 κτλ. Είναι πολυώνυμα τουχ.

6 Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα εάν έχουν όλους τους συντελεστές του χ και τον σταθερό όρο ίσους Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα εάν έχουν όλους τους συντελεστές του χ και τον σταθερό όρο ίσους Για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο ο μεγαλύτερος εκθέτης λέγεται βαθμός του πολυωνύμου έτσι για Για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο ο μεγαλύτερος εκθέτης λέγεται βαθμός του πολυωνύμου έτσι για Παράδειγμα

7 Τα πολυώνυμα οχ 4 +0χ 3 +2χ 2 –χ+2 και 2χ 2 –χ+2 είναι ίσα. Ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2 Τα πολυώνυμα οχ 4 +0χ 3 +2χ 2 –χ+2 και 2χ 2 –χ+2 είναι ίσα. Ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2

8 Αριθμητική τιμή πολυωνύμου Εστω ένα πολυώνυμο P(x) Aν αντικαταστήσουμε το χ με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός Ρ(ρ) που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ Εστω ένα πολυώνυμο P(x) Aν αντικαταστήσουμε το χ με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός Ρ(ρ) που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ Αν είναι Ρ(ρ)=0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για Αν είναι Ρ(ρ)=0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για Παράδειγμα

9 Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ)=-χ 3 +2χ 2 +4χ+1, για χ=1 είναι Ρ(1)= =6, ενώ για χ=-1 είναι Ρ(-1)=0 που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ). Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ)=-χ 3 +2χ 2 +4χ+1, για χ=1 είναι Ρ(1)= =6, ενώ για χ=-1 είναι Ρ(-1)=0 που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ).

10 Πράξεις με πολυώνυμα Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώνας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώνας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Για τον βαθμό του πολυωνύμου αποδεικνύεται ότι: Για τον βαθμό του πολυωνύμου αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΗ 2 ΕΡΩΤΗΣΗ 3ΑΣΚΗΣΗ 3

12 Να βρεθούν οι τιμές του λ Ε R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(χ)= (λ 2 -2)χ 3 +(λ 2 -3λ+2)χ+λ-2 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Να βρεθούν οι τιμές του λ Ε R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(χ)= (λ 2 -2)χ 3 +(λ 2 -3λ+2)χ+λ-2 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ΛΥΣΗ

13 Το Ρ(χ) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: Το Ρ(χ) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ 2 -2=0, λ 2 -3λ+2=0 και λ-2=0 λ 2 -2=0, λ 2 -3λ+2=0 και λ-2=0 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι λ=2. Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι λ=2.

14 Αν Ρ(χ) = χ 2 +4χ+α-1, να βρεθούν οι τιμές του α Ε R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1)=1. Αν Ρ(χ) = χ 2 +4χ+α-1, να βρεθούν οι τιμές του α Ε R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1)=1. ΛΥΣΗ

15 Εχουμε Ρ(-1)=1  (-1) 2 +4(-1)+α-1=1  1-3+α-1=1  α=5 Εχουμε Ρ(-1)=1  (-1) 2 +4(-1)+α-1=1  1-3+α-1=1  α=5 ΠΙΣΩ

16 Το μηδενικό πολυώνυμο στερείται βαθμού; Το μηδενικό πολυώνυμο στερείται βαθμού;

17 Δύο μη μηδενικά ίσα πολυώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό; Δύο μη μηδενικά ίσα πολυώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό;

18 Αν το ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ), τότε το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο Q(χ)=Ρ(2χ-1)+2χ-2 Αν το ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ), τότε το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο Q(χ)=Ρ(2χ-1)+2χ-2

19 Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρ Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ γράφεται Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ) Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ γράφεται Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ) ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το χ-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ. Είναι δηλ. υ=Ρ(ρ) ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το χ-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ. Είναι δηλ. υ=Ρ(ρ) ΘΕΩΡΗΜΑ Ενα πολυωνύμου Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0. ΘΕΩΡΗΜΑ Ενα πολυωνύμου Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0. ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

20 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ,μ για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ(χ)=χ 3 +λχ 2 +μχ+4 έχει ρίζα τον αριθμό 2 και για χ=1 παίρνει την τιμή 8 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ,μ για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ(χ)=χ 3 +λχ 2 +μχ+4 έχει ρίζα τον αριθμό 2 και για χ=1 παίρνει την τιμή 8 ΛΥΣΗ

21 Ρ(2)=0 και Ρ(1)=8 Ρ(2)=0 και Ρ(1)= λ2 2 +μ2+4=0 και 2 3 +λ2 2 +μ2+4=0 και 1 3 +λ1 2 +μ1+4=8 και 1 3 +λ1 2 +μ1+4=8 και στην συνέχεια λύνουμε στην συνέχεια λύνουμε το σύστημα. το σύστημα. Ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(χ) Καλείται κάθε πραγματικός Αριθμός ρ για τον οποίο Ισχύει:Ρ(ρ)=0

22 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα χ+2 και χ-1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου Ρ(χ)=χ 3 +χ 2 –χ+2 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα χ+2 και χ-1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου Ρ(χ)=χ 3 +χ 2 –χ+2 Λύση

23 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + 2 και x - 1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου P(x) = x 3 + x 2 - x + 2. Το x + 2 γράφεται x - (-2). Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)2 - (-2) + 2 = 0, το -2 είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x + 2 είναι παράγοντας του Ρ(x). Επειδή P(1) = = 3 ≠ 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x - 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x).

24 Διαίρεση πολυωνύμων Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P(x) = 3x 3 - 8x 2 + 7x + 2 με ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P(x) = 3x 3 - 8x 2 + 7x + 2 με ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ.

25 Παράδειγμα

26 Ασκηση

27 Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ 2 x 3 + (λ - 2)x και R(x) = (5λ - 6)x 3 + (λ 2 - 4)x 2 + λ + 1είναι ίσα. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ 2 x 3 + (λ - 2)x και R(x) = (5λ - 6)x 3 + (λ 2 - 4)x 2 + λ + 1είναι ίσα. Λύση

28 Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ 2 = 5λ - 6, λ - 2 = λ και 3 = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 2. Επομένως για λ = 2 τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα.

29

30 Διάλειμμα

31


Κατέβασμα ppt "Πολυώνυμα Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Μονώνυμα 2.Πολυώνυμα 3.Αριθμιτική τιμή πολυωνύμων 4.Πράξεις πολυωνύμων 5. Διαίρεση πολυωνύμου Μικροπείραμα."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google