Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα

2 2 Εισαγωγή (1) Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους. 2. Είναι συνδεδεμένο και έχει n-1 ακμές. 3. Δεν έχει κύκλους και έχει n-1 ακμές. 4. Είναι συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο. 5. Αν υπάρχει ένα μόνο μονοπάτι μεταξύ δύο οποιονδήποτε κόμβων.

3 3 Εισαγωγή (2) Εκκεντρικότητα: μέγιστη απόσταση ενός κόμβου από τον πλέον απομακρυσμένο κόμβο του γραφήματος. Κέντρο: υπογράφημα που επάγεται από κόμβους με την μικρότερη εκκεντρικότητα. Ακτίνα: η εκκεντρικότητα του κέντρου. Διάμετρος: το μήκος του μακριότερου (μεγαλύτερου) μονοπατιού. Ακτίνα ≤ Διάμετρος

4 4 Εισαγωγή (3) Πόρισμα: Ένα δάσος (δένδρων) με n κόμβους και k συνιστώσες δένδρα, έχει n-k ακμές. Θεώρημα: Ένα δένδρο έχει κέντρο που αποτελείται από 1 ή 2 κόμβους.

5 5 Ποσοτικά Στοιχεία Μη αύξουσα ακολουθία S: d 1, d 2, d 3, …, d n e T, αν di θετικός αριθμός και ισχύει: Σ i=1..n di =2(n-1) [αναγκαία, όχι ικανή συνθήκη] Σε κάθε δένδρο υπάρχουν τουλάχιστον 2 εκκρεμείς ακμές. (2m = 2n-2)

6 6 Θεώρημα : Τ n κόμβων => n-1 ακμές

7 7 Απαρίθμηση Δένδρων (1) 1857 Cayley C k H 2k+2, # ισομερών n = k + 2k + 2 = 3k + 2 m = ½(Σd(v)) = ½(4k+2k+2) = 3k+1 Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών δένδρων με επιγραφές που έχει n κόμβους είναι n n-2 (10 αποδείξεις). (K n => # σκελετικών δένδρων = n n-2 )

8 8 Απαρίθμηση Δένδρων (2) Απόδειξη Cayley: Επιγράφουμε τους κόμβους του δένδρου με 1, 2,..., n. Βρίσκουμε την εκκρεμή ακμή με τη μικρότερη επιγραφή, έστω a 1. Τη διαγράφουμε και έστω b 1 η γειτονική της. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία στο υπογράφημα που μένει. Έτσι, μετά από n-2 διαγραφές, το δένδρο εκφυλίζεται σε μία ακμή, και έχουμε δημιουργήσει S: (b 1, b 2,..., b n-2 ).

9 9 Απαρίθμηση Δένδρων (3) Απόδειξη Cayley: Ωστόσο, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα δένδρο Τ κατά μοναδικό τρόπο από την S=(b 1, b 2,..., b n-2 ) που περιέχει μη- εκκρεμείς κόμβους. Έστω, L = (1, 2, …, n). Επιλέγουμε την μικρότερη επιγραφή, έστω l 1, από την L που δεν είναι στην S. Η ακμή (l 1, s 1 ) ανήκει στο Τ. Διαγράφουμε l 1 από L και s 1 από S. Επαναλαμβάνουμε με τα νέα L και S. Κάθε στοιχείο της ακολουθία b 1, b 2,..., b n-2, μπορεί να πάρει τιμές 1≤ b i ≤ n (όπου 1 ≤ i ≤ n-2) => n n-2. (Prüfer, 1918)

10 10 Απαρίθμηση Δένδρων (4) Άσκηση: 4, 3, 5, 3, 4, 5 Θεώρημα: Το πλήθος των διακριτών ριζομένων δένδρων (rooted trees) με n κόμβους είναι n n-1.

11 11 Απαρίθμηση Δένδρων (5) Τελικά ποιά είναι τα ισομερή; Παράδειγμα, για το βουτάνιο C 4 H 10 (δε φαίνονται τα άτομα του Η) n-βουτάνιοισο-βουτάνιο

12 12 Ζευγνύoντα Δένδρα (1) Θεώρημα: Κάθε συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον ένα ζευγνύον δένδρο. Ερώτηση: Πόσα ζευγνύοντα δένδρα έχει ένας γράφος; Θεώρημα: Σε πλήρη γράφο K n υπάρχουν n n-2 διακριτά ζευγνύοντα δένδρα.

13 13 Ζευγνύoντα Δένδρα (2) Θεώρημα: Σε διμερή γράφο Κ m,n ο αριθμός των διακριτών ζευγνυόντων δένδρων είναι m n-1 n m-1. Θεώρημα: K 2,n  n 2 n-1

14 14 Ζευγνύoντα Δένδρα (3) Θεώρημα: K 3,n  n 2 3 n-1 a b c a b c x y z (α) (β) (α): n 3 n-1 (β): 6n(n-1)/2 3 n-2 = n(n-1) 3 n-1 Μονοπάτια μήκους 2 Μονοπάτια μήκους 4

15 15 Ζευγνύoντα Δένδρα (4) Θεώρημα: (Matrix-tree theorem) – Kirchoff Α: πίνακας γειτνίασης C: πίνακας βαθμών C-A: διαφορά πινάκων B ij =(C-A) ij : ελάσσων πίνακας (-1) i+j |B ij |: συμπαράγοντας Το πλήθος των ζευγνυόντων δένδρων ισούται με συμπαράγοντα

16 16 Ζευγνύoντα Δένδρα (5) Θεμελιώδες κύκλωμα: Ένας κύκλος που δημιουργείται από ένα ζευγνύον δένδρο και μια χορδή. Σύνολο χορδών: m-n+1 G = T U T Αριθμός θεμελιωδών κυκλωμάτων: m-n+1 Κυκλικές εναλλαγές  παράγουμε όλα τα ζευγνύοντα δένδρα.

17 Επιλέγουμε ένα σκελετικό δέντρο Τ Εισάγουμε μια ακμή  Ci θεμελιώδεις κύκλωμα Διαγράφοντας μια-μια ακμή του Ci παράγονται Τ 1, Τ 2,…Τ Κ σκελετικά δέντρα Εισάγουμε νέα ακμή  C i+1 17 Μέθοδος Κυκλικών ΑνταλλαγώνG T Τυχαία επιλογή του Τ  παράγονται όλα τα σκελετικά δέντρα του G

18 18 Ζευγνύoντα Δένδρα (6) Απόσταση ζευγνυόντων δένδρων = πλήθος ακμών που ανήκουν στο ένα δένδρο αλλά όχι στο άλλο. dist(T i, T j ) = dist(T j, T i ) dist(T i, T j ) ≥ 0, εκτός αν dist(T i, T i )=0 dist(T i, T j ) ≤ dist(T j, T u )+ dist(T u, T j ) Κεντρικό: λέγεται ένα ζευγνύον δένδρο T 0 αν max(dist(T 0, T j )) ≤ max(dist(T, T j )) για κάθε Τ ζευγνύον δένδρο του G. Ζυγισμένα δένδρα: Εύρεση ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Prim & Kruskal.


Κατέβασμα ppt "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google