Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 Μ ΟΝΟΠΑΤΙΑ Κ ΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 Μ ΟΝΟΠΑΤΙΑ Κ ΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 Μ ΟΝΟΠΑΤΙΑ Κ ΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1

2 Περίπατος (walk): ακολουθία από κόμβους και ακμές. Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Μονοπάτι (path): ίχνος που ένας κόμβος δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού. Τερματικοί και εσωτερικοί κόμβοι. Εισαγωγή (1) 2

3 Εισαγωγή (2) 3

4 Αποστάσεις (1) P n = μονοπάτι με n κόμβους Πλήθος Ακμών (κόμβων)

5 Αποστάσεις (2) 5

6 rad(G)=2 diam(G)=4 Αποστάσεις (3) 6 v H

7 Αποστάσεις (4) 7

8 x y z z : κόμβος του κέντρου Αποστάσεις (5) 8

9 Αποστάσεις (6) Κέντρο: το υπογράφημα με την ελάχιστη εκκεντρικότητα 9

10 dist(y) : Κέντρο και Μέσο ενός Γραφήματος

11 Γραφήματα για το πρόβλημα του ταχυδρομείου Γράφημα για επίδειξη διαφοράς κέντρου και μέσου 11 Κέντρο και Μέσο ενός Γραφήματος

12 Leonard Euler, Ελβετός, πατέρας Θεωρίας Γραφημάτων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφημα να βρεθεί κύκλωμα (= κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Eulerian γράφημα: περιέχει γραμμή Euler Semi-Eulerian γράφημα: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler Ψυχαγωγικά προβλήματα, μονοκονδυλιές περιέχει κλειστό ίχνος (κύκλωμα) περιέχει ανοικτό ίχνος (μονοπάτι) Γραφήματα Euler (1) 12

13 Γραφήματα Euler (2) 13

14 G-E(T i ) TiTi Αλγόριθμοι Εύρεσης Κύκλων Euler (1) 14

15 Αλγόριθμοι Εύρεσης Κύκλων Euler (2) 15

16 Γράφημα για Αλγόριθμο Tucker Αλγόριθμοι Εύρεσης Κύκλων Euler (3) 16

17 Αρχικά: (α) 1  2  5  1 (β) 5  4  6  5 (γ) 2  3  4  2 Τελικά: 1  2  3  4  2  5  4  6  5 Αλγόριθμοι Εύρεσης Κύκλων Euler (4) 17

18 Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, πρέπει να περάσει απ’ όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του, το συντομότερο !!!! Θεωρούμε απλό γράφημα (όχι έμβαρο) και αναζητούμε Eulerian διαδρομή. Αν το γράφημα δεν είναι Eulerian, τότε πρέπει κάποιες ακμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι |Ε| ≤ l ≤ 2|Ε| Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) 18

19 Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (2) 19

20 Hamiltonian Γραφήματα (1) 20

21 Hamiltonian Γραφήματα (2) 21

22 Hamiltonian Γραφήματα (3) 22

23 Hamiltonian Γραφήματα (4) 23

24 Hamiltonian Γραφήματα (5) 24

25 Πίνακας reachability (πολλαπλασιασμός πινάκων και concatenation των εισόδων) Προκύπτει πίνακας μετά από n-1 πολλαπλασιασμούς Ελέγχεται αν οι είσοδοι αυτού είναι Hamiltonian μονοπάτια/κύκλοι Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 25

26 Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί πινάκων Μ i = M i-1 * M, 1 < i < n 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 M M 1 ABCDEABCDE Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 26

27 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 Για κάθε στοιχείο του Μ i ισχύει: Μ i (r, s) = Σ t=1,n M i-1 (r, t) * M(t, s), 1 < i < n Το σύμβολο * δηλώνει παράθεση των αντίστοιχων στοιχείων των Μ i-1 και M, αν κανένα από τα δύο στοιχεία δεν είναι 0, και το σύμβολο του Μ δεν συμπεριλαμβάνεται στην αντίστοιχη συμβολοσειρά του Μ i-1. Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 ABCDEABCDE M M 1 27

28 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 M 1 M Μ 2 = M 1 * M, Για το (1, 3) του Μ 2  Μ 2 (1, 3) = Σ t=1,5 M 1 (1, t) * M(t, 3) __________________________________________________________________________________________________ 0 ΑΒ C ΑΒC * Γραμμή 1 του Μ 1 Στήλη 3 του Μ Στοιχείο (1,3) του Μ 2 Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 28

29 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 M 1 M * 00ABC00 000BCDBCE CEACEB0CEDCDE DEADEB000 0EABEBC00 M2M2 Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 29

30 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 M 1 M * 000ABCEDABCDE BCDEA0BC00 0CDEAB000 00DEABC00 000EABDC0 M4M4 Αλγόριθμος Εύρεσης Κύκλου Hamilton 30

31 Περιοδεύων Πωλητής 31

32 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (1) Επίλυση με ευριστικές υποβέλτιστες λύσεις Μέτρο σύγκρισης είναι η ποσότητα 1 ≤ L / L opt = a 32

33 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (2) 33

34 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (3) 34

35 Μέθοδος με ελάχιστα ζευγνύοντα δένδρα (3,1,2,4,5,6,3) βάρος 212 Μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές κορυφών (3,4,5,6,1,2,3)βάρος 237 (3,6,5,4,1,2,3)βάρος 210 (3,6,5,4,2,1,3)βάρος 193 (3,6,1,2,4,5,3)βάρος 192 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (4) 35

36 Μέθοδος πρακτικής εύρεσης κάτω ορίου σε πρόβλημα tsp: Θεωρούμε ελάχιστο ζευγνύον δένδρο στο γράφημα G-v Λαμβάνουμε δύο ακμές προσπίπτουσες στο v με ελάχιστο βάρος και εισάγουμε mst (minimum spanning tree) Aν v = 5, τότε w(T) = 122, = 178 κάτω όριο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (5) 36

37 Οι κόμβοι είναι σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ οι ακμές ενώνουν κορυφές σε απόσταση 1 Σε άπειρο γράφημα δεν υπάρχει Eulerian κύκλωμα ή Hamiltonian κύκλος, αλλά υπάρχουν τα αντίστοιχα μονοπάτια Μονοδρομικό (one-way) Eulerian/Hamiltonian μονοπάτι είναι το μονοπάτι που ξεκινά από μία κορυφή και επεκτείνεται επ’άπειρο (space filling curve) Άπειρα Γραφήματα (1) 37

38 Peano/z-order Hilbert Άπειρα Γραφήματα (2) 38

39 Γραμμές, στήλες και διαγώνιοι έχουν ίσο άθροισμα Μεγάλη προϊστορία/ιστορία-Dührer Μαγικά Τετράγωνα (1) 39

40 Αλγόριθμοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων (περιττής τάξης): Μέθοδος Bachet (με ρόμβο) Με το τέχνασμα των τριών τυχαίων αριθμών (π.χ. 3,2,5) Αντικαθιστώντας τους περιττούς αριθμούς 3-17 στις θέσεις 1-9 Προσθέτοντας σε κάθε θέση τον ίδιο αριθμό Μαγικό λέγεται το γράφημα όπου το άθροισμα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι ίσο περιττής τάξης Μαγικά Τετράγωνα (2) 40

41 Μαγικά Τετράγωνα (3)  Μέθοδος Bachet 41

42  Μέθοδος Bachet Μαγικά Τετράγωνα (4) 42

43 Θεώρημα: αν ένας διμερές γράφημα μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 Hamiltonian κύκλους, τότε το γράφημα είναι μαγικό Αντιμαγικό λέγεται το γράφημα όπου τα αθροίσματα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι άνισα Πλήθος μαγικών αντικειμένων (ομόκεντρα τετράγωνα, τετράγωνα με ντόμινο, πολύγωνα κλπ) Μαγικά Τετράγωνα (5) 43

44 Κίνηση αλόγων (knight tour) σε σκακιέρα ή κάθε είδους πλαίσιο Hamiltonian μονοπάτια και κύκλοι DeMoivre (κίνηση περιμετρικά) Εuler (μαγικό τετράγωνο), κλπ Τοποθέτηση προσώπων σε τραπέζι Θεώρημα: για διαφορετικούς Hamiltonian κύκλους: (n-1)/2 Στιγμιαία παραφροσύνη Εφαρμογές 44


Κατέβασμα ppt "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 Μ ΟΝΟΠΑΤΙΑ Κ ΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 1."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google