Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων 3

2 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παραδείγματα καμπυλόγραμμων (μη καρτεσιανών) συντεταγμένων Σφαιρικές συντεταγμένες ΜαθηματικάΓεωδαισία

3 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Τοπική βάση (στο P) Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς λ ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς φ ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς r Καρτεσιανή βάση (στο Ο) Διάνυσμα θέσης

4 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων Καρτεσιανή βάση (στο Ο) Τοπική βάση (στο P)

5 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Τοπική βάση (στο P) Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

6 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η τοπική βάση είναι ορθογώνια ! Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

7 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

8 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η τοπική βάση είναι ορθογώνια αλλά δεν είναι κανονική ! Μη ορθοκανονική τοπική βάση ! Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

9 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η τοπική βάση των σφαιρικών συντεταγμένων

10 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων Ιακωβιανός πίνακας J = πίνακας μετατροπής από την καρτεσιανή στην τοπική βάση Οι στήλες του Ιακωβιανού πίνακα J είναι οι καρτεσιανές συνιστώσες των διανυσμάτων της τοπικής βάσης

11 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ιακωβιανός πίνακας Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων

12 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων

13 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση συνιστώσες του διανύσματος ως προς την καρτεσιανή βάση Ο Ιακωβιανός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων

14 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ο μετρικός πίνακας των σφαιρικών συντεταγμένων Σχέση μετρικού και Ιακωβιανού πίνακα όπως ήδη έχει υπολογιστεί από τα εσωτερικά γινόμενα

15 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες q 1, q 2, q 3, στον Ευκλείδειο χώρο: ορίζονται μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων x 1, x 2, x 3, από σχέσεις της μορφής: ή (κυρίως) Τοπική βάση συνδεδεμένη με τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

16 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων καμπύλη κάθε συντεταγμένης : από τη μεταβολή της συντεταγμένης διατηρώντας τις άλλες δύο σταθερές = καρτεσιανή βάση του συστήματος αναφοράς = διάνυσμα θέσης = τοπική βάση του καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων: q 2, q 3 = σταθ. q 1, q 3 = σταθ. q 1, q 2 = σταθ. Τοπική βάση συνδεδεμένη με τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

17 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του λ = παράλληλος κύκλος

18 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του φ = μεσημβρινός κύκλος

19 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες καμπύλη του r = ακτινική ευθεία

20 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του φ φ =σταθερό

21 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του λ λ =σταθερό = μεσημβρινό επίπεδο

22 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Παράδειγμα: σφαιρικές συντεταγμένες επιφάνεια του r r = σταθερό = επιφάνεια κύκλου

23 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σχέση τοπικής βάσης με την βάση του συστήματος αναφοράς Πίνακας μετατροπής από την καρτεσιανή βάση στην τοπική βάση J = Ιακωβιανός πίνακας

24 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σχέση συνιστωσών στην τοπική βάση με τις καρτεσιανές συνιστώσες τυχόν διάνυσμα v 0 = καρτεσιανές συνιστώσες v = συνιστώσες στην τοπική βάση αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης: μετατροπή από τη καρτεσιανή στην τοπική βάση μετατροπή από τις καρτεσιανές στις τοπικές συντεταγμένες

25 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης σε κάθε σημείο Εφαπτόμενο διάνυσμα σε καμπύλη = συνάρτηση περιγραφής καμπύλης = ελεύθερα μεταβαλλόμενη παραμέτρος = διάνυσμα θέσης σημείου P στην καμπύλη

26 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Τοπική βάση = Εφαπτόμενα διάνυσμα στις καμπύλες των συντεταγμένων καμπύλη q 1 q 2, q 3 = σταθερά καμπύλη q 2 q 3, q 1 = σταθερά καμπύλη q 3 q 1, q 2 = σταθερά

27 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μήκος τμήματος καμπύλης Συνήθης απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : αντί για Ερμηνεία: t = χρόνος, v = ταχύτητα

28 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μήκος τμήματος καμπύλης – καρτεσιανές συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Συνήθης απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

29 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μήκος τμήματος καμπύλης – καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

30 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μήκος τμήματος καμπύλης – καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Μετρικός πίνακας «Μετρά» τα μήκη καμπυλών Μήκος τμήματος καμπύλης:

31 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μετρικός πίνακας Μήκος διανύσματος της τοπικής βάσης : Μετρικός πίνακας

32 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Προσδιορισμός του μετρικού πίνακα από τις σχέσεις ορισμού των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων x = x(q)

33 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες = = κάθετα τοπικά διανύσματα βάσης σε κάθε σημείο (για i  k ) Μετρικός πίνακας G = διαγώνιος τετραγωνική ρίζα:

34 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ανάλυση του πίνακα μετασχηματισμού ορθογωνίων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε πίνακα στροφής και πίνακα μεταβολής των μηκών των διανυσμάτων βάσης ορθογώνια τοπική βάση ορθοκανονική καρτεσιανή βάση ενδιάμεση τοπική βάση (ορθοκανονική) πίνακας στροφής (ορθογώνιος)

35 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σχέση μεταξύ συνιστωσών διανύσματος Υπολογισμός πίνακα στροφής R πρώτα στροφή ( R ή R Τ ) μετά αλλαγή μηκών ( G -1/2 ή G 1/2 ) πρώτα αλλαγή μηκών ( G 1/2 ή G - 1/2 ) μετά στροφή ( R Τ ή R )

36 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου υπολογισμός όταν είναι γνωστός ο από την παραγώγιση των σχέσεων υπολογισμός όταν είναι γνωστός ο από την παραγώγιση των σχέσεων Όμως ο πίνακας στροφής μπορεί να υπολογιστεί και απευθείας με βάση τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του συστήματος συντεταγμένων

37 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

38 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

39 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σφαιρικές συντεταγμένες (ορθογώνιες)

40 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Eπαλήθευση της σχέσης Σφαιρικές συντεταγμένες για

41 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Αντίστροφη σχέση Σφαιρικές συντεταγμένες

42 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σχέση καρτεσιανών συντεταγμένων και σφαιρικών Σφαιρικές συντεταγμένες

43 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες καμπύλη λ καμπύλη ρ καμπύλη z

44 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια λ = σταθερό

45 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια z = σταθερό

46 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες επιφάνεια ρ = σταθερό

47 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες

48 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες Ιακωβιανός πίνακας

49 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες Ιακωβιανός πίνακας Αντίστροφος Ιακωβιανός πίνακας

50 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Κυλινδρικές συντεταγμένες Μετρικός πίνακας Πίνακας στροφής

51 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γεωδαιτικές συντεταγμένες καμπύλη h καμπύλη  καμπύλη λ λ = γεωδαιτικό μήκος = σφαιρικό μήκος  = γεωδαιτικό πλάτος  σφαιρικό πλάτος φ h = γεωδαιτικό ύψος (κατά μηκος της καθέτου στο ΕΠ ΕΠ = Ελλειψοειδές Αναφοράς

52 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γεωδαιτικές συντεταγμένες Μεσημβρινή έλλειψη

53 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γεωδαιτικές συντεταγμένες

54 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Γεωδαιτικές συντεταγμένες γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος  και γεωδαιτικό ύψος h σχετίζονται με ένα πεπλατυσμένο ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ελλειψοειδές αναφοράς) Παράμετροι σχήματος ελλειψοειδούς: a, b ή a, e a, b = ημιάξονες της γενεσιουργού έλλειψης (περιστροφή γύρω από τον b ), e = εκκεντρότητα Σχέση γεωδαιτικών και καρτεσιανών συντεταγμένων : Μ = ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής έλλειψης Ν = ακτίνα καμπυλότητας της κάθετης στο μεσημβρινό επίπεδο τομής στο P 0 (κάθετη προβολή του P στο ελλειψοειδές)

55 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Βοηθητικές σχέσεις για τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα

56 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ο Ιακωβιανός πίνακας των γεωδαιτικών συντεταγμένων 1η στήλη Ιακωβιανού 2η στήλη Ιακωβιανού 3η στήλη Ιακωβιανού

57 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μετρικός πίνακας: Πίνακας στροφής: Πίνακας μεταβολής μηκών: Ιακωβιανός πίνακας: Αντίστροφος Ιακωβιανός : Ο Ιακωβιανός πίνακας των γεωδαιτικών συντεταγμένων ορθογώνιες συντεταγμένες !

58 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G

59 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ορθογώνιες συντεταγμένες ! Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G

60 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπολογισμός του μετρικού πίνακα G

61 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διαχωρισμός του διανύσματος των καρτεσιανών συντεταγμένων x 0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβολής P 0 του σημείου P πάνω στο ελλειψοειδές αναφοράς x0x0 P0P0 P m m = μοναδιάιο διάνυσμα κάθετο στο ελλειψοειδές αναφοράς στο σημείο P 0

62 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ελλειψοειδείς συντεταγμένες Μεσημβρινή τομή: ομοεστιακές ελείψεις (με τις ίδιες εστίες F και F) Oρισμός έλειψης: σημεία P με |FP|+|FP| = σταθερό Για P στο μεγάλο ημιάξονα |FP|+|FP| = (v-E)+(v+E) = 2v =σταθερό Για P στο μικρό ημιάξονα |FP|+|FP| = 2(Ε 2 +u 2 ) 1/2 = σταθερό = 2v Για τη βασική έλειψη (ελειψοειδές αναφοράς  γη:

63 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ελλειψοειδείς συντεταγμένες Ορίζονται με τη βοήθεια μιας οικογένειας «ομοεστιακών» ελλειψοειδών εκ περιστροφής Μεσημβρινές τομές των ελλειψοειδών = ελλείψεις με τις ίδιες εστίες με την μεσημβρινή τομή του ελλειψοειδούς αναφοράς. q 1 = λ : ταυτίζεται με το σφαιρικό μήκος q 2 = β :ελλειψοειδές πλάτος: ορίζεται μέσω του περιγεγραμμένου στη μεσημβρινή έλλειψη κύκλου (σχήμα) q 3 = u : μικρός ημιάξονας του ελλειψοειδούς που διέρχεται από το σημείο Σχέση μεταξύ καρτεσιανών και ελλειψοειδών συντεταγμένων = γραμμική εκκεντρότητα

64 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ιακωβιανός πίνακας Πίνακας στροφής: Μετρικός πίνακας Πίνακας μεταβολής μηκών: βοηθητικές παράμετροι: βοηθητική γωνία

65 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ολοκληρώματα ως προς καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Oλοκλήρωση συνάρτησης f(x 1,x 2,x 3 ) σε τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καρτεσιανές συντεταγμένες) Ο χώρος χωρίζεται σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ακμές δx 1, δx 2, δx 3 Κάθε παραλληλεπίπεδο Π(x 1, x 2, x 3 ) έχει τη μία κορυφή στο σημείο με συντεταγμένες (x 1, x 2, x 3 ) και όγκο Για τα παραλληλεπίπεδα που περιλαμβάνονται στο τμήμα Ω σχηματίζεται το άθροισμα Επιλέγοντας συνεχώς μικρότερα παραλληλεπίπεδα, καθώς δx 1, δx 2, δx 3  0 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα

66 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Έκφραση του δV(x 1, x 2, x 3 ) μέσω των διανυσμάτων των ακμών του παραλληλεπιπέδου = τοπική βάση στο σημείο (x 1, x 2, x 3 ) (από την παράλληλη μετάθεση της βάσης του συστήματος αναφοράς) Όγκος = μικτό διανυσματικό γινόμενο: επειδή:

67 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Oλοκλήρωση συνάρτησης f(q 1,q 2,q 3 ) σε τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καμπυλόγραμμες συντεταγμένες) Aυξήσεις κατά δq 1,δq 2,δq 3 : ορθογώνια παραλληλεπίπεδα στον χώρο των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων q 1,q 2,q 3 Στον ευκλείδειο χώρο: μετακινήσεις κατά μήκος των καμπύλων των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Mικρές αυξήσεις: τμήματα των καμπυλών  ευθύγραμμα τμήματα   πλάγιο παραλληλεπίπεδο με ακμές τα διανύσματα

68 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου e k = καρτεσιανές συνιστώσες διανύσματος βάσης Όγκος πλάγιου παραλληλεπιπέδου που αντιστοιχεί στις αυξήσεις δq 1, δq 2, δq 3 : = τοπική βάση στο σημείο (q 1, q 2, q 3 )

69 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σχηματίζεται το άθροισμα Καθώς δq 1, δq 2, δq 3  0 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα Γράφουμε συμβολικά για το «στοιχείο όγκου»: = Ιακωβιανή ορίζουσα

70 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Eιδική περίπτωση: ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες: Γεωδαιτικές συντεταγμένες: Ελλειψοειδείς συντεταγμένες:

71 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια που προκύπτει διατηρώντας μία συντεταγμένη σταθερή Π.χ. q 3 = σταθερή, q 1, q 2 = επιφανειακές συντεταγμένες. Διαχωρισμός σε τμήματα που αντιστοιχούν σε βήματα δq 1, δq 2 Στοιχειώδες παραλληλόγραμμο σε κάθε σημείο q 1, q 2, q 3 : σχηματίζεται από τα διανύσματα και έχει επιφάνεια Στοιχείο επιφάνειας:

72 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ειδική περίπτωση ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

73 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σφαιρικές συντεταγμένες ( r = σταθ.): Γεωδαιτικές συντεταγμένες ( h = σταθ.): Ελλειψοειδείς συντεταγμένες ( u = σταθ.): Ελλειψοειδές αναφοράς ( h = 0): Ελλειψοειδές αναφοράς ( u = b):

74 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Επιφανειακό ολοκλήρωμα για οποιαδήποτε επιφάνεια u, v = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με εφαπτόμενα διανύσματα Στοιχείο επιφάνειας Συντελεστής στοιχείου επιφάνειας

75 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: μοντέλο αναγλύφου z = h(x,y) Στοιχείο επιφάνειας


Κατέβασμα ppt "Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google