Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης

2 Η έννοια της συσχέτισης  Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ :  Συσχέτιση : Ε{Χ Υ}  Συμμεταβλητότητα :  Συντελεστής συσχέτισης :

3  Έστω Χ,Υ Τ. Μ. με Υ=aΧ+b και Ε{Χ}=μ Χ, Ε{(Χ-μ Χ ) 2 }=σ Χ 2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρ ΧΥ.  Λύση :     Παράδειγμα 1

4  Έστω Χ,Υ Τ. Μ. με Χ~Ν(0, σ Χ 2 ) και Υ=Χ 2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρ ΧΥ.  Λύση :      Γραμμικά Ανεξάρτητες. Παράδειγμα 2

5  Έστω Χ,Ζ ανεξάρτητες κανονικές Τ. Μ. και Υ=αΧ+b+Ζ Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρ ΧΥ.  Λύση :     Παράδειγμα 3

6 Τυχαία Διανύσματα  Ορισμός : Η συλλογή των Τ. Μ. ορίζει ένα Τυχαίο Διάνυσμα ( Τ. Δ.), που παίρνει τιμές σε ένα m- διάστατο χώρο R m.

7 Στατιστικές ιδιότητες Τ. Δ.  Οι στατιστικές ιδιότητες του Τ. Δ. καθορίζονται από την από κοινού συνάρτηση κατανομής  Από κοινού Σ. Π. Π.:

8 Στατιστικές ιδιότητες Τ. Δ.  Οριακές Σ. Π. Π.:  (M-1) ης τάξης :  (M-2) ης τάξης :  1 ης τάξης

9 Στατιστικές ιδιότητες Τ. Δ.  Υπό συνθήκη Σ. Π. Π. των Χ 1, Χ 2, Χ 3 | Χ 4 :

10 Αναμενόμενες τιμές

11 Διανυσματικός συμβολισμός  Ορίσαμε το Τ. Δ. Χ ως ένα διάνυσμα m x 1 X T = (X 1, X 2,..., X m )  Οι τιμές του Τ. Δ. μπορούν να οριστούν ως σημεία στον m- διάστατο χώρο Rm : χ T = (χ 1, χ 2,..., χ m )

12 Μέση τιμή ενός Τ. Δ.  Ορισμός : Μέση ( αναμενόμενη ) τιμή του Τ. Δ. Χ ορίζεται ως το (m x 1) διάνυσμα

13 Πίνακας Συνδιακύμανσης ενός Τ. Δ.  Ορισμός :

14 Ανεξάρτητες / Ασυσχέτιστες συνιστώσες Τ. Δ.  Αν x 1, x 2,…,x M είναι ασυσχέτιστες θα έχουν διαγώνιο πίνακα συνδιακύμανσης :  Αν x 1, x 2,…,x M είναι ανεξάρτητες  ασυσχέτιστες  διαγώνιος πίνακας συνδιακύμανσης.

15 Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή  Ένα Τ. Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή εαν έχει Σ. Π. Π. της μορφής :  Αν οι συνιστώσες του διανύσματος είναι ανεξάρτητες :

16 Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή  Ο εκθέτης της Σ. Π. Π. γίνεται :  Η Σ. Π. Π. γίνεται :

17 Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής  Αν το Τ. Δ. Χ μπορεί να χωριστεί :  Όπου  Τότε :

18 Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής  Αν ο πίνακας συνδιακύμανσης Σ Χ είναι διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή  οι συνιστώσες του Τ. Δ. Χ είναι ανεξάρτητες :  Για κανονικές κατανομές ( μόνο ):  Κανονικές Ασυσχέτιστες ΤΜ ↔ Κανονικές Ανεξάρτητες ΤΜ

19 Γραμμικές συναρτήσεις Τ. Δ.  Θεωρείστε το Τ. Δ. Υ=aΧ+b. Υπολογίστε μέση τιμή και πίνακα συνδιακύμανσης του Υ.

20 Παράδειγμα 1  Έστω Χ ακολουθεί τετραδιάστατη κανονική κατανομή με και Χ 1 = (x 1 x 2 ) Τ, Χ 2 = (x 3 x 4 ) Τ. 1) Υπολογίστε την κατανομή του Χ 1 2) Αντίστοιχα :

21 Παράδειγμα 1 2) Υπολογίστε την κατανομή του Y=AX= κανονική κατανομή με

22 Παράδειγμα 1 3) Υπολογίστε την κατανομή του X 1 =(x 1,x 2 ) δεδομένου του Χ 2 =(x 3,x 4 ) X1|X2 ακολουθεί κανονική κατανομή με

23 Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής  Y=g(X)  Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας ορίζονται με βάση ισοδύναμα ενδεχόμενα  Συνεχείς ΤΜ :  Εστω οι K ρίζες της εξίσωσης y=g(x), x (1),x (2),…,x (K). Η ΣΠΠ της ΤΜ Y δίδεται από

24 Παράδειγμα  Εστω ότι η ΤΜ X ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή. Δώστε την ΣΠΠ της ΤΜ Y=| Χ |.

25 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών  Δίδεται η από κοινού Σ. Π. Π. των X 1, X 2 : f x1 x2 (x 1, x 2 ) και οι μετασχηματισμένες Τ. Μ. Y 1, Y 2 Y 1 = g 1 (X 1,X 2 ) Y 2 = g 2 (X 1,X 2 )  Η από κοινού Σ. Π. Π. των Y 1, Y 2 υπολογίζεται, αντίστοιχα με τη συνάρτηση μιας Τ. Μ., από τις ρίζες του συστήματος εξισώσεων και την Ιακωβιανή (Jacobian) του μετασχηματισμού :

26 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών  Η από κοινού Σ. Π. Π. των Y 1, Y 2 είναι :  Ιακωβιανή :

27 Παράδειγμα  Παράδειγμα : δύο αντιστάσεις Χ 1, Χ 2 είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα μεταξύ 9 και 11 ohms. Βρείτε την Σ. Π. Π. της Τ. Μ. Υ 2 που αντιπροσωπεύει τον παράλληλο συνδυασμό των Χ 1, Χ 2.

28 Γραμμικός μετασχηματισμός  Θεωρείστε το γραμμικό μετασχηματισμό Y = A X + B ή  Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingular, έχουμε :

29 Παράδειγμα : Άθροισμα δύο Τ. Μ.  Παράδειγμα : Έστω Y 1 = X 1 + X 2, όπου X 1, X 2 ανεξάρτητες Τ. Μ. Βρείτε τη Σ. Π. Π. της Y 1 συναρτήσει των Σ. Π. Π. των X 1, X 2  Παράδειγμα : X 1, X 2 είναι ανεξάρτητες Τ. Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [-1,1]. Βρείτε τη Σ. Π. Π. του αθροίσματος τους.

30 Γραμμικός μετασχηματισμός πολυδιάστατης κανονικής κατανομής  Το Τ. Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή με Ε{Χ} = 0 και πίνακα συνδιακύμανσης Σ Χ. Βρείτε τη Σ. Π. Π. του Τ. Δ. Υ = ΑΧ, όπου Α είναι αντιστρέψιμος.


Κατέβασμα ppt "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google