Διδακτική Μαθηματικών Ι

Παρουσίαση με θέμα: "Διδακτική Μαθηματικών Ι"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Διδακτική Μαθηματικών Ι
Μάθημα 3ο Επίλυση προβλήματος Πρακτική άσκηση 28 Μαρτίου 2014

2 Μαθηματικός γραμματισμός
η ικανότητα του ατόμου να: προσδιορίζει και να κατανοεί το ρόλο που διαδραματίζουν τα μαθηματικά στον κόσμο διατυπώνει καλά θεμελιωμένες κρίσεις χρησιμοποιεί και να ασχολείται με τα Μαθηματικά με τρόπους που ικανοποιούν τις ανάγκες της ζωής αυτού του ατόμου ως δημιουργικού, ενδιαφερόμενου και αναστοχαστικού πολίτη (ΟΟΣΑ, 2006) «Η ικανότητα του ατόμου να προσδιορίζει και να κατανοεί το ρόλο που διαδραματίζουν τα Μαθηματικά στον κόσμο» είναι ένας πολύ υψηλός στόχος για να υλοποιηθεί στο πλαίσιο της υποχρεωτικής εκπαίδευσης (μαθητές μέχρι 15 ετών), εκτός και αν εννοεί το να κατανοήσουν απλά οι μαθητές ότι τα Μαθηματικά διαδραματίζουν έναν πολύ μεγάλο ρόλο στον κόσμο. Το πιο πιθανό είναι ότι ό στόχος αυτού του πρώτου μέρους του ορισμού είναι να δημιουργήσει μια αντίθετη άποψη για τα μαθηματικά από εκείνη που εστιάζει στην επίλυση αμιγώς μαθηματικών προβλημάτων αγνοώντας ή υποβαθμίζοντας το ρόλο που παίζουν τα μαθηματικά στον κόσμο. Βέβαια, και η έκφραση «το ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά στον κόσμο» είναι επίσης σε έναν ορισμένο βαθμό διφορούμενη, όπου ο όρος «ο κόσμος» σημαίνει το φυσικό, κοινωνικό και πολιτιστικό περιβάλλον του ατόμου. Ο ορισμός στηρίζεται στη δήλωση του Freudenthal (1983) ότι «οι μαθηματικές έννοιες, δομές, και ιδέες έχουν εφευρεθεί ως εργαλεία για να οργανώσουν τα φαινόμενα του φυσικού, κοινωνικού και διανοητικού κόσμου» (σελ. ix), εντούτοις, η σημασία των μαθηματικών βασίζεται σε κάτι περισσότερο από μια καθαρώς βοηθητική λειτουργία τους για τις άλλες επιστήμες, για την τεχνολογία και για «το φυσικό, κοινωνικό και πολιτιστικό περιβάλλον στο οποίο ζει το άτομο». Τα μαθηματικά έχουν επίσης μια εγγενή αξία, είναι σημαντικά γι΄αυτό που είναι ως το τελειότερο δημιούργημα της ανθρώπινης λογικής. Εάν το νόημα των μαθηματικών αναζητηθεί αποκλειστικά στο ότι παρέχουν «τα εργαλεία για να οργανωθούν τα φαινόμενα του φυσικού, κοινωνικού και διανοητικού κόσμου», η αντίληψη για τα μαθηματικά περιορίζεται αισθητά. Προσπάθειες που έχουν καταβληθεί στην ιστορία των μαθηματικών, και θα καταβληθούν, για να αποδείξουν μαθηματικά θεωρήματα που δεν έχουν κανένα όφελος όσον αφορά τους τρεις οριζόμενους κόσμους, θα παρέμεναν χωρίς νόημα. Ο όρος «πολίτης», όπως χρησιμοποιείται στον ορισμό, είναι επίσης διφορούμενος. Είναι σύμπτωση που στον ορισμό, οι στόχοι διατυπώνονται σε σχέση με «τις ανάγκες της ζωής του ατόμου ως δημιουργικού, ενδιαφερόμενου και αναστοχαστικού πολίτη», ενώ λίγες γραμμές πιο πάνω διαβάζουμε: «Ο Μαθηματικός Εγγραμματισμός που αξιολογεί η ΠΙΖΑ εξετάζει το βαθμό στον οποίο οι 15-χρονοι μαθητές μπορούν να θεωρηθούν ως πληροφορημένοι, αναστοχαστικοί και έξυπνοι καταναλωτές»; (σελ 72). Επιπλέον, η έννοια του πολίτη δεν πρέπει επεκτείνεται αυθαίρετα. Ακόμα κι αν είμαστε όλοι πολίτες, δεν είναι όλα όσα κάνουμε ένα συστατικό του ρόλου μας ως πολίτη. Η κοινωνιολογία διακρίνει μεταξύ ενός πλήθος άλλων ρόλων τους οποίους θέλουμε – ή πρέπει – να εκπληρώσουμε επαρκώς, και που δεν μπορούν να υπαχθούν απλά στο ρόλο του πολίτη, ακόμα κι αν μπορούν να απαιτούν τις ίδιες ή παρόμοιες ικανότητες. Είναι κάτι διαφορετικό να προετοιμάζεις τους μαθητές για τη ζωή και να τους προετοιμάζεις για το ρόλο τους ως «ενεργοί, αναστοχαστικοί και σκεπτόμενοι πολίτες» (για να μην αναφερθούμε στο ρόλο τους ως καταναλωτές!). Αφ΄ ενός υπάρχουν διάφοροι άλλοι σημαντικοί ρόλοι στη ζωή που διαφέρουν από αυτούς του πολίτη ή του καταναλωτή, και αφετέρου, είναι αμφισβητήσιμο εάν μια υποχρεωτική εκπαιδευτική νομιμοποιείται για την προετοιμασία των μαθητών για έναν ιδιαίτερο ρόλο στη ζωή. Μια κρίσιμη ικανότητα που υπονοείται από την έννοια του Μαθηματικού Εγγραμματισμού είναι η ικανότητα κάποιου να θέσει, να διατυπώσει, να λύσει, και να ερμηνεύσει προβλήματα που χρησιμοποιούν τα μαθηματικά μέσα σε ποικίλες καταστάσεις ή πλαίσια. Αλλά και αυτή η έννοια του προβλήματος όπως χρησιμοποιείται είναι διφορούμενη. Η έννοια της επίλυσης προβλήματος χρησιμοποιείται αφήνοντας να εννοηθεί ότι το πλαίσιο διατύπωσης των προβλημάτων, μπορεί να κυμανθεί από καθαρά μαθηματικό μέχρι και σε σημείο που η μαθηματική δομή να μπορεί μετά βίας να αναγνωριστεί. Όμως, όπως ήδη έχουμε αναλύσει, ο μαθηματικός εγγραμματισμός αποτελεί εναλλακτική διατύπωση της ικανότητας μαθηματικής μοντελοποίησης πραγματικών καταστάσεων. Και η ικανότητα μοντελοποίησης προϋποθέτει την ύπαρξη μιας ρητής ή υπονοούμενης μαθηματικής δομής.

3 Αριθμητισμός – Νοηματοδότηση
Σε ένα ζαχαροπλαστείο η τιμή μιας πάστας αυξάνεται κατά 10%. Οι πελάτες που την προτιμούσαν ελαττώθηκαν. Ο ζαχαροπλάστης αποφασίζει να κατεβάσει την καινούρια τιμή της κατά 5%. Λέει: συγκρίνοντάς τη με την αρχική τιμή, η πάστα στοιχίζει τώρα 5% περισσότερο από ό,τι στην αρχή. Έχει δίκιο;

4 Αριθμητισμός – Νοηματοδότηση
Σε ένα μαγαζί κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων ένα φόρεμα αρχικά πωλούνταν με 50% έκπτωση. Προς το τέλος των εκπτώσεων αναρτήθηκε μια ταμπέλα που έγραφε: «Τώρα όλα μας τα είδη με επιπλέον έκπτωση 50%!» Τι σημαίνει αυτό;

5 Αριθμητισμός – Νοηματοδότηση
Είναι σωστό; Αν αγοράσατε 1,375 κιλά, πόσα πληρώσατε; Αν αγοράσατε 1,250 κιλά επαρκούν 1,60€; Εκτιμήστε.

6 Αριθμητισμός – Νοηματοδότηση
Είναι σωστό; Αν αγοράσατε 1,375 κιλά, πόσα πληρώσατε; Αν αγοράσατε 1,250 κιλά επαρκούν 1,60€; Εκτιμήστε.

7 Αριθμητισμός – Νοηματοδότηση
1 κιλό  1,26€ Πώς υπολογίζω το κόστος των 250 γραμμαρίων; 250 γραμμάρια είναι το ¼ του κιλού. Πώς υπολογίζω το ¼ του 1,26€; ¼ του 1€ είναι 0,25€ ¼ του 0,26€ είναι…; ¼ του 0,24€ είναι 0,06€ ¼ του 0,28€ είναι 0,07€ Ποια εκτίμηση πρέπει να επιλέξω; Είναι σωστό; Αν αγοράσατε 1,375 κιλά, πόσα πληρώσατε; Αν αγοράσατε 1,250 κιλά επαρκούν 1,60€; Εκτιμήστε.

8 Επίλυση προβλήματος (problem solving)

9 Επίλυση προβλήματος …είναι η «τέχνη» της ενασχόλησης με:
…είναι η «τέχνη» της ενασχόλησης με: μη τετριμμένα προβλήματα, τα οποία δεν έχουν μια συνηθισμένη στρατηγική επίλυσης και παρέχουν τη δυνατότητα στο μαθητή να αναπτύξει νέες στρατηγικές επίλυσης.

10 Ευρετικές Λύσε ένα απλούστερο πρόβλημα (π.χ. μια συγκεκριμένη περίπτωση). Λύσε ένα παρεμφερές πρόβλημα. Διατύπωσε μία υπόθεση και έλεγξέ την (trial and error). Λύσε ένα ισοδύναμο πρόβλημα (π.χ. δουλεύοντας αντίστροφα). Χρησιμοποίησε μια αναπαράσταση (πίνακα, σχεδιάγραμμα).

11 Παράδειγμα χρήσης ευρετικής (1)
Πόσα τετράγωνα υπάρχουν σε μια σκακιέρα;

12 Περί διδασκαλίας…

13 Απαιτούμενες γνώσεις δασκάλου
γνώση του περιεχομένου παιδαγωγική γνώση του περιεχομένου γνώση του προγράμματος σπουδών γνώση των Μαθηματικών γνώση για τα Μαθηματικά θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά

14 Γνώση του περιεχομένου
Γνώση των Μαθηματικών Βασικές γνώσεις σε «γειτονικές» επιστημονικές περιοχές διαθεματικότητα μοντελοποίηση Αντίληψη: Οι απόφοιτοι του Μαθηματικού Τμήματος την έχουν, ενώ οι απόφοιτοι των Παιδαγωγικών Τμημάτων χρειάζονται ένα πολύ μικρό τμήμα της.

15 Παιδαγωγική γνώση περιεχομένου
Πώς θα επιλέξω τις «κατάλληλες» δραστηριότητες για να εισάγω την έννοια; Η δραστηριότητα του βιβλίου είναι κατάλληλη για να «μπω» στο θέμα; Αν όχι, τι μπορώ να αντιπροτείνω; Ποιες έννοιες που περιλαμβάνονται στο εγχειρίδιο θα «καλυφθούν» απλά και για ποιες θα διαθέσω χρόνο ώστε να «ανακαλυφθούν» από τους μαθητές;

16 Παιδαγωγική γνώση περιεχομένου
Γιατί είναι σημαντικό αυτό που θα διδάξω; Κάτω από ποιες διαφορετικές οπτικές μπορώ να το εξετάσω; π.χ. διαθεματικότητα Πώς θα διαπιστώσω τι ξέρουν ήδη οι μαθητές μου; Πώς θα συνδέσω τη νέα γνώση με αυτό που ξέρουν; Οι ερωτήσεις του βιβλίου «προκαλούν» τους μαθητές; Αν όχι τι μπορώ να ρωτήσω; Ποιο είδος απάντησης περιμένω; Τι είδους λάθη; Ποια είναι η νέα γνώση που αποκτήθηκε; Πώς ξέρω ότι οι μαθητές μου «έμαθαν»;

17 Το κουαρτέτο της γνώσης
Θεμέλια Μετασχηματισμοί Συνδέσεις Απρόοπτα

18 1. Θεμέλια Θεωρητικές γνώσεις των Μαθηματικών
της σχετικής βιβλιογραφίας πεποιθήσεις για τα Μαθηματικά και τους σκοπούς της μαθηματικής εκπαίδευσης

19 2. Μετασχηματισμοί «Η ικανότητα του εκπαιδευτικού να μετασχηματίζει τη γνώση περιεχομένου που κατέχει σε μορφές παιδαγωγικά ισχυρές» (Schulman, 1987) Χρήση παραδειγμάτων, επιλογή αναπαραστάσεων, αναλογίες, μεταφορές.

20 3. Συνδέσεις Τα Μαθηματικά χαρακτηρίζονται από μια συνεκτικότητα και στηρίζονται στη Λογική. Οι συνδέσεις αφορούν: διάφορες έννοιες περιγραφές εννοιών αναπαραστάσεις εννοιών σειρά ασκήσεων-ερωτήσεων

21 4. Απρόοπτα Ικανότητα διαχείρισης απρόοπτων καταστάσεων. Αλλιώς, η ετοιμότητα του εκπαιδευτικού να: διαχειριστεί τις απαντήσεις των μαθητών «παρεκκλίνει» από τη σχεδιασμένη πορεία του μαθήματος Σύμφωνα με τον κονστρουκτιβισμό, κάθε συνεισφορά του μαθητή (ακόμη και λανθασμένη!) είναι σημαντική, καθώς δείχνει το επίπεδο γνώσεών του.

22 Το κουαρτέτο της γνώσης
Θεμέλια Μετασχηματισμοί Συνδέσεις Απρόοπτα

23 Η αφαίρεση Εκκίνηση Εισαγωγή στην κύρια δραστηριότητα
Εργασία σε ομάδες Συζήτηση Στόχοι: Κατανόηση της διαδικασίας της αφαίρεσης ως «διαφορά» Εύρεση μικρών διαφορών μέσω αρίθμησης

24 1. Θεμέλια

25 2. Μετασχηματισμοί Εκκίνηση Εισαγωγή στην κύρια δραστηριότητα
Εργασία σε ομάδες Συζήτηση

26 2. Μετασχηματισμοί Εκκίνηση Εισαγωγή στην κύρια δραστηριότητα
Εργασία σε ομάδες Συζήτηση Παιχνίδι με καπέλα: Ένα καπέλο δίνεται από παιδί σε παιδί. Μόλις η δασκάλα χτυπήσει παλαμάκια, το παιδί κρατάει το καπέλο. Του δίνεται ένας αριθμός 0-10 και γίνεται η ερώτηση: Πόσα ακόμη χρειάζομαι για να φτάσω στο 10; Του δίνονται δύο αριθμοί και γίνεται η ερώτηση: Πρόσθεσε τους αριθμούς και πες μου πόσα ακόμη χρειάζονται για να φτάσω στο 10;

27 2. Μετασχηματισμοί Εκκίνηση Εισαγωγή στην κύρια δραστηριότητα
Εργασία σε ομάδες Συζήτηση Παιχνίδι με καπέλα: Οι αριθμοί που δόθηκαν είναι: Πώς δικαιολογείται αυτή η ακολουθία; Η επιλογή των αριθμών είναι: διαβαθμισμένου βαθμού δυσκολίας περιλαμβάνει μία «ακραία» περίπτωση (το 10) τονίζει μια σημαντική ιδιότητα της πρόσθεσης (αντιμεταθετική)

28 3. Συνδέσεις Αφαίρεση – πρόσθεση Στρατηγικές αφαίρεσης

29 4. Απρόοπτα Δ: Άρα, 3 και 3 μας κάνει 6. Πώς μπορούμε να το πούμε αυτό με τη διαφορά; Πόσο διαφέρει το 6 από το 3; Πόσο περισσότερο; Μ1: Αν θέλεις να προσθέσεις στο 3 για να σου βγάλουν 6, θα σου βγάλουν 6, αλλά αν ήθελες να βγάλεις 3 για να έχεις 3, θα έχεις 3. Δ: ΟΚ, κατάλαβα τι εννοείς. Ωραία, άρα η διαφορά είναι 3. Μπορούμε να πούμε ότι η διαφορά του 6 από το 3 είναι 3. Αν αρχίσουμε με το 3… Μαρία; Μ2: Είναι 1. Δ: Δεν είμαι σίγουρη ότι καταλαβαίνω τι εννοείς. Η διαφορά μεταξύ του 3 και του 6. (Μετράει με τα δάχτυλα) 3, 4, 5, 6. Μ2: Η απάντηση είναι 1.

30 Τι θα απαντούσατε στη μαθήτρια;
4. Απρόοπτα Ερώτηση: Βρείτε μου ένα κλάσμα που να βρίσκεται μεταξύ του ½ και του ¾. Απάντηση: Το 2/3, γιατί το 2 είναι μεταξύ του 1 και του 3 και το 3 είναι μεταξύ του 3 και του 4. Τι θα απαντούσατε στη μαθήτρια;

31 Η παρατήρηση της διδασκαλίας…

32 Γενικές οδηγίες Συντονιστείτε με τον/την συνάδελφό σας, ώστε να καταγράψετε ό,τι θα συμβεί. Ερωτήσεις δασκάλου Ερωτήσεις μαθητών Απαντήσεις δασκάλου Απαντήσεις μαθητών Διαχείριση απρόοπτων καταστάσεων Χρήση υλικών και γλώσσας

33 Η διδασκαλία…

34 Διδακτική προσέγγιση Πώς ξεκινώ; αξιολογώ τους μαθητές μου
«μαθαίνω» (για) τους μαθητές μου αναζητώ πηγές (όχι μόνο μαθηματικές) Πού; Έντυπο – ηλεκτρονικό τύπο Τηλεόραση – κινηματογράφο – μουσική – άλλες τέχνες Καθημερινότητα – επικαιρότητα Ενδιαφέροντα μαθητών Σχολικά – εξωσχολικά εγχειρίδια

35 Διδακτική προσέγγιση Πώς ξεκινώ; αξιολογώ τους μαθητές μου
«μαθαίνω» (για) τους μαθητές μου αναζητώ πηγές (όχι μόνο μαθηματικές) Πού; Έντυπο – ηλεκτρονικό τύπο Τηλεόραση – κινηματογράφο – μουσική – άλλες τέχνες Καθημερινότητα – επικαιρότητα Ενδιαφέροντα μαθητών Σχολικά – εξωσχολικά εγχειρίδια

36 Ο δάσκαλος πρέπει να μπορεί να:
σχεδιάζει διδακτικές καταστάσεις με νόημα δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στην επικοινωνία επιλέγει και να υλοποιεί σημαντικούς στόχους ακούει και να ερμηνεύει τις απαντήσεις των μαθητών δείξει στους μαθητές τι θεωρούμε Μαθηματικά και μαθηματική πρακτική χρησιμοποιεί τα λάθη ως γόνιμο έδαφος για μαθηματική διερεύνηση

37 Το κουαρτέτο της γνώσης
Θεμέλια Αναλυτικό πρόγραμμα Βιβλίο δασκάλου Μετασχηματισμοί Συνδέσεις Απρόοπτα

38 Έκτακτο μάθημα Την Τετάρτη 9 Απριλίου θα πραγματοποιηθεί έκτακτο διπλό μάθημα στις 9:00 στο Αμφιθέατρο του 1ου ορόφου.