Visualización Computacional de Datos I

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1 Visualización Computacional de Datos I
Transformaciones

2 Transformaciones Las transformaciones se aplican sobre
los puntos que definen el objeto Pi P1 P2 Pi = (px, py)

3 Transformaciones Simples
Escala isotrópica Pi = (px, py) sx 0 0 sy S = Pi = S.Pi

4 Transformaciones Simples
Traslación dx dy Pi = Pi + D Pi = (px, py) D = (dx, dy)

5 Transformaciones Simples
Rotación Pi = (px, py) cos  -sin  sin  cos  R = Pi = R.Pi  

6 Cuerpo rígido / Eucledianas
Preserva distancias Preserva ángulos Rigidas / Euclideanas Translación Rotación

7 Similares Similares Rígidas / Euclideanas Conserva ángulos Translación
Escala isotrópica Rotación

8 Lineales Similares Rígidas / Eucledianas Lineales Translación
Escala isotrópica Escala Rotación Reflexión Shear

9 Transformaciones afines
Preserva lineas paralelas Afines Similares Rígidas / Euclideanas Lineales Translación Escala isotrópica Escala Rotación Reflexión Shear

10 Transformaciones Projectivas
Preserva líneas Projectivas Afines Similares Rígidas / Euclideanas Lineales Translación Escala isotrópica Escala Rotación Reflexión Shear Perspectivas

11 Perspective Projection

12 General / no lineales No preserva líneas
From Sederberg and Parry, Siggraph 1986

13 Como representar las transformaciones?
x' = ax + by + c y' = dx + ey + f x' y' a b d e x y c f = + p' = M p t

14 Coordenadas homogeneas
Se agrega una dimensión extra en 2D, se usa 3 x 3 matrices en 3D, se usa 4 x 4 matrices Cada punto tiene entonces un valor extra, w x' y' z' w' a e i m b f j n c g k o d h l p x y z w = p' = M p

15 Pasar a coordenadas homogeneas
x' = ax + by + c y' = dx + ey + f Affine formulation Homogeneous formulation x' y‘ 1 a b d e 0 0 c f 1 x y 1 x' y' a b d e x y c f = = + p' = M p t p' = M p

16 Translación (tx, ty, tz) x' y' z' 1 x' y' z' 1 1 1 tx ty tz 1 x y z 1
Por que utilizar coordenadas homogeneas? Porque ahora traslaciones se expresan como matriz! x' y' z' 1 x' y' z' 1 1 1 tx ty tz 1 x y z 1 =

17 Escala (sx, sy, sz) x' y' z' 1 sx sy sz 1 x y z 1 = Scale(s,s,s)
p' p Isotropica (uniforme) scaling: sx = sy = sz q' q x x' y' z' 1 sx sy sz 1 x y z 1 =

18 Rotación x' y' z' 1 cos θ sin θ -sin θ cos θ 1 1 x y z 1 = ZRotate(θ)
p' Sobre eje z θ p x z x' y' z' 1 cos θ sin θ -sin θ cos θ 1 1 x y z 1 =