삼축 응력 가공 공정에서 소재는 일반적으로 삼축 응력상태(triaxial stress state)에 있음   예: 내압을 받는 구형용기-2축 인장 인발, 압축, 디이프드로잉 등 가공공정시⇒일반화된 탄성변형 및 항복거동 필요 탄성영역 - 일축 응력 εX = σX/ E, εY = εZ =-υεX =-υσX/ E ; υ: Poisson's ratio, E: elastic modulus - 삼축응력(일반화된 Hook’s law) εX = σX/ E - υσY/ E - υσZ/ E εY = σY/ E - υσZ/ E - υσX/ E εZ = σZ/ E - υσX/ E - υσY/ E - 전단응력 γXY = τxy/ G, γYZ = τYZ/ G, γZX = τxy/ G ,  G = E/2(1+υ) G:Shear Modulus( or Modulus of rigidity) - Bulk Modulus, B: 물체에 균일한 응력을 가할 경우 부피변화에 대한 비례상수 x,y,z 방향으로 균일한 응력 σ가 가해진다면   σX = σY = σZ = σ Hook's law로부터,      εX = εy = εZ = σ(1-2υ)/E 단위부피에서의 부피변화 ΔV/V =(1 + εX)(1 + εY)(1 + εZ) -1 εX + εY + εZ = -3σ(1-2υ)/E = σ/B B: Bulk Modulus = σ /(ΔV/V) = E/3(1-2υ)

항복조건(Yield Criteria) • 소재의 탄성 영역을 넘어 영구 변형(소성변형)을 일으키는 응력조건 • 소재의 탄성 영역을 넘어 영구 변형(소성변형)을   일으키는 응력조건 1)최대 전단응력 조건(Maximum shear stress criterion  혹은  Tresca‘s criterion) -최대 전단응력이 재료의 임계 값에 도달 할 때 항복이 시작된다는 조건, 즉 어떤 재료의 전단 항복응력(shear yield stress)를 k라 하면 ; τmax = k 2)전단변형 에너지조건(Distortion-energy criterion 혹은  Von Mises criterion) -재료에 가해진 전단 변형에너지가 그 재료의 항복 에너지보다 크면 소성변형을 일으킨다는 개념. 즉 (1- 2)2 + (2- 3)2 + (3- 1)2 =2Y2 =6k2 -주응력(principal stress):전단 응력들은 없고 수직 응력(normal stress)으로만 존재할 때 이 수직 응력들을 말함 *수직응력과 전단응력이 같이 존재 할 경우 직교변환에 의해 주응력 상태로 변환 가능 - Mohr 응력원(Mohr circle)    * x축에 주응력을, Y축에 전단응력을 표시하고 이를 직경으로 하는 원을  그려 응력상태를 나타내며 이 경우 y축상의 최대치(반경)가 τmax 임.     예: 그림 2.36 * 항복이 일어나려면 가장 큰 원이 재료의 전단항복응력 k에  접해야 함. * 단순인장 시험으로부터,      k=Y/2 * 최대 전단응력 항복조건, τmax-τmin=Y * Tresca의 조건은 가장 간단한 항복조건 개념이나 연속 함수가 아님→계산에 부적합.

평면응력(Plane stress)과 평면변형율(Plane strain) 예: 원통이 비틀리는 경우 - 반경 방향 응력이 없음; 그림 2.39(a)2축 인장 (b)2축 압축 (c)인장 평면변형(Plane strain):직교 좌표계에서 최소 한 방향의 면에 수직 및 전단변형율이 모두 0인 응력 상태 예: 그림 2.39(c),(d) 얇은 원통이 비틀리는 경우 벽두께 방향으로 변형이 없음 - 평면응력이면서 평면변형 평면응력상태( )에서 항복조건 : 그림 2.40 - 최대 전단응력조건 - 육각형 제1사분면: 1>0, 3>0  max=Y 제3사분면: 1<0, 3<0  max=-Y 제2사분면: 3-1=Y 제4사분면: 1-3=Y - 전단변형 에너지 조건   when 2 = 0 12 + 32 - 12 32 = Y2 =3k2    

유동법칙(Flow rule) 혹은 Lēvy-Mises 방정식 • 일반화된 Hook's 법칙과 유사. -소성 변형시 응력과 변형율 증분과의 관계 di = (de / e)[i –1/2(j+ k)]   σe,de :equivalent flow stress & strain -평면 변형율의 경우 2 = 0,     → 2 =1/2(3 + 1) *이 경우 전단변형 에너지 조건식은     (1 - 3)= 2/3 Y = 1.15Y = Y’, k=Y/ 3 *최대 전단응력 조건에서는 1 - 3= Y= 2k, k=Y/2 • 체적 변형율 - 후크의 법칙에서 (탄성 영역)   1 + 2 + 3 = ln(v/vo)= [(1-2)/E](1 + 1 + 3)=3[(1-2)/E] m - 탄성영역에서는 0<<0.5  m >0; 부피 팽창, m <0;부피 수축 - 일반적으로 소성변형에서는 체적변화가 없음 ln(v/vo) =0  1 + 2 + 3 = 0 ,  = 0.5        

유효응력, 유효변형율(effective stress & strain) •  유효응력 : 어떤 일반적인 응력 상태에서의 응력값들을 일축응력상태에 상당되는 값으로 나타낸 응력.   상당응력(equivalent stress) 혹은 대표응력(representative stress)이라고도 함. 예: 최대 전단 응력 조건의 경우. e = 1 - 3     전단변형 에너지 조건의 경우 e = 1/2[(1 - 3)2 + (1 - 3)2 + (1 - 3)2]1/2    → 일축 인장시 σe= 1 • 유효 변형율 : 유효응력에  대응하는 변형율 예: 최대 전단응력 조건의 경우 e = 2/3(1 - 3 ) 전단 변형 에너지 조건의 경우 e = 2/3[(1 - 2 )2 + (2 - 3 )2 + (3 - 1 )2 ]1/2    → 일축 인장시   e = 1 • 수직응력-수직 변형율 곡선과 전단 응력-전단 변형율 곡선의 관계:숙제 전단응력조건, 변형에너지 조건에서 비교하고 graph상에서 예시

변형일과 열 변형일 : 단위 체적당 변형에 소요되는 일=응력×변형율 - 진응력-진변형율 곡선(그림 2.42)에서 빗금친 면적 - 진응력-진변형율 곡선(그림 2.42)에서 빗금친 면적         u =    d  = Yf  ,        Yf는 소재의 평균 유동응력 - 일반적으로 임의의 응력 상태에서는 변형에 소요되는 총 일은 일=(u)(체적): 균일 변형에 소요되는 최소에너지 혹은 이상적 에너지 (ideal energy) - 실제 변형시 소요되는 에너지 마찰 에너지와 비균일 변형에 의한 과잉일(redundaut work)가 더 소 요됨,     예) 그림 2.43   - 어떤 소성 가공공정의 효율은  = u(ideal)/u(total)로 정의      예: 압출: 30~60% ,    압연: 75~95% 일과 열: 소성가공시 변형에 소요된 기계적 일의 대부분은 열로 변환함. -100%가 전환된다고 가정하면 T = u(total)/c, c:비열    - 실제 작업에서는 외부로 발산하나 빠른 속도로 수행되는  공정이나 단열상황에서는 온도상승유발,   예: Hot coil 압연, 대형괴 단조등