Διακριτά Μαθηματικά Ι Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διάλεξη 1η

Κανόνας Αθροίσματος Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβει κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν m+n τρόποι, κατά τους οποίους ένα από τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβεί. Κανόνας Γινομένου Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβει κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν mn τρόποι, κατά τους οποίους και τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβούν.

Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: Έχει σημασία η σειρά. Αντιμεταθέσεις r αντικειμένων:

Συνδυασμοί r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: Δεν έχει σημασία η σειρά.

Διωνυμικοί Συντελεστές Για τον συντελεστή του : Από κάθε διώνυμο μπορούμε να πάρουμε ένα ‘x’ για να σχηματίσουμε το, μπορεί και όχι. Επομένως έχουμε n ευκαιρίες (όσα και τα διώνυμα) να πάρουμε k αντικείμενα ‘x’. Ο αριθμός των τρόπων που μπορούμε να πάρουμε k αντικείμενα από n χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, είναι. Γενικά: διώνυμο

Ιδιότητες Διωνυμικών Συντελεστών Οι τρόποι που μπορώ να διαλέξω k αντικείμενα από n είναι ίσοι με τους τρόπους που μπορώ να διαλέξω τα (υπόλοιπα) n-k αντικείμενα από τα n. Έστω ότι ξεχωρίζω ένα αντικείμενο από τα n+1. Αν πάρω k+1 αντικείμενα συνολικά, μπορώ να συμπεριλάβω και αυτό που ξεχώρισα ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση πρέπει να πάρω τα υπόλοιπα k αντικείμενα από τα (υπόλοιπα) n, ενώ στην δεύτερη, πρέπει να πάρω και τα k+1 αντικείμενα από τα n

Ιδιότητες Διωνυμικών Συντελεστών(συν.) Για να διαλέξω r αντικείμενα από n αρκεί να διαλέξω πρώτα ένα αντικείμενο, και τα υπόλοιπα r-1 αντικείμενα να τα διαλέξω από τα υπόλοιπα n-1. Το ‘πρώτο’ αντικείμενο μπορώ να το επιλέξω με n τρόπους, και τα υπόλοιπα r-1 με τρόπους. Επειδή όμως δεν έχει σημασία ποιο από τα r αντικείμενα είναι πρώτο (δηλαδή θα μπορουσε να είναι πρώτο οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα r-1 αντικείμενα που επελέγησαν στον συνδυασμό, χωρίς να προκύπτει διαφορετικός συνδυασμός), διαιρώ με r

Μετρήσεις αντικειμένων σε ομάδες n αντικείμενα διαχωρισμένα σε t ομάδες, με πλήθος στοιχείων q 1,q 2, …,q t αντίστοιχα Τα αντικείμενα κάθε ομάδας δεν είναι διακεκριμένα. Διατάξεις: Συνδυασμοί: Υπάρχουν n! τρόποι να διατάξω n διακεκριμένα αντικείμενα. Eπειδή όμως τα αντικείμενα κάθε ομάδας δεν είναι διακεκριμμένα μεταξύ τους, διαιρώ με τον αριθμό των δυνατών διατάξεων κάθε ομάδας (q 1 !…q t !). Μπορώ να επιλέξω το πρώτο αντικείμενο των n με (q 1 +1) τρόπους: είτε να μην το επιλέξω, είτε να το επιλέξω μια φορά, είτε δυο φορές,..., είτε q 1 φορές. Ομοίως για τα υπόλοιπα. Ο όρος ‘-1’ μπαίνει στο τέλος για να μην μετρήσω το ενδεχόμενο να μην επιλέξω κανένα αντικείμενο.

Διατάξεις με επανάληψη r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα Στην αρχή έχω n αντικείμενα από τα οποία να διαλέξω ένα. Μετά την επιλογή μου αυτή, τοποθετώ το αντικείμενο που διάλεξα μαζί με τα υπόλοιπα. Άρα την δεύτερη φορά έχω πάλι n αντικείμενα στην διάθεσή μου για να διαλέξω. Όμοια για κάθε μια από τις r επιλογές μου.

Συνδυασμοί με επανάληψη r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα Αν τώρα σε κάθε όρο προσθέσουμε (i-1), έχουμε μια γνησίως αύξουσα σειρά: που οι όροι της είναι επιλεγμένοι αριθμοί από 1 έως n+r-1, και αντιστοιχεί στους συνδυασμούς χωρίς επανάληψη των (n+r-1)-ανά-r. Έστω ότι τα n αντικείμενα μου είναι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το n. Αν διατάξουμε τους r αριθμούς που επιλέξαμε κατά αύξουσα σειρά, οι συνδυασμοί χωρίς επανάληψη μας δίνουν μια γνησίως αύξουσα σειρά: Αντίστοιχα, οι συνδυασμοί με επανάληψη μας δίνουν μια αύξουσα σειρά:

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικειμένα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Για το πρώτο αντικείμενο έχουμε n επιλογές ως προς το που θα το τοποθετήσουμε. Όμοια για το δεύτερο, αφού δεν απαγορεύεται να ρίξουμε δυο αντικείμενα στην ίδια υποδοχή, κ.ο.κ.. Άρα συνολικά μπορώ να τοποθετήσω τα r αντικείμενα στις n υποδοχές με τρόπους. 1.Τα αντικείμενα είναι διακεκριμένα και η σειρά στις υποδοχές δεν μετράει.

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές (συν.) Αρχικά διατάσσω τα r αντικείμενα. Θα προσομοιώσω τις n υποδοχές με (n+1) κάθετες γραμμές που θα τοποθετήσω ανάμεσα στα διατεταγμένα αντικείμενα. Αντικείμενα που βρίσκονται μεταξύ της i-στής και της (i+1)-στής γραμμής θα θεωρούμε ότι βρίσκονται στην i-στή υποδοχή. 2. Τα αντικείμενα είναι διακεκριμένα και η σειρά σε κάθε υποδοχή μετράει. υποδοχές Από τις n+1 γραμμές που τοποθέτησα, μόνο οι n-1 ορίζουν τις υποδοχές (μπορώ να αγνοήσω τις ακραίες). Ο συνολικός αριθμός αντικέιμένων που έχω είναι r+(n-1) (r αρχικά αντικείμενα και n-1 γραμμές), και μπορώ να τα διατάξω με (n+r-1)! τρόπους. Όμως τα n-1 αντικείμενα (οι γραμμές) δεν είναι διακεκριμένα, άρα έχω μόνο διαφορετικούς τρόπους.

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές (συν.) Όπως στην προηγούμενη περίπτωση, μόνο που αυτή τη φορά και τα r αντικείμενα δεν είναι διακεκριμένα, επομένως έχουμε μόνο διαφορετικούς τρόπους να τα διατάξουμε. 3. Τα αντικείμενα δεν είναι διακεκριμένα.