Ο ΘΕΙΟΣ ΠΕΤΡΟΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ ΓΚΟΛΝΤΜΠΑΧ Μπένου-Πάλμερ Μαρία Φουντούκης Ίωνας Χρονόπουλος Αλέξης

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ιστορία του θείου Πέτρου συνεχίζεται στο Cambridge, όπου μια μέρα το 1917 ο Λίτλγουντ επισκέπτεται τον Πέτρο και του ζητά να βοηθήσει τις μυστικές υπηρεσίες της Βρετανίας. Στην αρχή ο Πέτρος φοβήθηκε μην χάσει πολύτιμο χρόνο αλλά τελικά η διατριβή του ήταν αρκετή για να τους ικανοποιήσει. Μετά τη συνθηκολόγηση ο Πέτρος βρίσκετε ακόμα στο Cambridge, όπου ο Λίτλγουντ και ο Χάρντυ του προτείνουν επίσημη ακαδημαϊκή θέση και μια θέση στην ομάδα τους. Ο Πέτρος όμως φοβούμενος ότι ακόμα και αν παρήγαγε εξαιρετική εργασία ,η πορεία του θα καθοριζόταν από τις προτιμήσεις του Χάρντυ και του Λίτλγουντ. Όπως επίσης ότι αν κατάφερναν τελικά να αποδείξουν την υπόθεση του Ρήμαν, η δόξα δεν θα ήταν δικιά του αλλά θα επισκιαζόταν από τους δυο μεγάλους μαθηματικούς. Έτσι αποφάσισε να εργαστεί μόνος του πάνω στην εικασία του Γκόλντμπαχ. Λίγο νωρίτερα του είχε προταθεί η έδρα της ανάλυσης στο πανεπιστήμιο του Μονάχου την οποία δέχεται θεωρώντας για αυτό που ήθελε ακριβώς. Οικονομική ανεξαρτησία και σχετική ελευθερία. Μόλις εγκαταστάθηκε στο Μόναχο, το 1919 άρχισε να ασχολείται με την εικασία. Μετά από κάποιους μήνες κατανόησης του πραγματικού προβλήματος αποφάσισε ότι θα έλυνε το πρόβλημα μέσω της θεωρίας των διαμερίσεων. Την άνοιξη του ίδιου χρόνου πληροφορείται για τον θάνατο του Ραμανατζαν κάτι που τον έκανε επιφανειακά να λυπηθεί μα στην πραγματικότητα χάρηκε γιατί ήταν ο μονός που μπορούσε να ασχοληθεί με την εικασία. Ύστερα η πολύχρονη έρευνα του πάνω στη εικασία αρχίζει μέσα σε ένα σκοτεινό δωμάτιο στο Μόναχο όπου ο θειος Πέτρος αρχίζει να τρελαίνεται.

Θ. Πέτρος: Στο συγκεκριμένο απόσπασμα βλέπουμε πως ο Θ Θ. Πέτρος: Στο συγκεκριμένο απόσπασμα βλέπουμε πως ο Θ. Πέτρος είναι αφοσιωμένος στη δουλειά του και στην πεποίθηση ότι η παγκόσμια αναγνώριση θα του έφερνε πίσω την αγαπημένη του Ιζόλδη. Ακόμα, μπορούμε να διακρίνουμε τον εγωισμό και την αλαζονία που τον διακατήχε, από το γεγονός ότι αρνήθηκε την πρόταση του Hardy και Littlewood για συνεργασία φοβούμενος ότι θα επισκιαστεί από τους δυο μεγάλους μαθηματικούς και ότι δε θα πάρει αρκετή δόξα. Τέλος, βλέπουμε ότι η ενασχόληση του με την εικασία έχει αρχίσει να του δημιουργεί εμμονές.

Μπέρναρντ Ρίμαν  Ρίμαν γεννήθηκε στο Μπρέζελεντς (Breselenz), στο κρατίδιο Ανόβερο της Γερμανίας. Στο σχολείο ο Ρίμαν μελέτησε πολύ τη Βίβλο αλλά το μυαλό του συχνά γυρνούσε στα Μαθηματικά. Προσπάθησε ακόμα και να αποδείξει μαθηματικά την ορθότητα της Γενέσεως. Το 1846, σε ηλικία 19 ετών, άρχισε να μελετά Φιλολογία και Θεολογία ώστε να γίνει ιερέας. Ο πατέρας του με μεγάλη δυσκολία μάζεψε χρήματα και τον έστειλε στο ονομαστό Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο Ρίμαν άρχισε να δίνει διαλέξεις το 1854, διαλέξεις που θεμελίωσαν τη Γεωμετρία που σήμερα αποκαλείται «Ριμάνεια». Το 1859, μετά τον θάνατο των Γκάους και Ντίριχλετ, εκλέχθηκε καθηγητής και επικεφαλής του Τμήματος Μαθηματικών του Γκέτινγκεν. Το 1866 πέθανε από φυματίωση.

Το έργο του Ρίμαν άνοιξε νέες ερευνητικές περιοχές συνδυάζοντας την Ανάλυση με τη Γεωμετρία. Εκτός από τη Ριμάνεια Γεωμετρία, η θεωρία των επιφανειών Ρίμαν αναπτύχθηκε παραπέρα από τους Φέλιξ Κλάιν και Άντολφ Χούρεβιτς και σήμερα συνιστά ένα από τα θεμέλια της Τοπολογίας, ενώ εφαρμόζεται ακόμα με νέους τρόπους στη Μαθηματική Φυσική. Ο Ρίμαν προσέφερε πολλά στην Πραγματική Ανάλυση: όρισε το ολοκλήρωμα Ρίμαν με τη βοήθεια των αθροισμάτων Ρίμαν, ανέπτυξε μια θεωρία για τις τριγωνομετρικές σειρές που δεν είναι σειρές Φουριέ — ένα πρώτο βήμα για μια θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων — και μελέτησε το διαφορικό ολοκλήρωμα Ρίμαν-Λιουβίλ. Πολύ γνωστές είναι και κάποιες συνεισφορές του Ρίμαν στη σύγχρονη Αναλυτική Θεωρία των αριθμών. Σε μία και μόνη σύντομη δημοσίευση, εισήγαγε τη Συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έδειξε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διετύπωσε μια σειρά από εικασίες σχετικές με ιδιότητες της συναρτήσεως ζ, μία από τις οποίες είναι η περιβόητη Υπόθεση του Ρίμαν.

Ζήτα συνάρτηση Η συνάρτηση ζήτα ζ(s) είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται από την ακόλουθη άπειρη σειρά, αρκεί ο μιγαδικός αριθμός s να έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας:                                  Στην περιοχή                                                    , αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή. Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους πρώτους αριθμούς με την εξής σχέση, που ανακαλύφθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ:                                                                                                           όπου      το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).

Νιλς Χένρικ Άμπελ Ο Άμπελ ήταν ένας σημαντικός Νορβηγός μαθηματικός. Γεννήθηκε στο Νέντστραντ στις 5 Αυγούστου 1802 και πέθανε στις 6 Απριλίου 1829 από φυματίωση. Ο πατέρας του ήταν θεολόγος και φιλόσοφος. Το 1815 εισάχθηκε στο θρησκευτικό σχολείο (katedralskole) της Χριστιανίας. ο Αμπελ μπήκε στο «Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο» —το σημερινό Πανεπιστήμιο του Όσλο— το 1821 και πήρε πτυχίο το 1822.

Το 1824 συνέγραψε και δημοσίευσε (1824) το πρώτο του αξιόλογο έργο, με τίτλο Mémoire sur les équations algébriques ou on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré («Υπόμνημα επί των αλγεβρικών εξισώσεων, όπου αποδεικνύεται το αδύνατο της επιλύσεως της γενικής εξισώσεως του πέμπτου βαθμού»). Ενώ οι άλλοι ρωτούσαν «ποια είναι η λύση», ο Άμπελ ρώτησε «υπάρχει λύση;» και απέδειξε την αρνητική απάντηση το 1823 (Θεώρημα Abel–Ruffini). Το έργο ήταν δυσνόητο και δυσανάγνωστο, επειδή και ο αριθμός των σελίδων του περιορίσθηκε πολύ προκειμένου να πέσει το κόστος εκτύπωσης. Μια πιο λεπτομερής απόδειξη δημοσιεύθηκε το 1826 στον πρώτο τόμο του «Περιοδικού του Κρέλε» (Crelle's Journal).

Εβαρίστ Γκαλουά Ο Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois Οκτώβριος 25, 1811 - Μάιος 31, 1832) ήταν Γάλλος μαθηματικός γεννημένος στην Bourg-la-Reine. Από τα νεανικά του ακόμα χρόνια, ήταν ικανός να προσδιορίσει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να γνωρίζει αν ένα πολυώνυμο είναι επιλύσιμο με ριζικά λύνοντας έτσι ένα πρόβλημα που βασάνιζε τούς μαθηματικούς για αρκετούς αιώνες. Η προσφορά του για τα μαθηματικά ήταν στα θεμέλια της Θεωρία Γκαλουά και Άλγεβρα. Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη ομάδα για να εκφράσει ένα σύνολο μεταθέσεων. Ήταν ριζικός Δημοκρατικός κατά τη διάρκεια της μοναρχίας του Louis Philippe στη Γαλλία και πέθανε στην ηλικία των είκοσι ένα ετών σε μια μονομαχία.

Πιέρ ντε Φερμά Ο Πιέρ ντε Φερμά γεννήθηκε στις 17 Αυγούστου 1601 ή 1607/8 και πέθανε στις 12 Ιανουαρίου 1665. Ήταν δικηγόρος στην βουλή της Τουλούζης και μαθηματικός. Αναγνωρίζεται για την ανακάλυψη μιας πρωτότυπης μεθόδου προσδιορισμού της μεγαλύτερης και της μικρότερης συντεταγμένης τεθλασμένων ευθειών, όπως και για την ερευνά του στη θεωρία των αριθμών.

Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat Ο Διόφαντος στο βιβλίο του Αριθμητικά στο Πρόβλημα Β΄.8 έθεσε το ερώτημα του αν μπορούμε να διαχωρίσουμε ένα τετράγωνο αριθμού σε δύο άλλα τετράγωνα, δηλαδή δοθέντος ενός ρητού c αν μπορούμε να βρούμε ρητούς a και b τέτοιους ώστε 2 2 2 a +b =c . Ο Διόφαντος έδωσε απάντηση στο ερώτημά του για την περίπτωση c=4. Tο 1637 o Pierre de Fermat (1601-1655), μελετώντας μια λατινική μετάφραση του βιβλίου του Διόφαντου, έγραψε στο περιθώριο της σελίδας που βρίσκονταν το Πρόβλημα Β΄.8: είναι αδύνατο να διαχωρίσουμε ένα κύβο σε δύο κύβους, ή μιας τέταρτης τάξης δύναμη σε δύο τέταρτης τάξης δυνάμεις ή γενικότερα οποιαδήποτε δύναμη τάξης μεγαλύτερης του 2 σε δύο δυνάμεις της ίδιας τάξης. Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη για αυτό, αλλά το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει. Η σημείωση αυτή του Fermat έμεινε γνωστή ως το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, το οποίο διατυπώνεται ως εξής: δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , , , a b c n με n > 2 τέτοιοι ώστε n n n a +b =c . Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat παρέμεινε αναπόδεικτo για 357 χρόνια. Σε όλα αυτά τα χρόνια ανακοινώθηκαν αρκετά βραβεία για την επίλυσή του, και έγιναν χιλιάδες αποτυχημένες προσπάθειες! Το 1993 ….

Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε από τον Andrew Wiles To 1993 στις 21, 22 και 23 Ιουνίου σε τρεις διαλέξεις στο Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences του Cambridge ο Andrew Wiles, καθηγητής του Πανεπιστημίου Princeton, ανακοίνωσε την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat, χρησιμοποιώντας τη θεωρία των ελλειπτικών καμπυλών. Στην πραγματικότητα ο Wiles απέδειξε μια περίπτωση της εικασίας Taniyama–Shimura για τις ελλειπτικές καμπύλες. Συνδέοντας τα αποτελέσματά του με ήδη γνωστά αποτελέσματα των Gerhard Frey και Kenneth Ribet, το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat προέκυψε σαν Πόρισμα! Ο Wiles δούλευε γι αυτό συνεχώς για 7 χρόνια. Στην ανακοίνωση του υπήρχε ένα κενό σε ένα κρίσιμο σημείο της θεωρίας του. Δουλεύντας για ένα ακόμη χρόνο με τον πρώην μαθητή του Richard Taylor κατόρθωσε τελικά να συμπληρώσει το κενό αυτό∗. Ο Wiles είχε διαβάσει για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat σε ηλικία 10 χρονών! Εντυπωσιάστηκε τόσο πολύ που αποφάσισε ότι θα ήταν ο πρώτος που θα το αποδείκνυε.

Καρλ Φρίντριχ Γκάους Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους γεννήθηκε στις 30 Απριλίου 1777 και πέθανε στις 23 Φεβρουαρίου 1855). Συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός). Αποκλήθηκε «ο πρίγκηψ των μαθηματικών» και ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη».

Το 1792 με μια υποτροφία που του έδωσε ο Δούκας του Brunswick-Lüneburg φοίτησε στο Collegium Carolinum. Στη συνέχεια, σπούδασε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν από το 1795 ως το 1798. Κατά τη διάρκεια των σπουδών του, ο Γκάους πέτυχε να ανακαλύψει εκ νέου και από μόνος του πολλά ήδη γνωστά σημαντικά θεωρήματα. Η πρώτη του νέα ανακάλυψη ήταν το 1796, όταν απέδειξε ότι οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο του οποίου ο αριθμός πλευρών είναι πρώτος αριθμός Φερμά (και, συνεπώς, και όλα τα πολύγωνα με αριθμό πλευρών γινόμενο ξεχωριστών πρώτων αριθμών Φερμά και μιας δυνάμεως του 2) μπορεί να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Την ίδια χρονιά (1796) ο Γκάους έκανε πολλές συνεισφορές στη θεωρία αριθμών, όπως το θεώρημα των πρώτων αριθμών, που έθεσε ως εικασία στις 31 Μαΐου και προσφέρει μια καλή κατανόηση του πώς κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί ανάμεσα στους ακέραιους. Ο Γκάους ανακάλυψε επίσης ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφρασθεί ως το άθροισμα ενός, δύο ή τριών τριγωνικών αριθμών (στις 10 Ιουλίου). Στη διατριβή του με τίτλο «Μία νέα απόδειξη ότι κάθε ρητή συνάρτηση μιας μεταβλητής μπορεί να αναλυθεί σε πραγματικούς παράγοντες του πρώτου ή του δεύτερου βαθμού» (1799) ο Γκάους έδωσε μία απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας. Το σημαντικό αυτό θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πολυώνυμο πρέπει να έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Το 1807 διορίσθηκε καθηγητής της αστρονομίας και διευθυντής του αστεροσκοπείου στο Γκέτινγκεν.