ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

Έστω η συνάρτηση y=f(x) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω η συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ x y = f(x) y φ φ Δy φ x1+Δх Δy x1+Δх Δx Δx x1 ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Επιτάχυνση Γωνιακή ταχύτητα:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνηση. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας; 30 10 5 t(s) ω (rad/s) θ dω dt =εφθ= Δω Δt dω dt rad/s2 = = 30-10 5 4rad/s2 Ο ρυθμός αυτός είναι η γωνιακή επιτάχυνση, συνεπώς η κίνηση είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη

Αφού η εφαπτόμενη στην καμπύλη έχει μηδενική κλίση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος. Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 2s; 20 υ m/s 0 2 4 t(s) a= dυ dt = 0 Αφού η εφαπτόμενη στην καμπύλη έχει μηδενική κλίση. Π.χ. στην α.α.τ. όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας και έχει μέγιστη ταχύτητα έχει μηδενική επιτάχυνση

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 dυ a= dt =(20ημπt/4)’ = =20∙π/4 συν(πt/4) = = -5π m/s2. 0 2 4 t(s) Αν υ = 20ημπt/4 (S.I) Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 4s; a= dυ dt =(20ημπt/4)’ = =20∙π/4 συν(πt/4) = = -5π m/s2.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έστω Δх μια μεταβολή της x. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Και για Δх 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) Τότε y΄=f(x+Δx) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y΄ y=f(x+Δx)  f(x); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx) όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-τάται από το x) και ο(Δx) συνάρτηση του Δx δύνα-μης μεγαλύτερης της 1ης Για Δx 0 Για Δx 0 A=(dy/dx) και ο(Δx)  0

ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε την παράγωγο ως λόγο. dr Έστω κύκλος ακτίνας r. Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; r Συμβατική απάντηση: Διαφορικό:

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ;

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό

Αλλά και γενικότερα και η ανάλυση της σειράς Taylor εφαρμογές e±a ≈ 1 ± a Αν φ→0 τότε ημφ ≈ 0 και συνφ ≈1 Αλλά και γενικότερα και η ανάλυση της σειράς Taylor

Αρκετά στοιχεία στηρίζονται σε μια παρουσίαση του Χ Αρκετά στοιχεία στηρίζονται σε μια παρουσίαση του Χ. Τρικαλινού από το Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας: www.mie.uth.gr/ekp_yliko/Coordinate_Systems.ppt