Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές Θ. Κεχαγιάς Γενικό Τμήμα Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

ΔΦ Live Πράσινος Μπλε C D C (3,3) (0,5) (5,0) (1,1) D

ΔΦ: Ανάλυση Πράσινος Μπλε C D C (3,3) (0,5) (5,0) (1,1) D

Το Αρχικό ΔΦ Το Δίλημμα του Φυλακισμένου Πράσινος Μπλε C D C (2,2) (5,0) (0,5) (4,4) D Δύο ύποπτοι για ληστεία ανακρίνονται από την αστυνομία … Αν ομολογήσει μόνο ο ένας τον αφήνουν ελεύθερο ο άλλος τιμωρείται με 5 χρόνια φυλακή. Αν δεν ομολογήσει κανείς δεν μπορούν να αποδείξουν ότι έκαναν την ληστεία αλλά θα τους καταδικάσουν για παράνομη οπλοφορία, 2 χρόνια τον καθένα. Αν ομολογήσουν και οι δύο καταδικάζονται και οι δύο, σε 4 χρόνια φυλακή.

Ένα Παίγνιο Διαφήμισης Πράσινος Μπλε C D C (3,3) (0,5) (5,0) (2,2) D Δύο εταιρείες πουλούν το ίδιο προϊόν, στην ίδια τιμή. Οι συνολικές πωλήσεις είναι 104 τεμάχια και αποφέρουν κέρδος 6· 104 Euro. Αν καμμία εταιρεία δεν κάνει διαφημιστική καμπάνια, οι αγοραστές μοιράζονται εξίσου μεταξύ των δύο. Αν μόνο η Πράσινη εταιρεία κάνει διαφημιστική καμπάνια όλοι οι αγοραστές θα προτιμήσουν το προϊόν της … αλλά η καμπάνια στοιχίζει 104 Euro. Αν και η Πράσινη και η Μπλε εταιρεία κάνει διαφημιστική καμπάνια, οι αγοραστές δεν θα αλλάξουν προμηθευτή.

Ένα Παίγνιο Τηλεπικοινωνιών Δύο χρήστες θέλουν να στείλουν ο καθένας το δικό τους μήνυμα. Υπάρχει μόνο ένα διαθέσιμο κανάλι. Το κόστος αποστολής είναι 0.1 Euro. Αν μόνο ο Πράσινος στείλει το μήνυμα του, θα έχει κέρδος 1 Euro. Αν και ο Πράσινος και ο Μπλε στείλουν μήνυμα, το κανάλι θα μπλοκάρει και κανένα μήνυμα δεν θα περάσει. Πράσινος Μπλε C D C (0,0) (0,0.9) (0.9,0) (-0.1,-0.1) Τηλεπικοινωνίες (Channel Access) D

Και Άλλα Παίγνια Πράσινος Μπλε C D C (1,1) (1,5) (5,1) (0,0) Η Μάχη των Φύλων D Πράσινος Μπλε C D C (-1,-1) (-1,5) (5,-1) (-100,-100) Chicken D

Παίγνια Μηδενικού Αθροίσματος Πράσινος Μπλε C D C (-2,2) (1,-1) (2,-2) (3,-3) D Πράσινος Μπλε C D C -2 1 2 3 D

Παίγνια Μηδενικού Αθροίσματος Πράσινος Μπλε C D C -1 1 D Πράσινος C D Μπλε C 5 1 3 4 D

Παίγνιο με Ν παίκτες

Το γενικό 2Χ2 Συμμετρικό Παίγνιο

Το γενικό MΧN Συμμετρικό Παίγνιο

Επαναλαμβανόμενο ΔΦ Πράσινος Μπλε C D C (3,3) (0,5) (5,0) (1,1) D Εδώ είναι ο πίνακας για το παίγνιο που αποτελείται από δύο γύρους ΔΦ.

Θεωρία Παιγνίων Θεωρία Παιγνίων: Η μαθηματική θεωρία της σύγκρουσης και της συνεργασίας Ότι είναι η Θεωρία Πιθανοτήτων για τα παίγνια τύχης, είναι η Θεωρία Παιγνίων για τα στρατηγικά παίγνια

Θεωρία Παιγνίων Κεντρική Βελτιστοποίηση: Ενας «παίκτης» επιλέγει x1, x2 για να μεγιστοποιήσει την f(x1, x2)   Κατανεμημένη Βελτιστοποίηση: Ο «παίκτης» 1 επιλέγει την x1, για να μεγιστοποιήσει την f (x1, x2) και ο «παίκτης» 2 επιλέγει την x2, για να μεγιστοποιήσει την f (x1, x2). Εγωιστική Βελτιστοποίηση: Ο «παίκτης» 1 επιλέγει την x1, για να μεγιστοποιήσει την f1(x1, x2) και ο «παίκτης» 2 επιλέγει την x2, για να μεγιστοποιήσει την f2(x1, x2).

Εφαρμογές της Θεωρίας Παιγνίων Οικονομία (καρτέλ, ολιγοπώλια, διαφημιστικές εκστρατείες) Κούρσα εξοπλισμών (π.χ. Ελλάδα-Τουρκία) Χρήση προηγμένων τεχνολογιών πληροφορικής (ΔΦ με Ν παίκτες, μεγάλο Ν). Linux vs. Windows C vs. Fortran Peer-To-Peer (να ανοίξω τον HD μου ή όχι?). Χρηματοδότηση έρευνας. Εκπαιδευτικές Εφαρμογές Κλέψιμο στις εξετάσεις. Πληθωρισμός βαθμών Κάθε περίπτωση στην οποία περισσότεροι του ενός παίκτες προσπαθούν να βελτιστοποιήσουν ο καθένας την δική του συνάρτηση κέρδους.

Διάφορα Παίγνια Φτηνές υπεραστικές κλήσεις μετά τις 23:00 και συμφόρηση γραμμών. Πότε να πάρω τηλέφωνο, πριν ή μετά τις 23:00? Pennypot: Δύο παίκτες εναλάσσονται, σε κάθε γύρο ο ένας εκ των δύο ή προσθέτει ένα ευρώ στην μπάνκα ή παίρνει όλα τα ευρώ. ΔΦ με ανταλλαγές αγαθών (Hofstadter 716) Γιατί στα στρατόπεδα συγκέντρωσης οι έγκλειστοι δεν επιτέθηκαν στου φρουρούς? Κανείς δεν θέλει να είναι στην πρώτη γραμμή σε μια διαδήλωση, αν όμως δεν σχηματιστεί πρώτη γραμμή δεν θα υπάρχει διαδήλωση. Κυκλοφοριακά: τήρηση/παραβίαση του κόκκινου, οδήγηση σε μια πλευρά του δρόμου. Γενικότερα: εγκαθίδρυση προτύπων, κανονισμών, (άγραφων) νόμων, ηθικής. Ειδικότερα: σταθεροποίηση γλώσσας. Παιχνίδια με μάθηση. Παιχνίδια με χωρική δομή.

Παίγνια Μηδενικού Αθροίσματος Μέγιστο ελάχιστο κέρδος του Α Ελάχιστη μέγιστη ζημία του Β Σαγματικό σημείο (saddle point)

Λύση Minimax με Καθαρές Στρατηγικές

Λύση Minimax με Μικτές Στρατηγικές Οι μικτές στρατηγικές είναι κατανομές πιθανοτήτων Το προσδοκώμενο κέρδος του Α είναι: Θεώρημα Minimax: Για κάθε παίγνιο μηδενικού αθροίσματος υπάρχουν p*,q* τ.ω. Η αξία του παιγνίου για τον Α ισούται με και επιτυγχάνεται όταν

Παράδειγμα με Μικτές Στρατηγικές Παράδειγμα με Μικτές Στρατηγικές =1/5 =3/5 =17/5 Η αξία του παιγνίου για τον Α ισούται με

Παίγνια Μη Μηδενικού Αθροίσματος: Ισορροπία Nash Μια στρατηγική είναι σημείο ισορροπίας Nash ανν για κάθε παίκτη i όπου: Κέρδος του παίκτη i στρατηγική του παίκτη i Η βέλτιστη απόκριση του παίκτη i στις στρατηγικές s-i είναι η στρατηγική si η οποία ικανοποιεί: Σημείο ισορροπίας Nash : Ένα σύνολο αμοιβαία βέλτιστων αποκρίσεων Ένα παίγνιο μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας Nash

Θεώρημα: Κάθε πεπερασμένο παίγνιο Ν παικτών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας Nash (στον χώρο των μικτών στρατηγικών). Προσοχή: Ένα παίγνιο μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας Nash

Παίγνια Μη Μηδενικού Αθροίσματος: Βελτιστότητα Pareto Μια στρατηγική s(1) υπερέχει κατά Pareto της s(2) ανν για κάθε παίκτη i Μια στρατηγική s* είναι Pareto βέλτιστη ανν δεν υπάρχει στρατηγική s η οποία υπερέχει της s* κατά Pareto. Δηλ. ένα σημείο είναι Pareto βέλτιστο ανν κανείς παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει το κέρδος του χωρίς να ελαττώσει το κέρδος κάποιου άλλου παίκτη

Εφαρμογή στο ΔΦ Πράσινος Μπλε C D C (3,3) (5,0) (0,5) (1,1) D Nash

Live: To Παίγνιο της Βαθμολόγησης

Βελτιστότητα στο Παίγνιο της Βαθμολόγησης Green Blue Δεν θέλω Θέλω Δεν Θέλω (0, 0) (0, 1) (1, 0) Θέλω Nash

Παίγνια σε Δίκτυα Ασύρματης Επικοινωνίας Παίγνια σε Δίκτυα Ασύρματης Επικοινωνίας D2 D1 S2 S1

Το Δίλημμα της Προώθησης Blue Πράσινος ? ? Πράσινος Forward Drop Μπλέ Forward (1-c, 1-c) (-c, 1) (1, -c) (0, 0) Drop Το κόστος αποστολής είναι c, το κέρδος από επιτυχή μετάδοση είναι 1.

Το Δίλημμα της Προώθησης Πράσινος Forward Μπλέ Drop Forward (1-c, 1-c) (-c, 1) (1, -c) (0, 0) Drop Η στρατηγική Drop επικρατεί της Forward, αν και η αμοιβαία Forward θα έδινα καλύτερο αποτέλεσμα. Το αποτέλεσμα είναι η τραγωδία των βοσκοτόπων (Hardin, 1968)

Το Δίλημμα της Συνδυασμένης Προώθησης ? ? Μπλέ Πράσινος Προορισμός Πηγή Πράσινος Forward Μπλέ Drop Το κέρδος επιτυχούς μετάδοσης είναι 1 Το κόστος προώθησης είναι c (0 < c << 1) (1-c, 1-c) (-c, 0) (0, 0) Forward Drop Δεν υπάρχει επικρατούσα στρατηγική ….

Ισορροπία Nash (1-c, 1-c) (-c, 1) (1, -c) (0, 0) (1-c, 1-c) (-c, 0) Πράσινος Forward Drop Μπλέ Το δίλημμα της προώθησης Forward (1-c, 1-c) (-c, 1) (1, -c) (0, 0) Drop Πράσινος Forward Drop Μπλέ Το δίλημμα της συνδυασμένης προώθησης Forward (1-c, 1-c) (-c, 0) (0, 0) Drop

«Αποδοτικότητα» της Ισορροπίας Nash Πράσινος Forward Drop Μπλέ Forward (1-c, 1-c) (-c, 0) (0, 0) Drop Δύο σημεία Nash, το ένα είναι Pareto βέλτιστο …

Το Παιχνίδι Πολλαπλής Πρόσβασης Time-division channel Πράσινος Quiet Μπλέ Transmit Quiet (0, 0) (0, 1-c) (1-c, 0) (-c, -c) Transmit

Το Παιχνίδι Πολλαπλής Πρόσβασης p: Πιθανότητα να εκπέμψει ο Μπλε q: Πιθανότητα να εκπέμψει ο Πράσινος Σημείο Nash

Το Παιχνίδι Παρεμβολής Πομπός Δύο κανάλια, C1 και C2 Παρεμβολέας Πράσινος Μπλέ C1 C2 C1 (-1, 1) (1, -1) C2 Δεν υπάρχει σημείο Nash στις καθαρές στρατηγικές, αλλά το p=1/2, q=1/2 είναι σημείο Nash στις μικτές στρατηγικές

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια Επανειλημμένη αλληλεπίδραση μεταξύ των παικτών Στρατηγική: προσδιορίζει την επόμενη κίνηση ως συνάρτηση των προηγούμενων Παίγνια πεπερασμένου ή άπειρου ορίζοντα

Συνάρτηση Κέρδους σε Επαν. Παίγνια Μυωπική: Μακρόπνοη, πεπερασμένη: Μακρόπνοη, άπειρη: Μακρόπνοη, άπειρη, με απόσβεση: Ο συντελεστής απόσβεσης

Στρατηγικές σε Επαν. Παίγνια Συνήθως οι στρατηγικές εξαρτώνται από το προηγούμενο βήμα μόνο: Την κίνηση του συμπαίκτη: Την κίνηση του ίδιου του παίκτη: Το κέρδος: Π.χ. στο Παίγνιο Προώθησης: Μπλε (t) Αρχική κίνηση F D Στρατηγική Πράσινος (t+1) AllC Tit-For-Tat (TFT) AllD Anti-TFT

Το Επαν. Παιχνίδι της Προώθησης ? Μπλέ Πράσινος ? Πράσινος Forward Drop Μπλέ Forward (1-c, 1-c) (-c, 1) (1, -c) (0, 0) Drop Κέρδος κάθε γύρου

Το Επαν. Παιχνίδι της Προώθησης Άπειρο παίγνιο με απόσβεση: Μπλε Στρατηγική Πρασινη Στρατηγική AllD TFT AllC Μπλε Κέρδος Πράσινο 1 -c 1/(1-ω) -c/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

Ανάλυση Μπλε Στρατηγική Πρασινη Στρατηγική AllD TFT AllC Μπλε Κέρδος Πράσινο 1 -c 1/(1-ω) -c/(1-ω) (1-c)/(1-ω) Το AllC έχει καλό κέρδος όταν παίζει με AllC και με TFT, αλλά το AllD εκμεταλλεύεται το AllC. Το AllD έχει μικρό κέρδος όταν παίζει με AllD. Το TFT πάει καλά με το AllC και με το AllD και εκδικείται το AllD Το TFT είναι η καλύτερη στρατηγική όταν το ω είναι κοντά στο 1!

Ανάλυση Μπλε Στρατηγική Πρασινη Στρατηγική Κέρδος Πράσινο AllD TFT TFT (1-c)/(1-ω) Θεώρημα: Στο επαναλ. Παίγνιο προώθησης, το (AllD, AllD) είναι σημείο Nash. Θεώρημα: Στο επαναλ. Παίγνιο προώθησης, το (TFT , TFT) είναι σημείο Nash το οποίο είναι και Pareto βέλτιστο.

Βιβλιογραφία http://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory http://users.auth.gr/~kehagiat/GameTheory/index.html J.D. Williams, The Compleat Strategyst, 1954. Γ. Βαρουφάκης , Θεωρία παιγνίων, 2007. R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. JW Weibull , Evolutionary game theory. 1997. Μ. Felegyhazi + J.P. Hubaux, “Game Theory in Wireless Networks: a Tutorial”, IEEE, 2005. M Felegyhazi, M Cagalj, SS Bidokhti , “Noncooperative multi-radio channel allocation in wireless networks”, Proceedings of the IEEE, 2007. AB MacKenzie, SB Wicker . «Game theory and the design of self-configuring, adaptive wireless networks». IEEE Communications Magazine, 2001. Srivastava et al., “Using Game Theory to Analyze Wireless Ad Hoc Networks”, 2006. H.Tembine, E Altman, R El-Azouzi . “Multiple access game in ad-hoc network”, 2007. G Thamilarasu, R Sridhar , “Game Theoretic Modeling of Jamming Attacks in Ad hoc Networks”, 2009. Y Xiao, X Shan, Y Ren . «Game theory models for IEEE 802.11 DCF in wireless ad hoc networks», IEEE Communications Magazine, 2005.