ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Προσδοκίες που δημιουργεί ο τίτλος του μαθήματος. Συνάντηση 8η 9/4/2017 Μαθηματικές έννοιες και Φυσικές Επιστήμες

Στόχοι του μαθήματος Η κατανόηση των θεωριών ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών παιδιών προσχολικής ηλικίας. Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών Ανάλυση και σύνθεση αριθμών Η έννοια της δεκάδας Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Κλάσματα

Λέξεις & φράσεις κλειδιά προηγούμενων μαθημάτων Άτυπες στρατηγικές μαθητών Αριθμός Αρίθμηση Κατασκευή της προφορικής ακολουθίας των αριθμολέξεων Άμεση εκτίμηση ποσοτήτων Απαρίθμηση & κατασκευή συλλογών ορατών αντικειμένων Αναγνώριση και γραφή των συμβόλων των αριθμών ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Διατακτική σημασία του αριθμού Πληθικότητα αριθμού Ιεραρχικός εγκλεισμός Πέντε τύποι αριθμήσιμων μονάδων Συγκρίσεις συλλογών αντικειμένων

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (1) Η εξοικείωση με τους αριθμούς και τις σχέσεις τους συνδέονται απόλυτα με τις πράξεις. Πράξεις εμφανίζονται συχνά στις καθημερινές δραστηριότητες των παιδιών όταν βάζουν μαζί ποσότητες, όταν αναρωτιούνται πόσα χρειάζονται, όταν μοιράζονται πράγματα.

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (2) Ο αυτάρκης χειρισμός των σχέσεων των αριθμών της πρώτης δεκάδας είναι αδιαμφισβήτητη ανάγκη γα κάθε αριθμητική μάθηση, όπως και γα τη «μεταβίβαση» της δεξιότητας σε μεγαλύτερους υπολογισμούς ή εκτιμήσεις (Τζεκακη 2007: σελ. 214). Στις μέρες μας γίνεται αποδεκτό ότι η προοδευτική κατάκτηση της ικανότητας της αρίθμησης, οδηγεί στην εύρεση πιο αποτελεσματικών τρόπων πρόσθεσης και αφαίρεσης (Fuson, 2004, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 84).

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (3) Τα παιδιά από πολύ μικρή ηλικία αντιλαμβάνονται διαισθητικά ότι όταν προσθέτουμε σε μια συλλογή αντικείμενα γίνεται μεγαλύτερη σε πλήθος και αντίστοιχα όταν αφαιρούμε γίνεται μικρότερη. Παιδιά ηλικίας 3 έως 4 ετών απαντούν με επιτυχία σε προβλήματα με μικρούς αριθμούς, όπως «1+1», «2-1» ενώ λίγο μεγαλύτερα απαντούν με ευκολία για τα «1+2», «3-1» κ.λπ. Οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης μπορεί να δηλώνονται με λεκτικές διατυπώσεις όπως, για παράδειγμα, βάζω μαζί, ενώνω, βάζω κι άλλα, μεγαλώνω, προσθέτω και βγάζω, λιγοστεύω, μικραίνω, αφαιρώ. Ο ρόλος της γλώσσας της παιδαγωγού προσχολικής αγωγής

(Αλληλεπιδραστικές) διδακτικές στρατηγικές για την προαγωγή μάθησης Η προσφορά σκαλωσιών μάθησης (scaffolding) (Vygotsky, Bruner et al) Οι ερωτήσεις (questioning) (π.χ. εξήγησης, πρόβλεψης) Παιγνιώδης αντιμετώπιση και χειρισμός της από κοινού δραστηριότητας (playfulness) Αυτονομία (giving autonomy)

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (4) Στα πρώτα τους βήματα, στο ερώτημα «πόσα είναι όλα μαζί» τα αντικείμενα τα παιδιά μετρούν τα αντικείμενα της πρώτης συλλογής, μετρούν τα αντικείμενα της δεύτερης συλλογής και στη συνέχεια τα μετρούν από την αρχή όλα μαζί (counting all) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 84). Η σημαντική αλλαγή στη σκέψη των παιδιών ηλικίας 5-6 ετών είναι ότι μαθαίνουν να κάνουν προσθέσεις και αφαιρέσεις χωρίς να έχουν μπροστά τους τα αντικείμενα (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 84).

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (5) Τα παιδιά αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα πρόσθεσης με βάση τον τύπο αριθμήσιμων μονάδων που έχουν οικοδομήσει. Αρχικά χρειάζονται μπροστά τους τα αντικείμενα και βέβαια χρειάζονται μια κατάλληλη ερώτηση, όπως «πόσα είναι όλα μαζί» (αντιληπτικό στάδιο). Σε επόμενα στάδια μπορούν να αριθμούν ή και να χρησιμοποιούν τα δάχτυλά τους.

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (6α) Οι Greno et al. (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 88) ταξινόμησαν τα προβλήματα σε τρεις βασικές κατηγορίες: Προβλήματα αλλαγής (change), όπου ένα γεγονός αλλάζει την ποσότητα της αρχικής κατάστασης. Για παράδειγμα: «Η Μαρία έχει 2 σοκολατάκια. Ο Νίκος της έδωσε 1 ακόμα. Πόσα σοκολατάκια έχει η Μαρία;». Προβλήματα συνδυασμού (combine), όπου οι σχέσεις των δυο ποσοτήτων είναι στατικές. Για παράδειγμα: «Η Μαρία έχει 2 σοκολατάκια. Ο Νίκος έχει 1 σοκολατάκι. Πόσα σοκολατάκια έχουν και οι δύο μαζί;». Προβλήματα σύγκρισης (compare), όπου έχουμε σύγκριση ποσοτήτων. Για παράδειγμα: «Η Μαρία έχει 2 σοκολατάκια. Ο Νίκος έχει 1 σοκολατάκι περισσότερο από τη Μαρία. Πόσα σοκολατάκια έχει ο Νίκος;».

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (6β) Οι Carpenter & Moser (1982, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 90), έχουν προτείνει μια ακόμη κατηγορία προβλημάτων, αυτή της εξισορρόπησης (equilaze), η οποία είναι ένα συνδυασμός προβλήματος σύγκρισης και αλλαγής. Για παράδειγμα: «Η Μαρία έχει 3 σοκολάτες και ο Νίκος 2 σοκολάτες. Πόσες σοκολάτες πρέπει να δώσουμε στο Νίκο για να έχει τόσες όσες η Μαρία;».

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (7) Τα αποτελέσματα ερευνών δείχνουν ότι τα παιδιά αντιμετωπίζουν συνήθως ευκολότερα προβλήματα συνδυασμού ή αλλαγής σε σχέση με τα προβλήματα σύγκρισης. πιο απλά είναι για τα παιδιά προβλήματα συνδυασμού με άγνωστη την τελική ποσότητα και τα προβλήματα αλλαγής πρόσθεσης και αφαίρεσης με άγνωστη την τελική ποσότητα (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 90).

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (8) Οι ερευνητές συνοψίζουν την εξέλιξη των αθροιστικών στρατηγικών σε τρία στάδια (Τζεκάκη 2007: σελ. 218): Στο πρώτο στάδιο, τα παιδιά δεν έχουν πλήρη αντίληψη της κατάστασης που αντιμετωπίζουν και κατά συνέπεια χρησιμοποιώντας την προηγούμενη γνώση της καταμέτρησης, βάζουν μαζί ή βγάζουν αντικείμενα. Αλλά τελικά μετρούν όσα αντικείμενα βλέπουν, ακολουθώντας την πιο απλή προσθετική διαδικασία της μέτρησης (count all). Σε ένα δεύτερο στάδιο μερικά παιδιά συνειδητοποιούν ότι δεν είναι αναγκαίο να τα μετρήσουν όλα και να συνεχίζουν τη μέτρηση από το τέλος ενός συνόλου, χωρίς αυτό να είναι αναγκαία το μεγαλύτερο (αυτή τη διαδικασία η ερευνητές την ονόμασαν μέτρηση από – count on). Στο τρίτο στάδιο τα παιδιά, έχοντας κατανοήσει τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς, μπορούν να εκδηλώσουν στρατηγικές που βασίζονται στην κατανόηση των σχέσεων αυτών, όπως η ανάλυση και ή σύνθεση τω αριθμών, γεγονός που στη συνέχεια τους οδηγεί σταδιακά και στην υπέρβαση της δεκάδας.

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών (9) Τέλος, οι Carpenter & Moser (1982, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 90) ομαδοποίησαν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά ως εξής: Στρατηγικές που βασίζονται στην αρίθμηση με μοντελοποίηση των δεδομένων του προβλήματος (χρήση αντικειμένων ή δαχτύλων). Στρατηγικές που βασίζονται στην αρίθμηση, χωρίς τη χρήση μοντέλων, όπως για παράδειγμα, αρίθμηση από κάποιο αριθμό και πέρα. Στρατηγικές στις οποίες γίνεται χρήση των γνωστών αθροισμάτων και διαφορών.

Ανάλυση και σύνθεση αριθμών (1) Η ανάλυση και η σύνθεση αριθμών θεωρείται μια πολύ σημαντική πράξη για τα νήπια, καθώς τους εξασφαλίζει εμπειρίες για την οικοδόμηση της σχέσης μέρους όλου (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 92). Η κατανόηση από τα παιδιά ότι ένας αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε μικρότερα μέρη τα οποία όταν επανενωθούν κάνουν τον ίδιο αριθμό είναι πολύ σημαντική για την κατανόηση επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης με άγνωστο προσθετέο ή μειωτέιο (π.χ. ;+2=3 ή ;-2=1) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 93).

Ανάλυση και σύνθεση αριθμών (2) Οι πράξεις της ανάλυσης και της σύνθεσης αριθμών προϋποθέτει τα παιδιά να μπορούν να αριθμούν και ταυτόχρονα να κατανοούν ότι μικρότεροι αριθμοί εμπεριέχονται μέσα σε μεγαλύτερους. Έτσι, παιδιά ηλικίας 3-4 ετών μπορούν να «δουν» ότι 2 αντικείμενα και 1 αντικείμενο μας κάνουν 3 αντικείμενα, δηλαδή ότι οι αριθμοί 2 και 1 είναι «κρυμμένοι» μέσα στο 3. Ενώ σε μεγαλύτερες ηλικίες, τα παιδιά μπορούν χωρίσουν μια ομάδα αντικειμένων σε υποομάδες (π.χ. να χωρίζουν 4 αντικείμενα σε 2 και 2 ή 1 και 3) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 94).

Ανάλυση και σύνθεση αριθμών (3) Η ανάλυση και η σύνθεση μικρών αριθμών με τη χρήση γνώριμων αντικειμένων για τα παιδιά στην προσχολική εκπαίδευση είναι απαραίτητη για την κατανόηση σε μεγαλύτερες ηλικίες: του δεκαδικού συστήματος, ιδιοτήτων των πράξεων όπως η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης, - των κλασμάτων κ.λπ.

Η έννοια της δεκάδας Η κατανόηση της δομής του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης προκαλεί αρκετές δυσκολίες στα παιδιά, καθώς περιλαμβάνει την συνειδητοποίηση της αξίας θέσης των ψηφίων ενός αριθμού και την κατανόηση της αρχής της πρόσθεσης (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 94-95). 13=1Χ101+3Χ100 456=4Χ102+5Χ101+3Χ100 Σύμφωνα με ερευνητές η ενασχόληση των παιδιών με τους διψήφιους αριθμούς μπορεί να ξεκινήσει από το νηπιαγωγείο.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (1) Σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση η βασική ιδέα που χρειάζεται να κατανοήσουν τα παιδιά προσχολικής ηλικίας είναι ότι ένα όλο μπορεί να συντεθεί από ή να αναλυθεί σε μέρη ίσου μεγέθους (Baroody 2004, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 98).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (1α) Οι πολλαπλασιαστικές καταστάσεις ξεκινούν από μορφές του τύπου «3 φορές τα 2 μολύβια». Ακόμη όμως και σε αυτή την πολύ απλή κατάσταση, που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση (3 φορές τα 2, μπορεί να αποδοθεί ως 2+2+2) οι δύο εμπλεκόμενοι αριθμοί έχουν διαφορετική σημασία και αφορούν διαφορετικές πλευρές της κατάστασης. Στην περίπτωση του «3 φορές το 2», το τρία αποτελεί αυτό που ονομάζεται τελεστής κλίμακας (scalar factor, Vegnaud 1983, στο Τζεκάκη 2007: σελ. 218). Ο τελεστής κλίμακας ενεργεί πάνω σε ποσότητες ή μεγέθη μετασχηματίζοντάς τα και στην περίπτωση αυτή αποτελεί έναν αριθμό χωρίς διαστάσεις, ένα πολλαπλασιαστή (multiplying factor, Yamanoshita &Matsushita 1996, Τζεκάκη 2007: σελ. 218) που δεν έχει άλλα χαρακτηριστικά και δεν αλλάζει τη φύση του μεγέθους ή της ποσότητας πάνω στην οποία επιδρά. Η κατανόηση ακόμη και της πιο απλής πολλαπλασιαστικής μορφής προϋποθέτει την άτυπη αντίληψη των στοιχείων αυτών (Καπέλου 2004, στο Τζεκάκη 2007: σελ. 218).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (1β) Υπάρχουν πού πιο σύνθετες καταστάσεις που τα παιδιά καλούνται να εξοικειωθούν και να επιλύουν σταδιακά. Ένα πιο απαιτητικό πρόβλημα για παράδειγμα είναι το ακόλουθο: «1 παιδί έχει 2 χέρια, τα 2 παιδιά πόσα χέρια έχουν;) ή ακόμη πιο απαιτητικό «ένα κιλό μήλα κοστίζουν 2 ευρώ, τα πέντε πόσα κοστίζουν;». Τον πολλαπλασιαστικό συλλογισμό συμπληρώνουν τα προβλήματα που οδηγούν σε υπολογισμούς επιφανειών, όπως για παράδειγμα «3 σειρές από 2 τετράγωνες πλάκες» (Τζεκάκη 2007: σελ. 219).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (2α) Τυπολογίες προβλημάτων πολ/σμού Στρατηγική της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης (repeated addition): «Στο σχολείο τρώω κάθε μέρα δυο καραμέλες. Πόσες θα φάω σε τρεις ημέρες;» Η στρατηγική της αναλογίας (rate): «Τρία παιδιά έχουν από δύο καραμέλες το καθένα. Πόσες καραμέλες έχουν όλα μαζί;» (Ζαχάρος 2006: σελ. 271) Έρευνες έχουν δείξει ότι η στρατηγική της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης γίνεται ευκολότερα αντιληπτή από τα μικρά παιδιά (Ζαχάρος 2006: σελ. 271).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (2β) Τυπολογίες προβλημάτων διαίρεσης Στρατηγική της επαναλαμβανόμενης αφαίρεσης (repeated subtraction) ή ομαδοποίησης (grouping): «Αν έχεις 6 καραμέλες , σε πόσα παιδιά μπορείς να δώσεις από 2 καραμέλες;» «Στρατηγική της διανομής (sharing): «Αν 6 καραμέλες μοιραστούν σε 2 παιδιά, πόσες καραμέλες θα πάρει το κάθε παιδί;» (Ζαχάρος 2006: σελ. 271) Έρευνες έχουν δείξει ότι η στρατηγική της επαναλαμβανόμενης αφαίρεσης γίνεται ευκολότερα αντιληπτή από τα μικρά παιδιά (Ζαχάρος 2006: σελ. 270).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση (3) Οι στρατηγικές των παιδιών σε προβλήματα πολλαπλασιασμού (ανάλογα είναι και της διαίρεσης) με φυσικούς αριθμούς εξελικτικά συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα (Mulligan & Mithelmore 1997, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 107): Στρατηγική Ορισμός Άμεση αρίθμηση (μοίρασμα ανά ένα) Τα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα για να μοντελοποιήσουν το πρόβλημα και τα αριθμούν ανά 1, χωρίς να υπάρχει ορατή αναφορά σε πολλαπλασιαστικές δομές. Ρυθμική αρίθμηση (Ρυθμική αρίθμηση σε ευθεία η αντίστροφη σειρά) Η αρίθμηση ακολουθεί τη δομή του προβλήματος (π.χ. 1, 2 -3, 4, 5 -6). Ταυτόχρονα γίνεται και μια καταγραφή του αριθμού των ομάδων που έχουν αριθμήσει. Αρίθμηση με σύνθετες μονάδες (Αρίθμηση με σύνθετες μονάδες σε ευθεία η αντίστροφη σειρά) Η αρίθμηση γίνεται με τα πολλαπλάσια ενός αριθμού και έτσι είναι πιο εύκολο να καταμετρηθεί ο αριθμός των ομάδων (π.χ. 2, 4, 6) Προσθετικός υπολογισμός (Προσθετικοί υπολογισμοί ή υπολογισμοί βασισμένοι στην αφαίρεση) Η αρίθμηση αντικαθίσταται με υπολογισμούς βασισμένους στην πρόσθεση (π.χ. 2+2=4, 4+2=6, κ.λπ.). Πολλαπλασιαστικός υπολογισμός (Πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί) Οι υπολογισμοί έχουν τη μορφή γνωστών γινομένων ή βασίζονται σε γνωστά γινόμενα (π.χ. 2 φορές το 3 μας κάνει 6).

Κλάσματα (1) Τα παιδιά αλλά ακόμα και ενήλικες διατηρούν αρκετές παρανοήσεις για τα κλάσματα (ρητοί αριθμοί), διότι αυτά παρουσιάζονται με μια μορφική πολλαπλότητα ως μέρος ενός όλου, ως ποσοστό, ως λόγος δύο μεγεθών, ως αποτέλεσμα σύγκρισης, ως προϊόν διαίρεσης, δηλαδή με πολλαπλά νοητικά σχήματα. Ωστόσο ακόμα και τα παιδιά προσχολικής ηλικίας έχουν μια αρχική διαισθητική κατανόηση των κλασμάτων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 107).

Κλάσματα (2) Σύμφωνα με τις Καφούση & Σκουμπουρδή (2008: σελ. 107) η πρώτη εμπειρική κατανόηση του κλάσματος προκύπτει μέσα από προβλήματα δίκαιης μοιρασιάς διακριτών ή συνεχών ποσοτήτων (το κλάσμα ως έκφραση της σχέσης του μέρους με το όλο). Η έμφαση σύμφωνα με τις ίδιες ερευνήτριες δίνεται αρχικά στα μοναδιαία κλάσματα και σε ενέργειες όπως ο χωρισμός μιας μονάδας σε ίσα μέρη και η κατασκευή μονάδας.

Κλάσματα (3α) Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με την κατανόηση των κλασμάτων στην προσχολική ηλικία (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 81-83): Όταν τα νήπια καλούνται να μοιράσουν μια συνεχή ποσότητα σε ίδια μέρη δεν δίνουν σημασία στο μέγεθός τους. Αυτό σημαίνει ότι δεν αντιλαμβάνονται την αναγκαιότητα κατασκευής μιας μονάδας για την πραγματοποίηση της ίσης μοιρασιάς. Πολλοί ερευνητές έχουν επισημάνει τη σημασία της διαδικασίας του χωρισμού σε ίσα μέρη για την κατανόηση του κλάσματος. Τα μικρά παιδιά θα πρέπει να βιώσουν πολλές εμπειρίες χωρισμού ποσοτήτων και συνεχών και διακριτών. Οι συνεχείς ποσότητες επιτρέπουν την επαναλαμβανόμενη υποδιαίρεση, ενώ οι διακριτές ποσότητες επιτρέπουν τη χρήση της αρίθμησης για το χωρισμό του όλου σε είσαι μέρη.

Κλάσματα (3β) Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με την κατανόηση των κλασμάτων στην προσχολική ηλικία (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 81-83): Οι ερευνητές επισημαίνουν ότι για την εισαγωγή των παιδιών στα κλάσματα καταλληλότερες είναι συνεχείς ποσότητες, αν και η αξιοποίηση μόνο αυτών δεν οδηγεί τα παιδιά στη συνειδητοποίηση των διαφορετικών ερμηνειών του κλάσματος. Η διάκριση του όλου και της κλασματικής μονάδας θα πρέπει να συνειδητοποιείται σταδιακά μέσω κατάλληλων δραστηριοτήτων. Στην περίπτωση των κλασμάτων δημιουργείται πρόβλημα όταν η μονάδα ταυτίζεται με το όλο.

Κλάσματα (3γ) Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με την κατανόηση των κλασμάτων στην προσχολική ηλικία (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 81-83): Η έννοια του μισού θεωρείται σημαντική στην ανάπτυξη της σκέψης του παιδιού για τα κλάσματα και γίνεται κατανοητή από μικρή ηλικίά. Σε έρευνα η πλειονότητα παιδιά 4 ετών και 11 μηνών βρήκαν με ευκολία το μισό μιας σοκολάτας που έπρεπε να μοιραστεί σε δυο κούκλες, όπως και το μισό 12 διακριτών αντικειμένων. Η έρευνα έχει δείξει ότι τα παιδιά προσχολικής ηλικίας χρησιμοποιούν ποικιλία στρατηγικών για να χωρίσουν μια συνεχή ποσότητα στη μέση, όπως μια ακολουθία υποδιαιρέσεων, μια μόνο «άδικη» υποδιαίρεση, δυο υποδιαιρέσεις, μια «δίκαιη υποδιαίρεση», κ.λπ.

Κλάσματα (3δ) Βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από τις έρευνες, σε σχέση με την κατανόηση των κλασμάτων στην προσχολική ηλικία (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 81-83): ‘Ερευνα που έγινε με παιδιά 3, 4 & 5 ετών έδειξε ότι κάποια από τα μεγαλύτερα μπορούν διαισθητικά να επιλύουν με επιτυχία προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων (προβλήματα επίδειξης μερών κυκλικών αντικειμένων, π.χ. τους επιδεικνύονταν 2 μισοί κυκλικοί δίσκοι που στη συνέχεια αποκρύπτονταν και μετά το ¼, το 1/3 και το όλο ενός κυκλικού δίσκου και τους ζητούσαν να εκτιμήσουν οι δυο κρυμμένοι μισοί κυκλικοί δισκοι με ποιο από τα τρία θα μπορούσαν να εξισωθούν).

Κλάσματα (4) Ερευνητές προτείνουν δραστηριότητες κατά τις οποίες τα νήπια πρέπει να μετρήσουν, να καλύψουν ή να γεμίσουν με αντικείμενα διαφόρων μεγεθών μήκη, επιφάνειες ή όγκους έτσι ώστε τα παιδιά να νιώσουν τη σημασία του μεγέθους των μονάδων (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 109).