Αριθμητικά συστήματα στον Η/Υ Δεκαδικό, δυαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμισης.

Αριθμητικά συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε: Αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν στην επινόηση συμβόλων για την παράσταση τους Τέλος στη δημιουργία των αριθμητικών συστημάτων: Π.χ. δεκαδικό, δυαδικό, οκταδικό, δεκαεξαδικό .

Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Επικράτησε στην καθημερινή ζωή μας Χρησιμοποιεί τα ψηφία 0, 1, 2, … ,9 Στο σύστημα αυτό οι μαθηματικές πράξεις γίνονται με μεγάλη ευχέρεια από τον άνθρωπο Επειδή το μαθαίνει από μικρή ηλικία

Κυριλλικοί Αριθμοί Τέτοιοι αριθμοί χρησιμοποιούνταν στις σλαβικές χώρες. Για παράδειγμα στην Ρωσία χρησιμοποιούνταν μέχρι το 1700, μέχρι που ο Μεγάλος Πέτρος Ι (τσάρος) τους άλλαξε υιοθετώντας τους γνωστούς μας αραβικούς αριθμούς (0,1,2…).

Roman numbers (λατινικοί) Μονάδες: Δεκάδες: Εκατοντάδες: Χιλιάδες:

Κωδικοποίηση αριθμών με διαφορετικά σύμβολα Με τις προηγούμενες διαφάνειες είδαμε μερικά παραδείγματα κωδικοποίησης των αριθμών από διαφορετικούς πολιτισμούς. Η κωδικοποίηση των αριθμών εξελίχθηκε για τις ανάγκες του κάθε πολιτισμού για να αναπαρασταθούν χρονολογίες, μονάδες μέτρησης αγαθών, χρηματικές συναλλαγές κλπ κλπ. Καθιερώθηκε η χρήση των γνωστών αραβικών αριθμών και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης με 10 ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Αριθμητικά συστήματα Το όνομα ενός συστήματος αρίθμησης προέρχεται από τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιεί για την παράσταση των αριθμών. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται «βάση» του συστήματος Το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 Το δυαδικό σύστημα (βάση 2) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0,1 Το οκταδικό σύστημα (βάση 8) χρησιμοποίει τα ψηφία 0,1,3,4,5,6,7 Το δεκαεξαδικό σύστημα (βάση 16) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, A, B, C, D, E και F

Αριθμητικά συστήματα Η θέση των συμβόλων μέσα στον αριθμό τους δίνει και την συνολική αριθμητική τους αξία, γιατί κάθε σύμβολο πολλαπλασιάζεται με την βάση υψωμένη σε κάποια δύναμη. Ο εκθέτης της θέσης ακριβώς αριστερά από την υποδιαστολή είναι μηδέν. Οι εκθέτες αυξάνονται κατά μια μονάδα αν πηγαίνουμε σε αριστερότερη θέση και μειώνονται κατά μια μονάδα αν πηγαίνουμε σε δεξιότερη θέση. Όλες οι χρησιμοποιούμενες θέσεις, από την μεγαλύτερη μέχρι την μικρότερη, πρέπει να περιέχουν κάποιο σύμβολο, έστω κι αν αυτό είναι το μηδέν.

Παραδείγματα δεκαδικών (DEC)

Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης Είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα στους υπολογιστές. Τα ψηφία που χρησιμοποιούμε είναι το «0» και το«1». Σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα η αναπαράσταση του ψηφίου 1 μπορεί να είναι περνάει ρεύμα ενώ 0 δεν περνάει ρεύμα.

Απορία: Γιατί ο Η/Υ δεν χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης; Αν θέλαμε να παραστήσουμε τους αριθμούς στον υπολογιστή με το 10δικό σύστημα, θα έπρεπε να κατασκευάσουμε ένα φυσικό μέσο που να παριστάνει 10 διαφορετικές καταστάσεις Είναι πολύ ακριβότερο (ηλεκτρονικά κυκλώματα). Πολύ πιο δύσκολο (π.χ. να γίνουν αριθμητικές πράξεις σε αυτό).

Βασικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Πρόσθεση 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 Πολλαπλασιασμός 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Σημείωση: οι πράξεις στο 2αδικό σύστημα αρίθμησης είναι ευκολότεροι από ότι στο γνωστό μας 10δικό σύστημα αρίθμησης.

Είδαμε το παράδειγμα των δεκαδικών (DEC)

Παραδείγματα δυαδικού (BIN)

Δεκαδικό / Δυαδικό / Οκταδικό / Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Παραδείγματα oκταδικών (OCT)

Παραδείγματα δεκαεξαδικών (HEX)

Εύκολη (;) ερώτηση: To 10 τι συμβολίζει στο 2αδικό, 3αδικό, 4τραδικό, 5αδικό, 6αδικό, 7αδικό, 8αδικό, 9αδικό, 10δικό, 11δικό, 12δικό, 13δικό, 14δικό, 15δικό, 16δικό σύστημα αρίθμησης; Λύση: Όπως είδαμε σε προηγούμενη διαφάνεια το [10] δηλώνει την βάση του συστήματος αρίθμησης. Έτσι ο αριθμός 10 συμβολίζει αντίστοιχα το 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός στο δυαδικό σύστημα. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 Πολλαπλασιασμός 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

Εξοικείωση με δυαδικό σύστημα Πρόβλημα (;) : Μπορεί να φαίνεται σε πρώτη ματιά το δυαδικό σύστημα αρίθμησης δύσκολο αλλά αυτό οφείλεται απλά στο ότι δεν είμαστε εξασκημένοι σε αυτό. Πρακτική : Μόνο λύνοντας πολλές ασκήσεις με το δυαδικό / οκταδικό / δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης μπορούμε να το απομυθοποιήσουμε..

Η χρησιμότητα της γνώσης του δυαδικού συστήματος. Ο προγραμματισμός εφαρμογών κατευθείαν σε γλώσσα μηχανής H/Y γίνεται σε γλώσσα μηχανής (assembly) (π.χ. οδηγών συσκευών – drivers). Η κωδικοποίηση της πληροφορίας σε ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή γίνεται πάντα σε ψηφία 0 και 1. Π.χ. μια ψηφιακή φωτογραφία, ένα τραγούδι mp3 κλπ.. κωδικοποιείται σε αριθμούς οι οποίοι αναπαριστούνται με 0 και 1 κλπ. Το δυαδικό σύστημα είναι χρήσιμο αν θέλουμε να μάθουμε να προγραμματίζουμε σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου (π.χ. Basic, Pascal, C/C++, java κλπ).

Βιβλιογραφία http://en.wikipedia.org/wiki/Arabic_numbers http://en.wikipedia.org/wiki/Greek_numerals http://www.geocities.com/rmlyra/Numbers.html http://www2.ignatius.edu/faculty/turner/arabic/anumbers.htm http://utopia.duth.gr/~ksiop/lessons/plhroforikh_i.html http://www.survey.ntua.gr/main/courses/general/csintro/lectures/IntroCS_2005_lecture_1.pdf http://www.cs.uoi.gr/~kabousia/pdf/LogicDesign/Th1_BinarySystems.pdf http://www.cs.uoi.gr/~lagaris/ITC/PowerPoint/SystimataArithmisis.ppt http://en.wikipedia.org/wiki/Cyrillic_numerals http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_numerals http://blogs.sch.gr/manolas/2008/09/25/%CF%83%CF%85%CF%83%CF%84%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1-%CE%B1%CF%81%CE%AF%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82/