« Από το φόβο, στην απόλαυση των Μαθηματικών » « Από το φόβο, στην απόλαυση των Μαθηματικών » 2ο Αρσάκειο Γενικό Λύκειο Ψυχικού Εργασία 2ου τετραμήνου Υπεύθυνοι καθηγητές : Βραχνός Χρήστος Τσαντάκη Ειρήνη

Περιεχόμενα Εισαγωγή Ρίζες των μαθηματικών Συστήματα αρίθμησης Ακολουθία Fibonacci Χρυσή τομή Προβλήματα προόδων Μαγικοί αλγόριθμοι Μαγικά τετράγωνα Έσερ και αδύνατα σχήματα

Εισαγωγή Μαθηματικά :  Ανία;  Ενδιαφέρον;  Φόβος;  Ευχαρίστηση; Ένα είναι το μόνο σίγουρο: Τα Μαθηματικά επιλύουν πάρα πολλά προβλήματα, ενώ παράλληλα μπορούν να μας διασκεδάσουν. Ελάτε λοιπόν να διαπιστώσουμε παρέα, το πως η ζωή μας κλυδωνίζεται σα μία μικρή βάρκα πάνω σε έναν απέραντο ωκεανό Μαθηματικών.

Επινόηση και συμβολισμός αριθμών : Αριθμοί Επινόηση και συμβολισμός αριθμών : Ανάγκη του ανθρώπου να γνωρίζει το πλήθος μιας ομάδας αντικειμένων.

Οι πρώτες οργανωμένες κοινωνίες Η ανάπτυξη της γεωργίας συνετέλεσε στη δυνατότητα ανάπτυξης οικισμών και αστικών περιοχών . Ανάγκη για πράξεις Αιγύπτιοι Tα πιο παλιά γραμμένα μαθηματικά κείμενα : Βαβυλώνιοι Τις πιο πολλές γνώσεις μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά τις έχουμε από τις έγγραφες πάνω σε πάπυρο. Η πιο καλή πηγή πληροφόρησης που διαθέτουμε για την αριθμητική των Αιγύπτιων είναι ο πάπυρος του Ρίντ (1650 π. Χ.).

Οστό λύκου, που ανακαλύφθηκε στην Τσεχοσλοβακία Πάπυρος του Ρίντ. Οστό λύκου, που ανακαλύφθηκε στην Τσεχοσλοβακία από τον Δόκτορα Κάρλ Άμπσολον.

Συστήματα αρίθμησης 1. Ρωμαϊκό 2. Ελληνικό 3. Αιγυπτιακό Συστήματα αρίθμησης 1. Ρωμαϊκό 2. Ελληνικό 3. Αιγυπτιακό

ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΝΤΑΞΗΣ Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης Ορισμός : Το ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών είναι ένα σύστημα που απεικονίζει τους αριθμούς με συνδυασμούς γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου. Αρχική μορφή : 7 γράμματα Ι V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1.000 ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΝΤΑΞΗΣ Δύο ή τρία ίδια γράμματα στη σειρά. π.χ.: ii Δύο διαφορετικά γράμματα στη σειρά. Το γράμμα στα δεξιά μικρότερης αξίας από το γράμμα στα αριστερά. π.χ. : vi Tο γράμμα στα δεξιά μεγαλύτερης αξίας από το γράμμα στα αριστερά. π. χ. : iv Οι αξίες των γραμμάτων προστίθενται. ii = i + i = 1 + 1 = 2 και vi = v + i = 5 + 1 = 6 Οι αξίες των γραμμάτων αφαιρούνται. π.χ. : iv = v – i = 5 – 1 = 4

Οπότε χρησιμοποιούμε αντιστοίχως την προσθετική και αφαιρετική αρχή. Μηδέν: Στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης εμφανίζεται με μια πρωτόγονη μορφή συμβολικά (nulla). Ρίζες από τους Μεσαιωνικούς χρόνους. Χρήση για υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα. Σύγχρονη χρήση : έτη ωρολόγια ονόματα των ιστορικών προσώπων

Τα αριθμητικά συστήματα των αρχαίων Eλλήνων Στην αρχαία Ελλάδα συναντάμε δύο τρόπους γραφής των αριθμών : Ακροφωνικό Σύστημα Ιωνικό Σύστημα

Στο Ακροφωνικό σύστημα υπήρχαν τα εξής σύμβολα αριθμών :  Ι=1,   Π=5,   Δ=10,   Η=100,   Χ=1000,   Μ=10000 Οι παραστάσεις των άλλων αριθμών κατασκευάζονται με τρείς τρόπους :  Προσθετικά, με επανάληψη του συμβόλου, π.χ. : ΔΔΔΔ=40 Πολλαπλασιαστικά, με σχεδιαστικά τεχνάσματα : Πιο σύνθετα :

Στο Ιωνικό σύστημα όλα τα γράμματα της αλφαβήτου παρίσταναν αριθμούς Στο Ιωνικό σύστημα όλα τα γράμματα της αλφαβήτου παρίσταναν αριθμούς. Η αντιστοιχία γραμμάτων και αριθμών ήταν :

Επειδή το κλασικό ελληνικό αλφάβητο είχε μόνο 24 γράμματα και τους χρειάζονταν 27 σύμβολα, πήραν 3 νέα σύμβολα που παλαιότερα ήταν κι αυτά γράμματα: το στίγμα ϛ = 6 , το κόππα = 90 και το σαμπί ϡ = 900. Προβλήματα που προέκυψαν με αυτό το σύστημα : 1. Πως διακρίνονται οι αριθμοί από τις λέξεις. Λύση : όταν επρόκειτο για αριθμό βάζανε μια οριζόντια γραμμή πάνω ή ένα τόνο στο τέλος, π.χ. : ,γ΄ : 3000 2. Πως γράφονται οι αριθμοί πάνω από το 999. Λύση : πολλαπλασιαστικές αρχές : ,γψλη = 3738

Η αριθμολογία των Πυθαγορείων Αριθμός → Θεμελιώδες στοιχείο Περιττοί → Αρσενικοί Άρτιοι → Θηλυκοί Μελέτησαν αρχικά τους αριθμούς με τη βοήθεια χαλικιών. Διάκριση : Τριγωνικοί : , κ.ο.κ. Τετράγωνοι : , κ.ο.κ. Οι τετράγωνοι αριθμοί συμβόλιζαν τη δικαιοσύνη. Το 6 ήταν ο αριθμός της ψυχής. Το 7 της αντίληψης και της υγείας. Το 8 του έρωτα και της φιλίας.

Τέλειοι αριθμοί 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 Είναι οι φυσικοί αριθμοί που έχουν την παράξενη ιδιότητα να είναι ίσοι με το άθροισμα των μικρότερων του εαυτού τους διαιρετών τους. Μερικά ενδεικτικά παραδείγματα : 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 8.128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Πρώτοι αριθμοί Είναι οι αριθμοί που δεν έχουν άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και τη μονάδα. Οι πρώτοι αριθμοί είναι αληθινά ξεχωριστοί για πάρα πολλούς λόγους (βλέπε κρυπτογραφία). Μερικοί πρώτοι αριθμοί : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Φίλιοι Από το αρχαίο ελληνικό ρήμα φιλώ = αγαπώ Οι νεοπυθαγόρειοι θεωρούσαν πως η αγάπη είναι κάτι σαν το 220 με το 284 , το μικρότερο δηλαδή ζευγάρι φίλων αριθμών. Το άθροισμα των διαιρετών του 220 ισούται με 284 και το άθροισμα των διαιρετών του 284 ισούται με 220! Διαιρέτες του 220 : {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} Όντως : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Διαιρέτες του 284 : {1, 2, 4, 71, 142} Όντως : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Ζευγάρια φίλων αριθμών : (1184, 1210) (17.296, 18.416)

Σύστημα αρίθμησης Αιγυπτίων Ιερογλυφικά Διαχωρισμός : Ιερατική Ιερογλυφικά : Χαρακτηριστικά : Οι αριθμοί 1-9 παριστάνονται με 1 έως 9 μπάρες αντίστοιχα. Γράφονται είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά. Η γραφή γινόταν με δεκαδική βάση.

Σύμβολα : 1 = 10000 = 1000000 = 10 = 100000 = 100 = Παράδειγμα : 1000 =

Ιερατική Γραφή

Χαρακτηριστικά Απλούστερη - λιγότερο χρονοβόρα. Δείγματα της γραφής βρέθηκαν στον πάπυρο του Ριντ. Δεν υπάρχει το σύμβολο του μηδενός στη γραφή.

Σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε : Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι ψηφιακό, θεσιακό, δεκαδικό με μηδέν και υποδιαστολή και έχει ψηφιστεί με νόμο του κράτους. Ψηφιακό : οι μονάδες παριστάνονται με διαφορετικό σύμβολο και όχι με επανάληψη του ιδίου συμβόλου.   Θεσιακό : η αξία του κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό. Δεκαδικό : κάθε φορά που συμπληρώνονται δέκα μονάδες δημιουργείται μια μονάδα ανώτερης τάξης.

H υποδιαστολή μας δείχνει που σταματούν οι ακέραιες μονάδες και που αρχίζουν οι κλασματικές. Η υποδιαστολή εισήχθη από τον Τζον Νέιπιερ , γνωστό ως δημιουργό των λογαρίθμων, στο έργο του Rabdologia, που κυκλοφόρησε το 1617. Η έννοια του μηδενός είναι πάρα πολύ παλιά. Είναι απαραίτητη για το συμβολισμό του «κενού - τίποτα» και για ένα ολοκληρωμένο θεσιακό σύστημα αρίθμησης, αφού χωρίς αυτό δεν θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε αριθμούς, όπως το 704 με το 74 .

Η ακολουθία Fibonacci

Βιογραφία Leonardo Pisano : Mαθηματικός του Μεσαίωνα, Πίζα 1170 -1240. Εκπαίδευση : Επηρεάστηκε από τους Μαυριτανούς και από τα ταξίδια του στη Μεσογειακή ακτή. Μελέτη μαθηματικών τεχνικών και αριθμητικών συστημάτων (Ινδοαραβικό). Μελέτη μαθηματικών του συνθέσεων ( μετά την επιστροφή του στην Πίζα για 25 χρόνια ). Κέντρισε το ενδιαφέρον του Ρωμαίου Αυτοκράτορα Φρειδερίκου Β’. Αφιέρωσε το τελευταίο του έργο στον Theodore Physicus (φιλόσοφο της αυλής ). Michael Scott : αστρολόγος της αυλής - δάσκαλος του Fibonacci στα πεδία μαθηματικών, φυσικής, φαρμακευτικής, αστρολογίας, αποκρυφισμού.

Τα επιτεύγματά του Ινδοαραβικά μαθηματικά και τεχνικές στο νέο κοινό της Δύσης. Η ακολουθία Fibonacci. Η λογαριθμική σπείρα του Fibonacci. Ξεκλείδωσε τα εσωτερικά μυστικά της φύσης και έφερε το Φως της Ανατολής στη Δύση. Συνέδεσε τις παραδόσεις Ελλήνων - Αράβων, εγκαθιδρύοντάς τους στην Ευρώπη.

Πως προέκυψε η ακολουθία Fibonacci? Δεδομένο : ένα ιδανικό πληθυσμό κουνελιών. Υποθέσεις : έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών ( αρσενικό και θηλυκό ). ένα μήνα μετά από τη γέννησή τους μπορούν να ζευγαρώσουν. στο τέλος του δεύτερου μήνα και κάθε μήνα μετά από αυτόν γεννιέται ένα νέο ζευγάρι κουνελιών. τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ.

Θεωρητική απάντηση Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν ( ένα ζεύγος ). Στο τέλος του δεύτερου μήνα γεννιέται ένα νέο ζεύγος ( δύο ζεύγη ). Στο τέλος του τρίτου μήνα γεννιέται και δεύτερο ζεύγος ( τρία ζεύγη) . Στο τέλος του τέταρτου μήνα, τα δύο πρώτα θηλυκά γεννούν ένα ζεύγος το κάθε ένα ( πέντε ζεύγη ). Κ. ο. κ ., δηλαδή, στο τέλος του ν-οστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσο με το πλήθος των νέων ζευγών (n-2) προσθέτοντας το πλήθος ζευγών που υπήρχαν στο χωράφι τον προηγούμενο μήνα (n-1). Αυτός είναι ο ν-οστός αριθμός της ακολουθίας Fibonacci.

Η μαθηματική απάντηση για κάθε Οι αριθμοί 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144, ... είναι κάποιοι από τους όρους της ακολουθίας Fibonacci. Ο κάθε όρος της, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων : 2 = 1+1, 3 = 2+1, 5 = 3+2, κ.λ.π. Ορισμός της ακολουθίας Fibonacci  : και για κάθε

Εφαρμογές της ακολουθίας Fibonacci Βοτανολογία, Βιολογία Π.χ. : στην ανάπτυξη των φυτών. Αναλογίες ανθρώπινου σώματος Φυσικές Επιστήμες Π.χ. : στον προγραμματισμό των Η / Υ. Οικονομία Π.χ. : στις πιστωτικές κάρτες. Εκπαίδευση Αρχαιολογία, Αρχιτεκτονική Π.χ. : στον Παρθενώνα. Τέχνη, Μουσική, Ποίηση Π.χ. : στη Mona Lisa του Leonardo Da Vinci.

Η ακολουθία Fibonacci στη φύση Η κατανομή των σπόρων στο ηλιοτρόπιο είναι κυκλική. Η σπείρα είναι προς τα έξω, ενώ έχει διπλή κατεύθυνση. Το κέλυφος του ναυτίλου και του σαλιγκαριού αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες και δισδιάστατες σπείρες αντίστοιχα. Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες. Από τη βάση (κυκλικά) μέχρι την κορυφή. Το ανθρώπινο σώμα. π.χ. : Η αναλογία του μήκους του πήχη του χεριού προς το μήκος του χεριού. Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου. Η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης.

Χρυσή Τομή Διατυπώσεις προβλήματος : Πώς μπορούμε να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο άνισα μέρη, έτσι ώστε το αποτέλεσμα που θα προκύψει από το χωρισμό αυτό να δημιουργεί μια αίσθηση αρμονίας. Διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Να χωριστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = α σε δύο άνισα μέρη ΑΓ = x και ΓΒ = α – x (ΑΓ > ΓΒ), έτσι ώστε ο λόγος ολόκληρου του τμήματος προς το μεγαλύτερο μέρος (AB / AΓ) να είναι ίσος με το λόγο του μεγαλύτερου μέρους προς το υπόλοιπο τμήμα (ΑΓ / ΓB). Δηλαδή, έτσι ώστε :

Λύση…: Το θέατρο της Επιδαύρου Η κατασκευή των δύο διαζωμάτων στο θέατρο της Επιδαύρου (τέλος 4ου αιώνα π.Χ.) μας δίνει τη λύση στο πρόβλημα αυτό. Τα σκαλιά του θεάτρου έχουν χωριστεί σε δύο άνισα μέρη με τέτοιο τρόπο, που το αποτέλεσμα να είναι ευχάριστο αισθητικά. Ας δούμε πως το κατάφεραν:

Η λύση αναγάγεται στην επίλυση της κλασματικής εξίσωσης: Άρα , από όπου λαμβάνοντας τη θετική ρίζα προκύπτει ότι : φ = 1,618…

Ο αριθμός 1,618… - Το χρυσό ορθογώνιο Ο αριθμός 1,618... ονομάζεται λόγος της χρυσής τομής. Συμβολίζεται με το γράμμα φ προς τιμή του γλύπτη Φειδία, ο οποίος κατασκεύασε τον Παρθενώνα. Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν διαπιστώσει ότι όπου εμφανίζεται ο λόγος της χρυσής τομής δημιουργείται μια αίσθηση αρμονίας. Το ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις έχουν λόγο φ καλείται χρυσό ορθογώνιο και το συναντάμε συχνά στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ο Παρθενώνας, οι διαστάσεις του οποίου έχουν λόγο φ.

Χρυσή τομή και Fibonacci…

Προβλήματα Προόδων Πρώτο Πρόβλημα : Sessa : εφεύρεση σκακιού. Ζήτησε από τον βασιλιά των Περσών να του δοθεί 1 κόκκος σιταριού για το πρώτο τετραγωνάκι της σκακιέρας, 2 κόκκοι για το δεύτερο, 4 για το τρίτο, 8 για το τέταρτο κ.ο.κ., έως το εξηκοστό τέταρτο τετράγωνο. Ο βασιλιάς θεώρησε την απαίτηση ανάξια της γενναιοδωρίας του, αλλά στη συνέχεια πληροφορήθηκε, ότι θα του ήταν αδύνατο να την ικανοποιήσει…

Πόσους κόκκους σταριού θα έπρεπε να δώσει ο βασιλιάς; Ακολουθία : ο κάθε αριθμός διαδοχικά, είναι το διπλάσιο του προηγούμενου : 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Πλήθος αριθμών: 64 Τύπος: , όπου: ν=64 (o πρώτος όρος της ακολουθίας) λ= 2 Έχουμε λοιπόν : , από όπου προκύπτει : S64= 264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615 κόκκοι σιταριού.

Δεύτερο Πρόβλημα : Ένας πατέρας ρώτησε το μελετηρό υιό του τι θα ήθελε να του προσφέρει για να τον ευχαριστήσει. Υιος : « Τι θα έλεγες πατέρα να μου δώσεις 1 λεπτό την πρώτη μέρα, 2 για τη δεύτερη, 4 για την τρίτη, 8 για την τέταρτη κ.ο.κ., ως το τέλος του μήνα;» Ο πατέρας, χωρίς να σκεφτεί ιδιαίτερα συμφώνησε, αλλά όταν κάθισε και έκανε το λογαριασμό, χτυπούσε το κεφάλι του. Γιατί άραγε;

Πόσα λεπτά θα δώσει τελικά ο πατέρας στον υιό του; Ακολουθία: ο κάθε αριθμός διαδοχικά, είναι το διπλάσιο του προηγούμενου : 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Πλήθος αριθμών: 30 Τύπος: , όπου: ν=30 (o πρώτος όρος) λ= 2 Έχουμε λοιπόν : , από όπου προκύπτει : S30=230 – 1= 1.073.741.823 λεπτά Μετατροπή σε ευρώ : 10.737.418,23 €

Μαγικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι αυτοί περιγράφουν μια σειρά πράξεων, το αποτέλεσμα των οποίων είναι εντυπωσιακό, είτε επειδή είναι απροσδόκητο, είτε επειδή μαντεύει ή αποκαλύπτει κάτι. Η λογική αυτών των παιχνιδιών έχει μαθηματικό υπόβαθρο (ιδιαίτερα απλό) και ερμηνεύεται με τη βοήθεια της άλγεβρας. Ας περάσουμε στο πρώτο μας παιχνίδι :

1ος Αλγόριθμος Γεια σας!!!

Τι λέτε για λίγη… μαγεία ;;;

Σκεφτείτε ένα διψήφιο αριθμό π.χ.: 65

Τώρα προσθέστε τα ψηφία του π.χ.: 6+5=11

Έπειτα αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τον αρχικό αριθμό π.χ.: 65-11

Τέλος, κοιτάξτε το σύμβολο δίπλα από τον αριθμό που βρήκατε.

Βρείτε όλοι τα σύμβολά σας!!! ʑ 10 ₣ 20 ȱ 30 ∫ 40 Ɽ 50 Ⱡ 60 ԇ 70 ӟ 80 ȴ 90 ₡ 1 ǽ 11 ₲ 21 Ȳ 31 ∟ 41 ⱥ 51 ῠ 61 Ԇ 71 Ӟ 81 91 Ȣ 2 ʓ 12 ₴ 22 ȶ 32 ⌂ 42 Ɫ 52 ῢ 62 Ԅ 72 82 ȵ 92 ɓ 3 ʔ 13 ₤ 23 Ⱥ 33 √ 43 Ᵽ 53 Ῡ 63 73 Ӗ 83 93 × 4 ʕ 14 ₦ 24 Ʉ 34 ∂ 44 ⱡ 54 64 ԅ 74 ӕ 84 Ⱦ 94 Ñ 5 ʘ 15 ₱ 25 Ƀ 35 ℓ 45 55 ῥ 65 Ӥ 75 ᴟ 85 Ȩ 95 Þ 6 ʗ 16 26 36 46 56 Ờ 66 ӥ 76 Ḽ 86 # 96 ß 7 ʚ 17 ₭ 27 37 ₵ 47 ⱷ 57 Ệ 67 Ӕ 77 ȹ 87 & 97 ð 8 ʩ 18 28 ɞ 38 ₳ 48 ◊ 58 68 Ӝ 78 ȸ 88 Ȭ 98 Õ 9 19 ₮ 29 39 Ⅎ 49 Ⱬ 59 Ԋ 69 ӝ 79 89 ȡ 99 Ó Βρείτε όλοι τα σύμβολά σας!!!

Μπορώ να μαντέψω ότι το σύμβολό σας είναι...: ₡  

Για τους δύσπιστους προτείνω να επαναλάβουμε τη διαδικασία! Ξανασκεφτείτε λοιπόν ένα διψήφιο αριθμό. (π.χ. : 12) Προσθέστε τα ψηφία του. (π.χ. : 1 + 2 = 3) Αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τον αρχικό αριθμό. (π.χ. : 12 – 3 = 9) Βρείτε στον επόμενο πίνακα το σύμβολο που βρίσκεται δίπλα στο τελικό σας αποτέλεσμα.

₪ Βρείτε όλοι τα σύμβολα σας!!! ʑ 10 ₣ 20 ȱ 30 ∫ 40 Ɽ 50 Ⱡ 60 ԇ 70 ӟ ʑ 10 ₣ 20 ȱ 30 ∫ 40 Ɽ 50 Ⱡ 60 ԇ 70 ӟ 80 ȴ 90 ₪ 1 ǽ 11 ₲ 21 Ȳ 31 ∟ 41 ⱥ 51 ῠ 61 Ԇ 71 Ӟ 81 91 Ȣ 2 ʓ 12 ₴ 22 ȶ 32 ⌂ 42 Ɫ 52 ῢ 62 Ԅ 72 82 ȵ 92 ɓ 3 ʔ 13 ₤ 23 Ⱥ 33 √ 43 Ᵽ 53 Ῡ 63 73 Ӗ 83 93 × 4 ʕ 14 ₦ 24 Ʉ 34 ∂ 44 ⱡ 54 64 ԅ 74 ӕ 84 Ⱦ 94 Ñ 5 ʘ 15 ₱ 25 Ƀ 35 ℓ 45 55 ῥ 65 Ӥ 75 ᴟ 85 Ȩ 95 Þ 6 ʗ 16 26 36 46 56 Ờ 66 ӥ 76 Ḽ 86 # 96 ß 7 ʚ 17 ₭ 27 37 ₵ 47 ⱷ 57 Ệ 67 Ӕ 77 ȹ 87 & 97 ð 8 ʩ 18 28 ɞ 38 ₳ 48 ◊ 58 68 Ӝ 78 ȸ 88 Ȭ 98 Õ 9 19 ₮ 29 39 Ⅎ 49 Ⱬ 59 Ԋ 69 ӝ 79 89 ȡ 99 Ó Βρείτε όλοι τα σύμβολα σας!!!

Μπορώ να μαντέψω ότι το σύμβολό σας είναι αυτό. ₪  

Ερμηνεία 1ου Αλγορίθμου Κάθε διψήφιος αριθμός γράφεται : xy = 10x+y (π.χ. : 42 = 10x4 + 2) Το άθροισμα των ψηφίων του είναι : x+y (4 + 2 = 6) Οπότε κάνοντας την αφαίρεση προκύπτει : 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 9x (42 - 6 = 36 = 4·9) Άρα, όλα τα αποτελέσματα είναι πολλαπλάσια του 9.

2ος Αλγόριθμος Έχουμε δύο ζάρια. Τα ρίχνουμε και καταγράφουμε το κάθε αποτέλεσμα ξεχωριστά ως πρώτο και δεύτερο αντίστοιχα. π.χ.: πρώτο ζάρι: 2, δεύτερο ζάρι: 3 Αρχικά, πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο αριθμό με 5 π.χ. : 2*5=10 Έπειτα προσθέτουμε τον αριθμό 7 στο γινόμενο. π.χ.: 10+7=17 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα επί δύο. π.χ.: 17*2=34 Τέλος προσθέτουμε και το δεύτερο αποτέλεσμα στο γινόμενο που προκύπτει και εκτελούμε τις πράξεις. π.χ.: 34+3=37

Ερμηνεία 2ου Αλγορίθμου Ακολουθούμε τα βήματα με τη σειρά της εκφώνησης αντικαθιστώντας με x και y τους δύο αριθμούς αντίστοιχα. 5x 5x+7 2(5x+7) 10x+14 10x+14+y Αφαιρούμε τον αριθμό 14 από το τελικό αποτέλεσμα. 10x+14+y-14=10x+y Το άθροισμα που βρίσκουμε αποτελείται από το 10χ και το ψ. 23= 20+3=10x+ y = Συγκεκριμένα, το 10x δηλώνει τη δεκάδα του τελικού αποτελέσματος, αφού πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο αριθμό x με το 10. 20=10*2=10x, άρα x=10x/10=(10*2)/10=2 Το y αντίστοιχα εκφράζει τις μονάδες του τελικού αποτελέσματος, οι οποίες συμπίπτουν με το δεύτερο αποτέλεσμα, τον αριθμό y. y=3

3ος Αλγόριθμος : i. Σκέψου έναν τριψήφιο αριθμό. Π.χ. : 134 Δίπλα του βάλε τον ίδιο αριθμό οπότε σχηματίζεται ένας εξαψήφιος αριθμός. 134134 iii. Διαίρεσε με το 7. 134134 / 7 = 19162 iv. Διαίρεσε το αποτέλεσμα με το 11. 19162 / 11 = 1742 Διαίρεσε το τελικό αποτέλεσμα με το 13. 1742 / 13 = 134 Έτσι λοιπόν βρήκες τον αριθμό που σκέφτηκες στην αρχή. Τι σύμπτωση!!!

Ερμηνεία 3ου Αλγορίθμου Έστω xyz ο αριθμός. Βάζοντας δίπλα τον ίδιο αριθμό προκύπτει ο εξαψήφιος xyzxyz, ο οποίος με την βοήθεια των πολλαπλασίων του 10 γράφεται ως εξής: xyzxyz = x·105 + y·104 + z·103 + x·102 + y·101 + z·100 Εάν παραγοντοποιήσουμε γίνεται: x·105 + y·104 + z·103 + x·102 + y·101 + z·100 = 102x·(103+1) +10y·(103+1) + + z(103+1) = (103+1)·(102x+10y+z) Διαιρώντας τον αριθμό με τους αριθμούς 7, 11 και 13 είναι σαν ουσιαστικά να διαιρούμε με το 1001 (7·11·13 = 1001). 1001 = 103+1

Συνεπώς αν διαιρέσουμε τον αριθμό που έχουμε σκεφτεί, δηλαδή, με το 1001 έχουμε: δηλαδή ο αριθμός που είχαμε σκεφτεί αρχικά ! ! !

Τα μαθηματικά πέρα από τα προβλήματα Τα μαθηματικά συνδέονται άμεσα με την τέχνη. Αρκετοί καλλιτέχνες αντλούν θέματα από τα μαθηματικά. Ο Albrecht Dürer ενσωμάτωσε πολλά γεωμετρικά στοιχεία στα έργα του.

Albrecht Dürer (Βιογραφία) Ήταν ζωγράφος, χαράκτης και μαθηματικός. Mικρός διδάχτηκε χρυσοχοΐα και χαρακτική. Mαθήτευσε για 4 χρόνια δίπλα στον Μίχαελ Βόλγκεμουτ.

Τα ταξίδια του Albrecht Dürer Ιταλία ( 3 φορές ). Βασιλεία. Κολωνία.

Όταν επέστρεψε οριστικά στη Νυρεμβέργη ίδρυσε εργαστήριο σχεδίου, ξυλογραφίας και χαλκογραφίας. Από το 1500 συγκεντρώνεται στην απεικόνιση του ανθρώπου, ακολουθώντας τις μαθηματικές μεθόδους της Αναγέννησης.

Το μαγικό τετράγωνο του Albrecht Dürer

Το μαγικό στοιχείο αυτών των τετραγώνων είναι ότι το άθροισμα κάθε στήλης, σειράς και κύριας διαγώνιου είναι το ίδιο!

Το άθροισμα των γωνιακών τετραγώνων είναι 34!

Το άθροισμα κάθε γραμμής είναι 34! Το άθροισμα κάθε γραμμής είναι 34!

Το άθροισμα κάθε στήλης είναι 34!

Μετακινηθείτε κατά ένα τετράγωνο δεξιόστροφα. Το άθροισμα πάλι είναι 34!

Ακόμη μια φορά. Και πάλι 34!

Το άθροισμα των κεντρικών τετραγώνων είναι 34!

5 + 9 + 8 + 12 = 34

3 + 2 + 15 + 14 = 34

Και τα διαγώνια το ίδιο. . .

Και πάει λέγοντας…: 34!

Ο Dürer δημιούργησε αυτό το τετράγωνο το 1514! Και το “A“ του ονόματός του είναι το 1ο ! Επίσης υλοποίησε το έργο σε ηλικία 43 ετών, δηλαδή στον αριθμό που προκύπτει αν αντιστρέψουμε τα ψηφία του αριθμού 34!

Αδύνατα σχήματα Escher

Βιογραφία ( 1898-1972 ) Ολλανδός καλλιτέχνης του 20ου αιώνα. Πεδία δημιουργίας: ζωγραφική, λιθογραφία, τοιχογραφία, ξυλοτεχνία, εικονογράφηση βιβλίων, συγγραφή βιβλίων για την τέχνη. Απόφοιτος της σχολής Αρχιτεκτονικής & Διακόσμησης.

Μόλις τελείωσε τις σπουδές του ταξίδεψε στην Ιταλία όπου γνώρισε την γυναίκα του. Τα ταξίδια της περιόδου εκείνης στην Ιταλία επηρεάζουν τα κατοπινά του έργα. Ασχολήθηκε σε βάθος με τα αδύνατα σχήματα. Απεβίωσε το 1972 στο νοσοκομείο του Χίλβερσουμ.

Η Τεχνοτροπία και τα έργα Είδη στα οποία εξειδικεύτηκε: ξυλογραφίες λιθογραφίες Stars Fish and scales

Κατηγορίες Σχετικότητα Relativity, λιθογραφία 1953

Tessellations Κανονικά τμήματα του πλάνου, που ονομάζoνται "tessellations," είναι ρυθμίσεις και κλειστά σχήματα που καλύπτουν πλήρως το πλάνο χωρίς επικαλύψεις και χωρίς να αφήνουν κενά.

Οι μαθηματικοί έχουν δείξει ότι από το σύνολο των κανονικών πολυγώνων, μόνο το τρίγωνο, το τετράγωνο και το εξάγωνο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για tessellation. Ο Escher αξιοποίησε αυτά τα βασικά μοτίβα, εφαρμόζοντας τα εξής βήματα: Τοποθέτησε τα εν λόγω σχήματα σε πλακοστρώσεις στο επίπεδό του. Εφάρμοσε αντανακλάσεις, μεταφράσεις, και περιστροφές για να αποκτήσει μια μεγαλύτερη ποικιλία των μοντέλων. Στρέβλωσε αυτά τα πρότυπα βασικά σχήματα για να τα μετατρέψει σε ζώα, πουλιά, και άλλα στοιχεία.

Αυτές οι στρεβλώσεις έπρεπε να υπακούσουν τις τρεις, τέσσερις, ή έξι συμμετρίες του υποκείμενου προτύπου, προκειμένου να διατηρηθεί το tessellation.

Πολύεδρα Τα κανονικά στερεά (γνωστά ως πολύεδρα) έγιναν αντικείμενο σε πολλά από τα έργα του Escher.

Υπάρχουν πέντε πολύεδρα μόνο με ακριβώς παρόμοιες πολυγωνικές έδρες (πλατωνικά στερεά): το τετράεδρο ο κύβος το οκτάεδρο το δωδεκάεδρο το εικοσάεδρο

Υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα στερεά που πηγάζουν από τα Πλατωνικά, μέσω διασταύρωσης ή αστεροποίησης (για να αστεροποιήσει ένα στερεό, ο Escher αντικατάστησε κάθε έδρα του με μια πυραμίδα, κάτι που μετατρέπει το πολύεδρο σε ένα αιχμηρό, τρισδιάστατο αστέρι).

Διαμόρφωση του χώρου Είναι εμφανής η ανησυχία του καλλιτέχνη για τη διάσταση του χώρου, και για την ικανότητα του μυαλού να διακρίνει τρείς διαστάσεις σε μια δισδιάστατη απεικόνιση.

Ευκλείδεια / μη Ευκλείδεια γεωμετρία

Τοπολογία Η τοπολογία ασχολείται με τις ιδιότητες ενός χώρου που δεν αλλάζει από τις στρεβλώσεις, που μπορεί να τεντωθεί ή να τον λυγίζουν - αλλά που δεν σκίζεται.

Η λογική του χώρου Με τη «λογική» του χώρου εννοούμε τις χωρικές σχέσεις ανάμεσα σε φυσικά αντικείμενα που είναι απαραίτητα. Όταν παραβιάζονται ως αποτέλεσμα οπτικών παράδοξων μερικές φορές, καλούνται οπτικές ψευδαισθήσεις.

Προοπτική

Τρείς διαστάσεις

Αυτοαναφορά και πληροφορική Μια κεντρική ιδέα που συνέλαβε ο Escher είναι της αυτό - αναφοράς, που πολλοί πιστεύουν ότι βρίσκεται κοντά στην καρδιά του αινίγματος της συνείδησης και της ικανότητας του εγκεφάλου να επεξεργάζεται τις πληροφορίες με έναν τρόπο που κανένας υπολογιστής δεν έχει ακόμη μιμηθεί με επιτυχία.

Σε ένα βαθύτερο επίπεδο, η αυτό - αναφορά βρίσκεται στον τρόπο με τον οποίο οι κόσμοι της αντίληψής μας αντικατοπτρίζονται και διασταυρώνονται ο ένας με τον άλλον.

Smaller and smaller

Print gallery

Ο Έσερ εν δράσει :

Εργάσθηκαν οι μαθητές : 1η Ομάδα : Βραχνής Γιώργος Σαμπάνης Αλέξανδρος Διαβάτης Βασίλης Καριαννάκη Γεωργία Μακράκη Νατάσα Αναστασάκης Άγγελος 2η Ομάδα : Αθηνά Κωνσταντάρα Μαργαρίτα Σταθοπούλου Άγγελος Φραγκούλης Σωκράτης Ποταμιάνος Σαπουντζάκη Άννα - Μαρία Σαπουντζάκη Γωγώ Σουλτανάκης Θοδωρής 4η Ομάδα : Παργινός Κωνσταντίνος Γκίβαλου Αναστασία Γιαννίκου Εύη Σαλτέλλης Άγγελος Ρέτσα Αντιγόνη Παπαγεωργίου Δημήτρης 3η Ομάδα : Σαραντοπούλου Αθηνά Πουπάκη Σοφία Παπαδημητρίου Στεριάνα Παναγάκη Μαρτίνα Μωραΐτη Δήμητρα

Βιβλιογραφία Lucas N. H. Bunt – Phillip S. Jones – Jack D. Bedient, Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών, Αθήνα, Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού. Calvin C. Clawson, Η μαγεία των Μαθηματικών, Εκδόσεις Κέδρος. Μπάμπης Τουμάσης, Τάσος Αρβανίτης, Διδασκαλία μαθηματικών με χρήση Η/Υ, (2003), Αθήνα, Εκδόσεις Σαββάλας. Δημήτριος Αργυράκης, Παναγιώτης Βουργάνας, Κωνσταντίνος Μεντής, Σταματούλα Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, (2009), Αθήνα, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Σβέρκος Ανδρέας, Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Δαμιανού Χαράλαμπος, Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων, (2011), Αθήνα, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Αργυρόπουλος Ηλίας, Βλάμος Παναγιώτης, Κατσούλης Γεώργιος, Μαρκάτης Στυλιανός, Σιδέρης Πολυχρόνης, Ευκλείδεια Γεωμετρία, (2009), Αθήνα, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Τεύκρος Μιχαηλίδης, Μαθηματικά επίκαιρα, (2004), Αθήνα, εκδόσεις ΠΟΛΙΣ. Ian Stewart, Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό, (2008), Αθήνα, Εκδοτικός Οίκος ΤΡΑΥΛΟΣ. Μπάμπης Τουμάσης, Πως να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των μαθηματικών, (1999), Πάτρα, Εκδόσεις Ευθ. Κωστόγιαννος.   Ενδεικτικοί Ιστόχωροι : http://www.telemath.gr/mathematical_fun/mathematical_fun_1/fun1_solutions.php?exercise=41 http://www.telemath.gr/mathematical_fun/mathematical_fun_1/fun1_solutions.php?exercise=42 http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/akolouthia.htm. http://www.atopo.gr/egkiklopedika/136/, Βιτρούβιος άντρας. http://en.wikipedia.org/wiki/Melencolia_I

Σας ευχαριστούμε για το χρόνο σας! Ερωτήσεις, παρατηρήσεις, σχόλια! Σας ευχαριστούμε για το χρόνο σας! Ερωτήσεις, παρατηρήσεις, σχόλια!