ΟΤΑΝ Ο AYRTON SENNA AYRTON SENNA ( ) ΣΥΝΑΝΤΗΣΕ ΣΤΟΥΣ ΟΥΡΑΝΟΥΣ

ΤΟΥΣ FERMAT, ROLLE ΚΑΙ LAGRANGE PIERRE DE FERMAT (1601 H ) MICHEL ROLLE( ) JOSEPH LOUIS LAGRANGE ( )

ΣΕΝΑΡΙΟ Α)ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ROLLE ROLLE Β)ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Παραβολή Παραβολή Παράγωγος συνάρτησης Παράγωγος συνάρτησης Εφαπτόμενη σε σημείο γραφικής παράστασης Εφαπτόμενη σε σημείο γραφικής παράστασης Κλίση Κλίση Ρίζα 1ης παραγώγου Ρίζα 1ης παραγώγου Μοναδικότητα ρίζας εξίσωσης (μονοτονία) Μοναδικότητα ρίζας εξίσωσης (μονοτονία) Ανισότητα με δυο μεταβλητές Ανισότητα με δυο μεταβλητές Ακρότατο παραγωγίσιμης συνάρτησης σε εσωτερικά Ακρότατο παραγωγίσιμης συνάρτησης σε εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της σημεία του πεδίου ορισμού της

ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ - ΣΤΟΧΟΙ Απουσία απόδειξης Θ. ROLLE και ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Απουσία απόδειξης Θ. ROLLE και ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έτοιμη γεωμετρική ερμηνεία Έτοιμη γεωμετρική ερμηνεία Δυναμική απόδειξη από τους μαθητές (συνάρτηση τριωνύμου με μεταβλητούς συντελεστές, εφαπτόμενες, μεταβλητές χορδές, ανισότητες κ.τ.λ) Δυναμική απόδειξη από τους μαθητές (συνάρτηση τριωνύμου με μεταβλητούς συντελεστές, εφαπτόμενες, μεταβλητές χορδές, ανισότητες κ.τ.λ)

ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΑΞΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΔΟΧΗ, ΕΓΡΗΓΟΡΣΗ, ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΔΟΧΗ, ΕΓΡΗΓΟΡΣΗ, ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΤΕΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΤΕΣ, ΚΑΤΑΡΡΙΨΗ ΠΑΡΟΧΗΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ, ΠΙΟ ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΡΟΛΟΣ ΚΑΤΑΡΡΙΨΗ ΠΑΡΟΧΗΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ, ΠΙΟ ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΡΟΛΟΣ

ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟ: ΜΑΘΗΤΕΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΙΝΟ: ΜΑΘΗΤΕΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΩΡΟΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΩΡΟΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:3 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ (1/ΘΕΩΡΗΜΑ) ή 1 ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΜΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ 15ΛΕΠΤΟ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:3 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ (1/ΘΕΩΡΗΜΑ) ή 1 ΩΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΜΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ 15ΛΕΠΤΟ

ΕΡΓΑΛΕΙΑ /ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ λογισμικό Geogebra λογισμικό Geogebra Τετράδιο (υπολογισμοί, λύσεις ασκήσεων, συμπεράσματα) Τετράδιο (υπολογισμοί, λύσεις ασκήσεων, συμπεράσματα) Σχολικό βιβλίο (αναδρομή σε έννοιες) Σχολικό βιβλίο (αναδρομή σε έννοιες) Τρία φύλλα εργασίας (ΘΜΤ και Θ.ROLLE - παράγωγος συνάρτησης και ρίζα – Θ.FERMAT ) Τρία φύλλα εργασίας (ΘΜΤ και Θ.ROLLE - παράγωγος συνάρτησης και ρίζα – Θ.FERMAT )

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΦΟΡΜΗΣΗ 1 Το μονοθέσιο του AYRTON SENNA έφυγε εφαπτομενικά σε παραβολοειδή στροφή. Με 306 Km, χτύπησε τοίχο κάθετο στον νοητό άξονα συμμετρίας της στροφής, με παρεμβολή αμμοπαγίδας. Το μονοθέσιο του AYRTON SENNA έφυγε εφαπτομενικά σε παραβολοειδή στροφή. Με 306 Km, χτύπησε τοίχο κάθετο στον νοητό άξονα συμμετρίας της στροφής, με παρεμβολή αμμοπαγίδας. Αν ο αδικοχαμένος Βραζιλιάνος Θεός, o Tricampeao, έφευγε σε άλλο σημείο της στροφής, θα μπορούσε τώρα να ζει ανάμεσα μας ; Αν ο αδικοχαμένος Βραζιλιάνος Θεός, o Tricampeao, έφευγε σε άλλο σημείο της στροφής, θα μπορούσε τώρα να ζει ανάμεσα μας ;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΦΟΡΜΗΣΗ 2 Τη στιγμή του ατυχήματος, ο MICHAEL SCHUMACHER ακολουθούσε τον πρωτοπόρο ΑΥRTON που κυνηγούσε τον τελευταίο J.J.LEΗTO, λίγο μετά το apex της στροφής. Το βλέμμα του ΜS καρφώθηκε στον JJL σε νοητή ευθεία, χάνοντας τον Βeco από το οπτικό του πεδίο. Τη στιγμή του ατυχήματος, ο MICHAEL SCHUMACHER ακολουθούσε τον πρωτοπόρο ΑΥRTON που κυνηγούσε τον τελευταίο J.J.LEΗTO, λίγο μετά το apex της στροφής. Το βλέμμα του ΜS καρφώθηκε στον JJL σε νοητή ευθεία, χάνοντας τον Βeco από το οπτικό του πεδίο. Η πορεία εξόδου του θρύλoυ της F1 ήταν παράλληλη με τη ματιά του και τον έχασε; Η πορεία εξόδου του θρύλoυ της F1 ήταν παράλληλη με τη ματιά του και τον έχασε; Υπήρχε σαμαράκι που έκανε το μονοθέσιο να χάσει την πρόσφυση ; Υπήρχε σαμαράκι που έκανε το μονοθέσιο να χάσει την πρόσφυση ; Kαι αν ναι, μήπως οι θέσεις των αυτοκινήτων των ΜS και JL ήταν συμμετρικές ως προς τον άξονα συμμετρίας της στροφής ; (αρχικο σχημα) Kαι αν ναι, μήπως οι θέσεις των αυτοκινήτων των ΜS και JL ήταν συμμετρικές ως προς τον άξονα συμμετρίας της στροφής ; (αρχικο σχημα)(αρχικο σχημα)(αρχικο σχημα)

1η ΦΑΣΗ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μοντελοποίηση στροφής, κατασκευή παραμετρικής συνάρτησης f(x)=ax 2 +bx +c Μοντελοποίηση στροφής, κατασκευή παραμετρικής συνάρτησης f(x)=ax 2 +bx +c Περιορισμός της f(x) σε κλειστό διάστημα και δημιουργία της αντίστοιχης g(x) Περιορισμός της f(x) σε κλειστό διάστημα και δημιουργία της αντίστοιχης g(x) Τοποθέτηση 3 σημείων Α,Β,Ε με δρομείς που συμβολίζουν τα αυτοκίνητα Τοποθέτηση 3 σημείων Α,Β,Ε με δρομείς που συμβολίζουν τα αυτοκίνητα Τετμημένες σημείων, χορδή ΑΒ, κλίση χορδής, εφαπτόμενη της f στο Ε, κλίση εφαπτόμενης Τετμημένες σημείων, χορδή ΑΒ, κλίση χορδής, εφαπτόμενη της f στο Ε, κλίση εφαπτόμενης Μετακίνηση του δρομέα του Ε ώστε οι δυο συντελεστές διευθύνσεως να ταυτιστούν (σχημα 1) Μετακίνηση του δρομέα του Ε ώστε οι δυο συντελεστές διευθύνσεως να ταυτιστούν (σχημα 1)(σχημα 1)(σχημα 1)

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ Να γραφτεί η ισότητα των συντελεστών διεύθυνσης και η γ. ερμηνεία του ΘΜΤ. Να παρατηρηθούν τα ευθύγραμμα τμήματα g(C) g(D),,να παρατηρηθεί το σχήμα Να γραφτεί η ισότητα των συντελεστών διεύθυνσης και η γ. ερμηνεία του ΘΜΤ. Να παρατηρηθούν τα ευθύγραμμα τμήματα g(C) g(D),,να παρατηρηθεί το σχήμα ΑΒCD και να βρεθεί η σχέση ΑΒCD και να βρεθεί η σχέση (σχημα 2) (σχημα 2) ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ Να αποδειχθεί ότι Να αποδειχθεί ότι με 0<α<β

2η ΦΑΣΗ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μετακίνηση των Α,Β ώστε η χορδή ΑΒ να είναι οριζόντια άρα g(C) =g(D) Μετακίνηση των Α,Β ώστε η χορδή ΑΒ να είναι οριζόντια άρα g(C) =g(D) Για να διατηρηθεί η παραλληλία χορδής ΑΒ και εφαπτόμενης πρέπει η δεύτερη να είναι οριζόντια άρα g’(F)=0. Δηλαδή η παράγωγος έχει ρίζα (σχημα 3) Για να διατηρηθεί η παραλληλία χορδής ΑΒ και εφαπτόμενης πρέπει η δεύτερη να είναι οριζόντια άρα g’(F)=0. Δηλαδή η παράγωγος έχει ρίζα (σχημα 3)(σχημα 3)(σχημα 3) Να βρεθεί η παράγωγος g’(x)=2ax+b και να μοντελοποιηθει με το λογισμικό, παρατηρώντας ότι η τομή της ευθείας με τον χχ ‘ είναι πάντα στο (C,D) Να βρεθεί η παράγωγος g’(x)=2ax+b και να μοντελοποιηθει με το λογισμικό, παρατηρώντας ότι η τομή της ευθείας με τον χχ ‘ είναι πάντα στο (C,D) Η μοναδικότητα της ρίζας είναι προφανής (διαισθητικά, με αναδρομή σε γνώσεις μονοτονίας ή με απαγωγή σε άτοπο) (σχημα 4) Η μοναδικότητα της ρίζας είναι προφανής (διαισθητικά, με αναδρομή σε γνώσεις μονοτονίας ή με απαγωγή σε άτοπο) (σχημα 4)(σχημα 4)(σχημα 4)

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το Θ.ROLLE στο διάστημα [-1,1] για την συνάρτηση f(x)=x 3 -x, x  R και να βρεθεί ο αριθμός χ 0 του Θ.ROLLE Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το Θ.ROLLE στο διάστημα [-1,1] για την συνάρτηση f(x)=x 3 -x, x  R και να βρεθεί ο αριθμός χ 0 του Θ.ROLLE ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [-α, α], α>0 και 2 φορές παραγωγίσιμη στο (-α, α). Εάν είναι f(0)=f(-α)=f(α) να αποδειχθεί ότι υπάρχει Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [-α, α], α>0 και 2 φορές παραγωγίσιμη στο (-α, α). Εάν είναι f(0)=f(-α)=f(α) να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ  (-α, α) ώστε f’’(ξ)=0 ξ  (-α, α) ώστε f’’(ξ)=0

3η ΦΑΣΗ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ■ Θα μπορούσε να αποφευχθεί το χτύπημα του μονοθεσίου στον τοίχο; (δεδομένου ότι φεύγει εφαπτομενικά) (δεδομένου ότι φεύγει εφαπτομενικά) Μοντέλο καθαρής στροφής (f με a>0 και c> ώστε να είναι Δ 0. Μοντέλο καθαρής στροφής (f με a>0 και c> ώστε να είναι Δ 0. Σημείο= μονοθέσιο. Εφαπτόμενη σ’ αυτό (μέσω λογισμικού). Σημείο= μονοθέσιο. Εφαπτόμενη σ’ αυτό (μέσω λογισμικού). Κατασκευή τοίχου(ή δίνεται) Κατασκευή τοίχου(ή δίνεται)

3η ΦΑΣΗ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Διερεύνηση σημείου εξόδου (ασφαλέστερη διαφυγή θα ήταν παράλληλη με τον τοίχο (οριζόντια, Διερεύνηση σημείου εξόδου (ασφαλέστερη διαφυγή θα ήταν παράλληλη με τον τοίχο (οριζόντια, κλίση= 0.) Άρα f’(ξ)=0. Μήπως το σημείο είναι η κορυφή της παραβολής ; Κατασκευή (συντεταγμένες, λογισμικό) συμπίπτουν τα δυο σημεία (σχημα 5) κλίση= 0.) Άρα f’(ξ)=0. Μήπως το σημείο είναι η κορυφή της παραβολής ; Κατασκευή (συντεταγμένες, λογισμικό) συμπίπτουν τα δυο σημεία (σχημα 5)(σχημα 5)(σχημα 5) Ισχύει το αντίστροφο, δηλ αν ισχύει h’(ξ)=0 τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο ξ ακρότατο; h(x)=x 3 και h’(0)=0 χωρίς να παρουσιάζει στο σημείο Ο ακρότατο (σχημα 6) Ισχύει το αντίστροφο, δηλ αν ισχύει h’(ξ)=0 τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο ξ ακρότατο; h(x)=x 3 και h’(0)=0 χωρίς να παρουσιάζει στο σημείο Ο ακρότατο (σχημα 6)(σχημα 6)(σχημα 6)

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η συνάρτηση f(x)=αχ 3 +βχ 2 -3χ+2010 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία χ 1 =-1 και χ 2 =1 Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η συνάρτηση f(x)=αχ 3 +βχ 2 -3χ+2010 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία χ 1 =-1 και χ 2 =1 ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ Αν για κάθε χ>0 ισχύει η σχέση χ 3 χ 2 +α lnχ να αποδειχθεί ότι α=1 Αν για κάθε χ>0 ισχύει η σχέση χ 3 χ 2 +α lnχ να αποδειχθεί ότι α=1 Πειραματιστείτε αν το ατύχημα συνέβαινε στην πίστα του SILVERSTONE στην αλληλουχία στροφών MAGGOTS –BECKETTS-CHAPEL, οι οποίες προσομοιάζονται με τη συνάρτηση f(x)=ημχ Πειραματιστείτε αν το ατύχημα συνέβαινε στην πίστα του SILVERSTONE στην αλληλουχία στροφών MAGGOTS –BECKETTS-CHAPEL, οι οποίες προσομοιάζονται με τη συνάρτηση f(x)=ημχ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Εξέταση βαθμού επίτευξης στόχων Εξέταση βαθμού επίτευξης στόχων Εξέταση αιτιών μη επίτευξης στόχων Εξέταση αιτιών μη επίτευξης στόχων Εξέταση ευκολίας αξιοποίησης λογισμικού από μαθητές Εξέταση ευκολίας αξιοποίησης λογισμικού από μαθητές Επανάληψη σεναρίου σε διαφορετικά τμήματα Επανάληψη σεναρίου σε διαφορετικά τμήματα Ανταλλαγή απόψεων με άλλους συναδέλφους Ανταλλαγή απόψεων με άλλους συναδέλφους

‘’Αρνούμαι να αποχωρήσω από τη μάχη. Είναι στη φύση μου να φτάνω ως το τέλος’’ ΑYRTON SENNA –A DEUS