LOGICOMIX Σελίδες 142-154 Παναγιώτης Μπαλάφας Παντελής Λυκούδης

Πύργος του Eiffel

ΔΙΕΘΝΗΣ ΕΚΘΕΣΗ ΠΑΡΙΣΙΟΥ 1900 Στη διεθνή έκθεση του Παρισιού - την οποία παρακολούθησαν 50 εκατομμύρια άνθρωποι - εγκαινιάστηκαν οι μηχανικές σκάλες ,οι μηχανές πετρελαιοφόρου διαθλαστικού τηλεσκοπίου και ο ομιλών κινηματογράφος. Κινηματογράφος: Τα σημαντικότερα επιτεύγματα σχετικά με την ανάπτυξη της κινηματογραφικής τεχνικής έγιναν στα τέλη του 1880, με κυριότερο ίσως, την εφεύρεση του μαγνητοσκοπίου από τον William Dickson, ο οποίος εργαζόταν στα εργαστήρια τουThomas Edison. Το μαγνητοσκόπιο, ήταν μία μηχανή προβολής, με δυνατότητα να προβάλλει την κινηματογραφική ταινία σε ένα κουτί, το οποίο ήταν ορατό μόνο από έναν θεατή, μέσω μιας οπής. Στη Γαλλία, οι αδελφοί Auguste και Louis Lumiere, βασιζόμενοι στο μαγνητοσκόπιο των Dickson και Edison, εφηύραν τον κινηματογράφο (cinematographe) που αποτελούσε μία φορητή κινηματογραφική μηχανή, λήψεως, εκτύπωσης και προβολής του φιλμ που έλυνε προβλήματα εγγραφής και προβολής εικόνων σε κίνηση. Στις 28 Δεκεμβρίου του 1895, έκαναν και την πρώτη δημόσια προβολή, στο Παρίσι. Επιπρόσθετα, Μεταξύ 1898 και 1901 παρουσιάστηκαν από τον Ρουμάνο νευρολόγο Gheorghe Marinescu οι πρώτες ταινίες επιστημονικού περιεχομένου. Αξιοσημείωτο είναι πως οι περισσότερες ταινίες εκείνης της εποχής είχαν θέματα από την καθημερινή ζωή, δηλαδή ήταν ουσιαστικά ντοκιμαντέρ.

2 Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών Το 2ο Διεθνές συνέδριο μαθηματικών πραγματοποιήθηκε τον Αύγουστο του 1900 στο Παρίσι .Το συγκεκριμένο συνέδριο στιγματίστηκε από την ιστορική ομιλία του David Ηilbert στην όποια έθεσε την περίφημη λίστα με τα 23 προβλήματα(Mathematische probleme)όπου συμφώνα με την άποψη του θα κατείχαν μείζονα ρολό στη εξέλιξη των μαθηματικών του 20ου αιώνα. Ο Hilbert δήλωσε πως κάθε μαθηματικός ενστερνίζεται την πεποίθηση ‘’ότι κάθε καλά ορισμένο μαθηματικό πρόβλημα επιδέχεται μια ακριβή λύση…Αυτή η πεποίθηση..αποτελεί ένα ισχυρό κίνητρο στην εργασία μας . Ακούμε μέσα μας το αδιάκοπο κάλεσμα :’’Ορίστε το πρόβλημα . Επιδίωξε τη λύση του ! Μπορείς να τη βρεις με καθαρή λογική!’’

Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912) Γάλλος μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος.Υπήρξε λέκτορας στο πανεπιστήμιο της Σορβόννης. Διορίστηκε καθηγητής στην έδρα της Φυσικής, της Πειραματικής Φυσικής, της Μαθηματικής Φυσικής, του λογισμού των Πιθανοτήτων και της Ουράνιας Μηχανικής στη Σορβόννη. Από το 1887 ήταν μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών, από το 1893 μέλος του γραφείου Μέτρων και Σταθμών και από το 1908 μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας.Σε αυτόν αποδίδεται η αρχική σύλληψη της έννοιας του αιτιοκρατικού χάους όπως το εννοούμε σήμερα. Εφάρμοσε με αξιόλογο τρόπο τη μαθηματική ανάλυση στη θεωρητική μηχανική, τη φυσική και την αστρονομία και έφερε σημαντικές προόδους στις επιστήμες αυτές. Ιδιαίτερα μπορεί να αναφερθεί ότι θεμελίωσε τη σύγχρονη τοπολογία και δημοσίευσε, σχεδόν συγχρόνως με τον Αϊνστάιν, μελέτες αναφερόμενες στη θεωρία της σχετικότητας (δυναμική των ηλεκτρονίων). Ήταν πρόδρομος της μοντέρνας Σχολής του Διαισθητισμού (Ιντουσιονισμός) Έκανε 1500 επιστημονικές εργασίες και έλυσε προβλήματα τα οποία ούτε καν είχαν τεθεί πριν από αυτόν.

Διεθνή Συνέδρια Μαθηματικών Έτος Πολη Χωρα Hyderabad Ινδία 2006 Μαδρίτη Ισπανία 2002 Πεκίνο Κινα 1998 Βερολίνο Γερμανία 1994 Ζυρίχη Ελβετία 1990 Κιότο Ιαπωνία 1986 Berkeley ΗΠΑ 1983 Βαρσοβία Πολωνία 1978 Ελσίνκι Φινλανδία 1974 Vancouver Καναδάς 1970 Νις Γαλλία 1966 Μόσχα ΕΣΣΔ 1962 Στοκχόλμη Σουηδία 1958 Εδιμβούργο Ηνωμένο Βασίλειο 1954 Άμστερνταμ Ολλανδία 1950 Cambridge 1936 Όσλο Νορβηγία 1932 1928 Μπολόνια Ιταλία 1924 Τορόντο 1920 Στρασβούργο 1912 Ηνωμένο βασίλειο 1908 Ρώμη 1904 Heidelberg Γερμανική Αυτοκρατορία 1900 Παρίσι 1897 Διεθνή Συνέδρια Μαθηματικών Η προβολή της ιδέας για την πραγμάτωση ενός διεθνούς μαθηματικού συνεδρίου κατά την διάρκεια της δεκαετίας του 1890 αποδίδεται κυρίως στους μαθηματικούς Felix Klein & Georg Cantor.Αξιοσημείωτο είναι πως η ομιλία του Felix Klein στo παγκόσμιο συνέδριο του Σικάγου το 1893 εμπεριείχε την φράση-κάλεσμα ‘’Μαθηματικοί όλου του κόσμου ενωθείτε’’

Gösta Mittag-Leffler(1846-1927)

Felix Cristian Klein(25 Απριλίου 1849 22 Ιουνίου 1925) Γερμανός μαθηματικός γνωστός για το έργο του στη μη ευκλείδεια γεωμετρία, Ο Klein γεννήθηκε στο Ντίσελντορφ & ύστερα σπούδασε μαθηματικά & φυσική στο πανεπιστήμιο της Βόννης 1865-1866.Άρχισε την καριέρα του με πρόθεση να γίνει φυσικός.Το 1966 ορίστηκε επιστημονικός συνεργάτης του Julius Plucker o οποίος κατείχε την έδρα των μαθηματικών και πειραματικής φυσικής στο πανεπιστήμιο της Βόννης. Εκείνη την εποχή ο Plucker ενδιαφερόταν για την γραμμική γεωμετρία . Γι’ αυτό το λόγο το διδακτορικό του Klein ήταν επάνω στην γραμμική γεωμετρία και τις εφαρμογές της στην μηχανική. Την ίδια χρόνια ο Pluckier πέθανε αφήνοντας το έργο του επάνω στην γραμμική γεωμετρία ανολοκλήρωτο.Το πιο προφανές πρόσωπο για να συνεχίσει την εργασία του Plucker εμφανίστηκε ο Klein όπου με την εργασία αυτή έγινε γνωστός στον Alfred Clebsch.O Alfred Clebsch μεταφέρθηκε στο Γκέτινγκεν κατά την διάρκεια του 1968-1969.Ετσι ο Klein άδραξε την ευκαιρία να επισκεφτεί το Βερολίνο, το Παρίσι και το Γκέτινγκεν . Τον Ιούλιο του 1970 ξεκίνησε πόλεμος μεταξύ Γαλλίας και Πρωσίας .Ο Klein άφησε το Παρίσι και συνέδραμε προσφέροντας για μικρό χρονικό διάστημα ιατρικές υπηρεσίες στο ρωσικό στρατό έως ότου οριστεί λέκτορας στο πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.Το 1872 ο Klein ορίστηκε Καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Erlangen στην Νυρεμβέργη σε ηλικία μόλις 23 ετων.Το 1975 ορίστηκε καθηγητής στο Technische Hochschule του Μονάχου .Την ιδία χρόνια παντρεύτηκε την Anne Hegel εγγονή του φιλοσόφου Georg Wilhelm Friedrich Hegel.Το 1880 πήρε την έδρα της γεωμετρίας στη Λειψία .Τα χρόνια 1880-1886 άλλαξαν ριζικά την μετέπειτα ζωή του Klein.To 1882 η υγεία του κατέρρευσε και το 1883 έπαθε κατάθλιψη .Το 1886 και μέχρι την απόσυρση του το 1913 κατείχε την θέση του καθηγητή στο πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.Ο Κlein προσπάθησε να διαμορφώσει το Γκέτινγκεν ως καλύτερο κέντρο έρευνας που σχετίζεται με τα μαθηματικά .Επιπρόσθετα συνέβαλε και στην δομή του ωρολογίου προγράμματος καθιερώνοντας εβδομαδιαίες συνεδριάσεις μαθηματικών,χώρο ανάγνωσης μαθηματικών αλλά και βιβλιοθήκης .Επίσης ο Klein προσπάθησε να αναδιάρθρωση του τρόπου διδασκαλία των μαθηματικών στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση . Άξιο προς αναφορά είναι πως ο Klein το 1893 ήταν υπαίτιος για την αλλαγή της πολίτικης του Γκέτινγκεν κάνοντας τις γυναίκες δεχτές να φοιτήσουν σε αυτό.

Felix Klein Bottle

Hermann Minkowski (1864-1909) Γεννήθηκε στη Λιθουανία και μεγάλωσε στη Γερμανία.Σπούδασε στο Königsberg με τον Lindemann να επιβλέπει το διδακτορικό του. Το 1883 πήρε το μαθηματικό βραβείο της Γαλλικής ακαδημίας επιστημών.Για ένα μικρό διάστημα δίδαξε στη Ζυρίχη και το 1902 έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν εκεί όπου ανέπτυξε φιλία με τον Hilbert.Ασχολήθηκε με τη θεωρία αριθμών,οι εξισώσεις 2ου βαθμού με ν μεταβλητές και η θεωρία της Σχετικότητας. Μάλιστα ανακάλυψε το 1907 ότι η Ειδική θεωρία της Σχετικότητας ,που εισήγαγε ο Einstein, μπορούσε να κατανοηθεί καλύτερα σε χώρο 4 διαστάσεων γνωστός από τότε ως χώρος ή χωροχρόνος του Minkowski.

Richard Dedekind (1831 – 1916) Γερμανός μαθηματικός. Σπούδασε στο Gottingen και ήταν ο τελευταίος μαθητής του Gauss. Μετά το διδακτορικό του πάνω στα ολοκληρώματα Euler πήγε στο Βερολίνο για έρευνα, εκεί όπου συνάντησε τον Riemann. Επέστρεψε στο Gottingen, στο πανεπιστήμιο του οποίου δίδαξε. Επίσης δίδαξε και στο πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Τομείς που συνείσφερε στα μαθηματικά ήταν η αφηρημένη άλγεβρα, η αλγεβρική θεωρία αριθμών και η θεμελίωση των πραγματικών αριθμών. Έγινε κυρίως γνωστός από της συνεργασία του με τον Ιταλό μαθηματικό Peano στο αξιωματικό σύστημα Peano-Dedekind για τους φυσικούς αριθμούς που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα και αποτέλεσε την πρώτη εφαρμογή του Θεωρήματος Μη-Πληρότητας του Godel.

Charles Hermite (1822-1901) Γάλλος μαθηματικός. Έζησε στη Nice και σπούδασε στην École Polytechnique για μικρό χρονικό διάστημα. Συνείσφερε στην θεωρία του Abel αποδεικνύοντας αρνητικά την ύπαρξη ρίζας σε εξίσωση 5ου βαθμού. Έγινε κυρίως διάσημος για την απόδειξη της υπερβατικότητας του αριθμού e. Ασχολήθηκε επίσης με τη θεωρία αριθμών, τις ελλειπτικές συναρτήσεις και την άλγεβρα. Ήταν δάσκαλος του Poincare.

Μη-Ευκλείδιες Γεωμετρίες Η Ευκλείδεια Γεωμετρία βασίζεται στο αξίωμα του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες. Αμφισβητώντας αυτό το αίτημα δημιουργούνται οι μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες. Από νωρίς το 5ο αίτημα του Ευκλείδη μπήκε στο στόχαστρο των μαθηματικών, αφού πίστευαν ότι δεν μπορεί να μην αποδεικνύεται μια πρόταση για την οποία η αντίστροφή της αποδεικνύεται σχετικά εύκολα. Ευκλείδειες 19ο αιώνα αναπτύχτηκαν μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, δηλαδή η ανακάλυψη ότι το μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας δεν είναι αυτό που ερμηνεύει με τον καλύτερο τρόπο τις ιδιότητες του χώρου που μας περιβάλλει. Η δυνατότητα της ύπαρξης άλλων Γεωμετριών που δίνουν πιο αποτελεσματικές ερμηνείες του φυσικού χώρου, αποτέλεσε μια επιστημονική επανάσταση που ανέτρεψε βαθιά ριζωμένες αντιλήψεις πρώτος που κατανόησε το γεγονός ότι η γεωμετρία της φύσης μπορεί να είναι διαφορετική από την Ευκλείδεια ήταν ο Gauss που έφτασε στο συμπέρασμα ότι η άρνηση του 5ου αιτήματος μπορεί να οδηγήσει σε μια λογικά συνεπή θεωρία που ονόμασε μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ή απόλυτη Γεωμετρία. Έτσι ο Ρώσος μαθηματικός Λομπατσέφσκι (1855) ανακάλυψε μια νέα γεωμετρία, που στηριζόταν στο "αίτημα του Λομπατσέφσκι". Αργότερα ο Ρήμαν συμπλήρωσε την εργασία του Ρώσου μαθηματικού. Για να επεξεργασθεί το θέμα ο Ρήμαν χρησιμοποίησε τη σύλληψη μιας μη ευκλείδειας γεωμετρίας που είχε φαντασθεί ο Γκάους για τη μέτρηση των καμπυλών επιφανειών. Από τον συνδυασμό αυτό δημιούργησε ένα μαθηματικό αριστούργημα τη διαφορική γεωμετρία η οποία ανακάλυψε νέες μεθόδους μετρήσεων σε διαστήματα οποιασδήποτε καμπυλότητας και οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων. Σήμερα η γεωμετρία έχει πλέον ‘αλγεβροποιηθεί’ και μελετάται με βάση τα διανύσματα και τα συστήματα συντεταγμένων που εισήγαγε ο Descartes στην αναλυτική γεωμετρία. Χρησιμοποιείται ευρέως και σε άλλες επιστήμες όπως η Φυσική και η Βιολογία κυρίως μέσω των γραφικών παραστάσεων.

Διαφορική γεωμετρία είναι ο μαθηματικός κλάδος που χρησιμοποιεί διαφορικές και ολοκληρωτικές μεθόδους υπολογισμού και γραμμική άλγεβρα για να λύσει προβλήματα γεωμετρίας. Βρήκε εφαρμογή στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο και αναπτύχθηκε κυρίως τον 19ο αιώνα. Τα τελευταία χρόνια της ανάπτυξής της απασχολείται κυρίως με γεωμετρικές δομές στις διαφορικές πολλαπλότητες κάτι που τη συνδέει άμεσα με την τοπολογία και τη θεωρία διαφορικών εξισώσεων. Η πρόσφατη απόδειξη του Gregory Perelman για την εικασία του Poincare έδειξε την χρησιμότητα της διαφορικής γεωμετρίας απέναντι στην τοπολογία και στις αναλυτικές μεθόδους απόδειξης. Μερικοί κλάδοι της είναι η Ψευδοριμάνεια γεωμετρία, η γεωμετρία επαφής, η μιγαδική και η συμπλεκτική γεωμετρία.

Ελλειπτική γεωμετρία: απαντάει αρνητικά στο 5ο αίτημα του Ευκλείδη διατυπώνοντας τη μη ύπαρξη παραλλήλου ως προς ευθεία που ορίζεται από σημείο. Έτσι δεν υπάρχουν καθόλου παράλληλες στην ελλειπτική γεωμετρία. Επίσης έχει πολλές διαφορές απ΄ την Ευκλείδεια αφού ως επίπεδο θεωρούμε τον κύκλο, ως ευθεία το μέγιστο κύκλο και ως σύστημα αναφοράς το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Επίσης το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες και υπάρχουν και τρισορθογώνια τρίγωνα. Μερικοί τομείς της είναι οι γεωδαιτικές, η εκθετική απεικόνιση και οι διαφορικές μορφές. Σημαντικές αποδείξεις στην ελλειπτική γεωμετρία έκανε ο Πολωνός λογικολόγος Alfred Tarski. Η υπερβολική γεωμετρία, που ανακαλύφθηκε από τους Nikolai Lobachevsky και János Bolyai που υπέβαλαν ταυτόχρονα τις εργασίες τους στον Gauss αλλάζει το αξίωμα του Ευκλείδη και δέχεται την ύπαρξη στο δισδιάστατο επίπεδο τουλάχιστον δύο παραλλήλων (ασύμπτωτων) που άγονται από σημείο ως προς ευθεία. Έχει αρκετά κοινά σημεία με τη σφαιρική. Χαρακτηριστικό είναι ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες. Στο όριο των κορυφών όταν τείνουν στο άπειρο υπάρχουν περιπτώσεις όπου ιδανικά υπερβολικά τρίγωνα που έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες με 0 μοίρες. Ως επίπεδο θεωρείται ένα σελοειδές σχήμα. Αξιοσημείωτο είναι πως ο όρος υπερβολική γεωμετρία εισήχθη απ΄τον Felix Klein. Μερικοί σημαντικοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν με την υπερβολική γεωμετρία ανά τους αιώνες: o Ibn al-Haytham, o Omar Khayyam, o Legendre, o Gauss και ο Beltrami. Απ’ τους πιο σύγχρονους ο Milnor.

Μοντέλα υπερβολικής γεωμετρίας

Hilbert vs Poincare Φορμαλισμός Υπέρ της θεωρίας συνόλων του Cantor (Η θεμελίωση της αριθμητικής μπορεί να βασιστεί εκεί) Υπέρ της πληρότητας των μαθηματικών Αν τεθεί λογικά ένα ερώτημα μπορεί και να απαντηθεί λογικά Δεν υπάρχει ignorabimus στα μαθηματικά Εμπειρισμός - ιντουισιονισμός Κατά της θεωρίας συνόλων του Cantor

Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Οκτώβριος 5, 1781 – Δεκέμβριος 18, 1848) Τσέχος φιλόσοφος, θεολόγος και μαθηματικός, ο οποίος σπούδασε στο πανεπιστήμιο της Πράγας, όπου, αφού εν τω μεταξύ εντάχτηκε στον κλήρο της καθολικής εκκλησίας, κατέλαβε την έδρα του καθηγητή της επιστήμης της θρησκείας, από το οποίο απομακρύνθηκε κατηγορηθείς για τις θρησκευτικές και πολιτικές απόψεις του ως αιρετικός. Ο Βolzano διακήρυξε ένα είδος ουτοπικής κοινωνιοκρατίας, στο πλαίσιο της οποίας μεταξύ των άλλων, θεωρούσε απαράδεκτη την απόκτηση περιουσιακών στοιχείων που δεν ήταν προϊόν εργασίας. Σημαντική ήταν η επιρροή που άσκηση με τις απόψεις του για τη λογική, τη μεθοδολογία και την επιστημολογία σε φιλοσόφους του 20ου αιώνα, όπως οι εκπρόσωποι της σχολής της Βαρσοβίας Λουκάγιεβιτς, Τάρσκι κ.α. Στο έργο του Paradoxes of the Infinite (Παράδοξα του απείρου), που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή ότι πραγματικά υπάρχουν υπερσύνολα. Είπε πως το γεγονός πως ένα υπερσύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με ένα γνήσιο υποσύνολό του απλώς πρέπει να γίνει αποδεκτό.

Ιντουισιονισμός Στη φιλοσοφία των μαθηματικών ιντουισιονισμός είναι η θεωρία που αντιτίθεται στο αυστηρό φορμαλισμό του Hilbert και πρεσβεύει πως η διαίσθηση έχει καθοριστικό ρόλο στην κατανόηση των μαθηματικών. Ο κύριος εκφραστής της ήταν ο Ολλανδός μαθηματικός Luitzen Brouwer (1881-1966) και σημαντικός προιντουισιονιστής ο Poincare. O Brouwer Πίστευε πως η λογική είναι θεμελιωμένη πάνω στα μαθηματικά και απέρριψε μεθόδους αποδείξεως όπως η εις άτοπον απαγωγή και τον βασικό λογικό νόμο της μέσου αποκλίσεως. Η ιδέα της αντικειμενικότητας των γνωρισμάτων του εξωτερικού μας κόσμου απέναντι στην υποκειμενικότητα του κόσμου των ιδεών εκφράστηκε πρώτα από τον Κant. Ο Kant χαρακτήριζε a posteriori τη γνώση που προέρχεται από την εμπειρία. Σ’ αυτό αντιτάχθηκε ο Frege που πίστευε πως, αφού κατά τον εμπειρισμό οι αριθμητικές αλήθειες προκύπτουν από τις εμπειρίες μας του υλικού κόσμου, τότε η αριθμητική δε μπορεί να θεμελιωθεί πάνω στα γνωρίσματα αυτά αφού ο υλικός κόσμος μεταβάλλεται συνεχώς.

Αξίωμα Στην λογική, αξίωμα είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. Υποτίθεται δηλαδή η αλήθεια του, ώστε να χρησιμοποιηθεί ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται. Στα μαθηματικά, ο όρος αξίωμα χρησιμοποιείται με δυο σχετικές αλλά διαφορετικές έννοιες: τα «λογικά» και «μη λογικά» αξιώματα. Και στις δύο περιπτώσεις, αξίωμα είναι μια μαθηματική πρόταση που χρησιμεύει ως αρχή για το συμπέρασμα άλλων προτάσεων με λογικό τρόπο. Αντίθετα με τα θεωρήματα, τα αξιώματα δεν μπορούν γενικά να παραχθούν με αρχές επαγωγής (εκτός αν πλεονάζουν), ούτε γίνεται να αποδειχθούν, αφού αποτελούν αρχικά σημεία: δεν υπάρχει κάτι από το οποίο να απορρέουν (τότε θα ήταν θεωρήματα). Τα λογικά αξιώματα είναι συνήθως προτάσεις που γίνονται αποδεκτές ως καθολικά αληθείς (π.χ. το Α και Β συνεπάγεται το Α). Τα μη-λογικά αξιώματα (π.χ. a + b = b + a) ορίζουν ιδιότητες για την περιοχή κάποιας συγκεκριμένης μαθηματικής θεωρίας (όπως η Αριθμητική). Όταν χρησιμοποιείται με αυτή την έννοια, η λέξεις «αξίωμα», «αρχή» και «υπόθεση» σημαίνουν το ίδιο.

Παράδοξο γενικά χαρακτηρίζεται οτιδήποτε που αντιβαίνει στη κοινή αντίληψη, ή κάτι που συμβαίνει και θεωρείται απίστευτο.Η έννοια του παράδοξου εξετάζεται τόσο από φιλοσοφική και φιλολογική ερμηνεία όσο και από επιστημονική έρευνα.Στα μαθηματικά γνωστά παράδοξα είναι το κβαντικό παράδοξο του Ζήνωνα και το παράδοξο του τροχού. Αντίφαση: η ύπαρξη έγκυρων συνεπαγωγών που ξεκινούν από μία θέση (ή θέσεις) και καταλήγουν σε μία πρόταση που είναι ψευδής ή ισοδύναμα, σε μια πρόταση και την άρνησή της, κάτι που αποδεικνύει ότι η θέση δεν μπορεί να είναι αληθής.Η, με λογική ορολογία κάθε τύπος στον οποίο αντιστοιχεί η αληθινή Ψ για κάθε δυνατό συνδυασμό που αντιστοιχεί στις προτασιακές μεταβλητές που τον συγκροτούν.

Gottlob Frege (1848-1925) Γερμανός μαθηματικός και ουσιαστικά ο πρώτος συνεχιστής του Leibniz στη λογική (μετά τον Boole). Έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Ιένα, στο πανεπιστήμιο της οποίας σπούδασε και δίδαξε κατόπιν ως καθηγητής. Έζησε κατά τη διάρκεια σημαντικών εξελίξεων της δυτικής σκέψης που αφορούσαν τα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες καθώς και αλλαγών στην τέχνη και την κοινωνία. Πίστευε ότι τα μαθηματικά δεν είναι αυτόνομη επιστήμη αλλά κλάδος της λογικής. Διατηρούσε αλληλογραφία με μερικές σπουδαίους διανοούμενους του καιρού του όπως ο Russel, ο Hilbert και o Husserl.Δημοσίευσε σημαντικές εργασίες στην περιοχή της λογικής, της επιστημολογίας, των θεμελίων των μαθηματικών και της φιλοσοφίας (ειδικά, της αναλυτικής). Συνέγραψε εξαιρετικά σημαντικά βιβλία, κυρίως φιλοσοφικής φύσεως που απασχολούν μέχρι και σήμερα λογικολόγους όπως Τα θεμέλια της Αριθμητικής και η Εννοιογραφία.Ακόμα κι αν η συνεισφορά του σε λογικο-μαθηματικό επίπεδο καταρρίφθηκε απ το παράδοξο του Russell σήμερα επιβιώνει μέσω του νεολογικισμού, της σημασιολογικής ερμηνείας της αλήθειας του Tarski,της φιλοσοφίας του Dummett, του λογικού θετικισμού και της αναλυτικής φιλοσοφίας του Wittgenstein. Το έργο του δημιούργησε άξιους αντιπάλους (ιντουισιονιστές) αλλά και θερμούς υποστηρικτές (Hilbert) που δημιούργησε τον περατοκρατισμό εμπνευσμένος από της αποτυχία του Frege να θεμελιώσει την αριθμητική. Η σύγχρονη προτασιακή λογική όπως και ο καθολικός ( ) και ο υπαρκτικός οδοδείκτης είναι δημιουργήματα του Frege.Στα τελευταία χρόνια της ζωής του εκδήλωσε ψυχασθένεια ενστερνιζόμενος τις ιδέες των Ναζί.