ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές ΜέθοδοιΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος Ιστοσελίδες μαθήματος:

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μετάδοση και επεξεργασία σημάτων τ = n Τ + Δt –Δt 0 t t  τt  τ τ n Τn Τ Δt0Δt0 ΔtΔt Τ ρ = c τ λήψη t εκπομπή t  τ ΔΦ = ρ – n λ Παρατήρηση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) k = σταθερά, n(t) = θόρυβος

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = απόσταση πομπού - δέκτη

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) x(t)x(t) t c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = απόσταση πομπού - δέκτη τ t x(t - τ) Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) x(t)x(t) t c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό Η συνάρτηση g(t) = f(t – τ) παίρνει τη χρονική στιγμή t την τιμή που είχε η συνάρτηση f την στιγμή t – τ, πριν από χρονικό διάστημα τ = καθυστέρηση κατά τ = μετάθεση γραφήματος προς τα δεξιά (= μέλλον) κατά τ k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = απόσταση πομπού - δέκτη τ t x(t - τ) Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) τ x(t)x(t) t t c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = απόσταση πομπού - δέκτη x(t - τ) Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) k x(t)x(t) t t c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = απόσταση πομπού - δέκτη x(t - τ) Χρόνος μετάδοσης: τ = ρ / c

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εκπομπή και λήψη σήματος Σήμα στον πομπό: x(t) Σήμα στο δέκτη: y(t) = k x(t - τ) + n(t) Χρόνος μετάδοσης: τ k x(t - τ) x(t)x(t) t t c = ταχύτητα μετάδοσης = ταχύτητα φωτός στο κενό k = σταθερά, n(t) = θόρυβος ρ = cτ = απόσταση πομπού - δέκτη Θόρυβος n(t) =παράσιτα που οφείλονται στη μετάδοση (ατμόσφαιρα, ηλεκτρονικά τμήματα πομπού και δέκτη) + n(t)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος 0 1/4 T1/4 T 1/2 T1/2 T 3/4 T3/4 TT 0 1 / 2 ππ 3/2π3/2π2π 0+10 11 0 0+a+a0  a a 0 x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος 0 1/4 T1/4 T 1/2 T1/2 T 3/4 T3/4 TT 0 1 / 2 ππ 3/2π3/2π2π 0+10 11 0 0+a+a0  a a 0 συχνότητα : (Hertz = κύκλοι / δευτερόλεπτο) x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος 0 1/4 T1/4 T 1/2 T1/2 T 3/4 T3/4 TT 0 1 / 2 ππ 3/2π3/2π2π 0+10 11 0 0+a+a0  a a 0 συχνότητα : γωνιακή συχνότητα : (Hertz = κύκλοι / δευτερόλεπτο) x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος 0 1/4 T1/4 T 1/2 T1/2 T 3/4 T3/4 TT 0 1 / 2 ππ 3/2π3/2π2π 0+10 11 0 0+a+a0  a a 0 συχνότητα : γωνιακή συχνότητα : μήκος κύματος : (Hertz = κύκλοι / δευτερόλεπτο) c = ταχύτητα φωτός στο κενό x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι απλούστερη ! Μονοχρωματικό σήμα = περιοδικό σήμα ημιτονοειδούς μορφής : T = περίοδος 0 1/4 T1/4 T 1/2 T1/2 T 3/4 T3/4 TT 0 1 / 2 ππ 3/2π3/2π2π 0+10 11 0 0+a+a0  a a 0 συχνότητα : γωνιακή συχνότητα : μήκος κύματος : (Hertz = κύκλοι / δευτερόλεπτο) c = ταχύτητα φωτός στο κενό Εναλλακτικές περιγραφές σήματος : x(t)x(t) +a t aa 0T Μονοχρωματικά (ημιτονοειδή) σήματα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t – Δt = αμέσως προηγούμενη στιγμή με x(t – Δt ) = 0 και x(t – Δt + ε ) > 0 (αρχή τρέχοντος κύκλου) Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t – Δt = αμέσως προηγούμενη στιγμή με x(t – Δt ) = 0 και x(t – Δt + ε ) > 0 (αρχή τρέχοντος κύκλου) Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος = φάση κατά τη στιγμή t (φάση = τρέχον κλάσμα της περιόδου)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t – Δt = αμέσως προηγούμενη στιγμή με x(t – Δt ) = 0 και x(t – Δt + ε ) > 0 (αρχή τρέχοντος κύκλου) Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος = φάση κατά τη στιγμή t (φάση = τρέχον κλάσμα της περιόδου) Φ = 0Φ = 0Φ = 1/4Φ = 1/2Φ = 3/4Φ = 0Φ = 0

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t – Δt = αμέσως προηγούμενη στιγμή με x(t – Δt ) = 0 και x(t – Δt + ε ) > 0 (αρχή τρέχοντος κύκλου) Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος = φάση κατά τη στιγμή t = γωνία φάσης (φάση = τρέχον κλάσμα της περιόδου) Φ = 0Φ = 0Φ = 1/4Φ = 1/2Φ = 3/4Φ = 0Φ = 0

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t – Δt = αμέσως προηγούμενη στιγμή με x(t – Δt ) = 0 και x(t – Δt + ε ) > 0 (αρχή τρέχοντος κύκλου) Φάση σήματος κατά μία χρονική στιγμή t : Φάση σήματος = φάση κατά τη στιγμή t = γωνία φάσης (φάση = τρέχον κλάσμα της περιόδου) (κλάσμα της περιόδου εκφρασμένο ως γωνία) Φ = 0Φ = 0Φ = 1/4Φ = 1/2Φ = 3/4Φ = 0Φ = 0 φ = 0φ = 0φ = π/4φ = π/2φ = 3π/4φ = 0φ = 0

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t t – t 0 n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t t – t 0 n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t t – t 0 n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t t – t 0 n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση : Σύνδεση χρονικής διαφοράς με τη διαφορά φάσεων : μαθηματικό μοντέλο για τις παρατηρήσεις διαφορών φάσεων

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι ΔtΔtΔt0Δt0 t0t0 Τ t t – t 0 n Τn Τ Γενίκευση: Μέτρηση χρόνου από μία αρχική στιγμή t 0  0 : αρχική φάση : τρέχουσα φάση : H συχνότητα ως παράγωγος της φάσης Σύνδεση χρονικής διαφοράς με τη διαφορά φάσεων : μαθηματικό μοντέλο για τις παρατηρήσεις διαφορών φάσεων

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γενική μορφή μονοχρωματικού σήματος :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εναλλακτική (συνήθης) μορφή με συνημίτονα : Γενική μορφή μονοχρωματικού σήματος :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εναλλακτική (συνήθης) μορφή με συνημίτονα : Γενική μορφή μονοχρωματικού σήματος : Θ = φάση κύματος συνημίτονου θ = αντίστοιχη γωνία φάσης

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εναλλακτική (συνήθης) μορφή με συνημίτονα : Γενική μορφή μονοχρωματικού σήματος : Θ = φάση κύματος συνημίτονου θ = αντίστοιχη γωνία φάσης (  2π  )

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εναλλακτική (συνήθης) μορφή με συνημίτονα : Γενική μορφή μονοχρωματικού σήματος : Θ = φάση κύματος συνημίτονου θ = αντίστοιχη γωνία φάσης Συνήθης συμβολισμός : Θ  Φ, θ  φ (  2π  )

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι δέκτης r = ρ πομπός r = 0 Eποχή t - Mεταδιδόμενο σήμα στο χώρο y(t,r) = x(t  cr)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t εποχή t x(t)x(t) σήμα στον πομπό δέκτης r = ρ πομπός r = 0 Eποχή t - Mεταδιδόμενο σήμα στο χώρο y(t,r) = x(t  cr)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι t εποχή t x(t)x(t) σήμα στον πομπό δέκτης r = ρ πομπός r = 0 Eποχή t - Mεταδιδόμενο σήμα στο χώρο y(t,r) = x(t  cr)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι σήμα στον δέκτη y(t) = x(t  cρ) t εποχή t t x(t)x(t) σήμα στον πομπό δέκτης r = ρ πομπός r = 0 Eποχή t - Mεταδιδόμενο σήμα στο χώρο y(t,r) = x(t  cr)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι σήμα στον δέκτη y(t) = x(t  cρ) t εποχή t t x(t)x(t) σήμα στον πομπό δέκτης r = ρ πομπός r = 0 Eποχή t - Mεταδιδόμενο σήμα στο χώρο y(t,r) = x(t  cr)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI !

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ενέργειας = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ενέργειας = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης : ενέργεια :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ενέργειας = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης : ενέργεια : S(ω) = (φασματική) πυκνότητα ενέργειας

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Σήματα ενέργειας Ενέργεια : Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ενέργειας = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης : ενέργεια : S(ω) = (φασματική) πυκνότητα ενέργειας Παράδειγμα : x(t) = ηλιακή ακτινοβολία στην επιφάνεια της γης, S(ω)  S(λ) = χρωματικό φάσμα

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Μ λ ( W m  2 Ǻ  1 ) μήκος κύματος λ (μm) Aκτινοβολία μέλανος σώματος σε 6000 Κ Ακτινοβολία πάνω από την ατμόσφαιρα Ακτινοβολία στην επιφάνεια της γης Πυκνότητα ενέργειας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από τον ήλιο ορατό (ενέργεια ανά μονάδα μήκους κύματος που προσπίπτει σε μονάδα επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι υπέρυθρο Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα ορατό 10  5 10  (μm) ορατό ανακλώμενο θερμικό μικροκύματα RADIOυπεριώδεςακτίνες Χακτίνες γ λ

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος ισχύς για το διάστημα [–Τ /2, Τ /2]

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος ισχύς για το διάστημα [–Τ /2, Τ /2] ισχύς για το διάστημα [– , +  ]

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] : (n  1)T  (n  1)T

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] : (n  1)T  (n  1)T

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] : (n  1)T  (n  1)T

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] : (n  1)T  (n  1)T

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Ισχύς περιοδικού σήματος με περίοδο Τ Ισχύς για μία περίοδο Τ : Συνολική ισχύς για το διάστημα [– , +  ] : H ισχύς P περιοδικού σήματος είναι ίση με την ισχύ P T για μία μόνο περίοδο P = P T (n  1)T  (n  1)T

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI !

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ισχύος = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ισχύς : Σήματα ισχύος Συνάρτηση συσχέτισης δύο σημάτων x(t) και y(t) : Συνάρτηση (αυτο)συσχέτισης σήματος : Ιδιότητες Εφαρνογές GPS, VLBI ! Φασματική πυκνότητα ισχύος = μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης αυτοσυσχέτισης : ισχύς : S(ω) = (φασματική) πυκνότητα ισχύος _

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : χρονική μετάθεση : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : χρονική μετάθεση : χρονικά αμετάβλητο σύστημα : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : χρονική μετάθεση : χρονικά αμετάβλητο σύστημα : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : χρονική μετάθεση : χρονικά αμετάβλητο σύστημα : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη δύο συναρτήσεων g(t) και f(t) : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα γραμμικό σύστημα = απεικόνιση γραμμικότητα : χρονική μετάθεση : χρονικά αμετάβλητο σύστημα : παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη δύο συναρτήσεων g(t) και f(t) : χρονικά αμετάβλητο γραμμικό σύστημα : σήμα εισόδουσήμα εξόδου

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : (απλοποίηση συμβολισμού)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Συνάρτηση Dirac (ώθηση): Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : (απλοποίηση συμβολισμού) δε(t)δε(t) ε 1/ε

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Συνάρτηση Dirac (ώθηση): Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : (απλοποίηση συμβολισμού) δε(t)δε(t) ε 1/ε εμβαδόν = 1

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Συνάρτηση Dirac (ώθηση): Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : (απλοποίηση συμβολισμού) δε(t)δε(t) ε 1/ε εμβαδόν = 1

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : (απλοποίηση συμβολισμού) Συνάρτηση Dirac (ώθηση):

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : h = συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση (απλοποίηση συμβολισμού) Συνάρτηση Dirac (ώθηση):

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : h = συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση (απλοποίηση συμβολισμού) Συνάρτηση Dirac (ώθηση):

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Γραμμικά συστήματα παράσταση γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : για χρονικά αμετάβλητο : Απόδειξη : h = συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση (απλοποίηση συμβολισμού) Συνάρτηση Dirac (ώθηση):

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη Θεώρημα της συνέλιξης σε αναλυτική μορφή :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη Θεώρημα της συνέλιξης σε αναλυτική μορφή :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη Θεώρημα της συνέλιξης σε αναλυτική μορφή :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη Θεώρημα της συνέλιξης σε αναλυτική μορφή :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Το θεώρημα της συνέλιξης Παράσταση χρονικά αμετάβλητου γραμμικού συστήματος με ολοκλήρωμα : συνέλιξη Μετασχηματισμοί Fourier : Θεώρημα της συνέλιξης Συνέλιξη Θεώρημα της συνέλιξης σε αναλυτική μορφή : ή

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 Η(ω) = 0 όταν ω 1 < |ω| < ω 2 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 Η(ω) = 0 όταν ω 1 < |ω| < ω 2 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Φίλτρα = χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα L με Η(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν |ω| > ω 0 Η(ω) = 0 όταν| ω| < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < | ω| Η(ω) = 0 όταν |ω| < ω 0 Η(ω) = 0 όταν ω 1 < |ω| < ω 2 (= αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Όταν Η(ω) = 0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Όταν Η(ω) = 0 : Όταν Η(ω)  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Όταν Η(ω) = 0 : Όταν Η(ω)  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Συνάρτηση απόκρισης ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης : Όταν Η(ω) = 0 : Όταν Η(ω)  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Συνάρτηση απόκρισης ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης : Αιτιοκρατικά φίλτρα ( t =χρόνος) (αντί για ) Όταν Η(ω) = 0 : Όταν Η(ω)  0 :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Ιδανικά φίτρα : όταν τότε Συνάρτηση απόκρισης ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης : Αιτιοκρατικά φίλτρα ( t =χρόνος) (αντί για ) Όταν Η(ω) = 0 : Όταν Η(ω)  0 : Έξοδος y(t) εξαρτάται μόνο από τις προηγούμενες (   s  t ) τιμές s της εισόδου x(s) και όχι από μελλοντικές τιμές (αιτιοκρατία)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εύρος ζώνης φίλτρου (Bandwidth)

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εύρος ζώνης φίλτρου (Bandwidth) Χαμηλής διέλευσης :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εύρος ζώνης φίλτρου (Bandwidth) Χαμηλής διέλευσης :Διέλευσης εντός ζώνης :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εύρος ζώνης φίλτρου (Bandwidth) Χαμηλής διέλευσης :Διέλευσης εντός ζώνης : Χαμηλής διέλευσης μη ιδανικό :

ΤΑΤΜ-ΑΠΘ - Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας A. ΔερμάνηςΣήματα και Φασματικές Μέθοδοι A. Δερμάνης Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι Εύρος ζώνης φίλτρου (Bandwidth) Χαμηλής διέλευσης :Διέλευσης εντός ζώνης : Χαμηλής διέλευσης μη ιδανικό :Διέλευσης εντός ζώνης μη ιδανικό :